Calcolo combinatorio 2 combinazioni e potenze del binomio

Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

Nella realtà Quante combinazioni? Daniela Valenti, Treccani Scuola Quante squadre in campo 2

Attenzione al linguaggio Nel linguaggio comune Combinazione di una serratura 1844 apre ma 8441 NON apre Anche 73 68 26 75 76 86 è vincente In matematica DISPOSIZIONE Raggruppamento ordinato Daniela Valenti, Treccani Scuola COMBINAZIONE Raggruppamento NON ordinato 3

Contare le combinazioni Un esempio Calcolo il numero C 5, 3 di combinazioni delle 5 cifre dispari 3 a 3 Daniela Valenti, Treccani Scuola 4

Contare le combinazioni In generale Numero delle disposizioni di n oggetti k ak Daniela Valenti, Treccani Scuola Numero delle permutazio ni di k oggetti Numero delle combinazioni di n oggetti k ak 5

Calcolare il numero di combinazioni In generale Formula valida per qualunque coppia n, k con n ≥ k Daniela Valenti, Treccani Scuola 6

Contare il numero di combinazioni Esempi 12 giocatrici di calcetto decidono di partecipare ad una partita con una squadra di 8 persone (5 giocatrici e 3 riserve). Quante squadre possono organizzare? Per scriverle tutte, ognuna su una riga, riempio circa 17 pagine! Daniela Valenti, Treccani Scuola 7

Contare il numero di combinazioni Esempi Quante combinazioni dei 90 numeri del Super. Enalotto 6 a 6? oppure Daniela Valenti, Treccani Scuola 8

Contare il numero di combinazioni Attenzione ai calcoli con la calcolatrice tascabile! Invece non dà problemi alla calcolatrice la formula Daniela Valenti, Treccani Scuola Perché la calcolatrice dà un risultato approssimato? Perché 90! e 84! sono numeri con troppe cifre; la calcolatrice mostra solo 11 cifre e passa alla notazione esponenziale. 9

Contare il numero di combinazioni Attenzione al risultato molto grande Per scrivere tutte le combinazioni, ognuna su una riga, riempirei circa 20 753 821 pagine. Tutte queste pagine peserebbero quanto una grande nave a pieno carico. Daniela Valenti, Treccani Scuola 10

Attenzione al linguaggio NON c’è la linea di frazione Si legge ‘n sopra k’ COEFFICIENTE BINOMIALE Daniela Valenti, Treccani Scuola

Applicare il coefficiente binomiale ØPer contare le combinazioni di n Esempio: di calcetto di 8 giocatrici scelte oggetti k asquadre k fra 12 E Ø Per contare leanche permutazioni di n oggetti, di cui k uguali fra loro e anche i restanti (n – k) uguali fra loro, ma diversi dai Esempio: primi k. permutazioni delle lettere della parola NONNO Daniela Valenti, Treccani Scuola 12

Coefficiente binomiale e potenza del binomio ESEMPIO (a + b)5 = (a + b) (a + b) Elenco i monomi che ottengo con la moltiplicazione Daniela Valenti, Treccani Scuola 13

Potenza del binomio ESEMPIO che proviene dallo sviluppo di La formula suggerisce un completamento Così si procede verso una formula generale Daniela Valenti, Treccani Scuola 14

Potenza del binomio ESEMPIO IN GENERALE FORMULA PER SVILUPPARE LA POTENZA DEL BINOMIO Daniela Valenti, Treccani Scuola Spiega l’origine del nome ‘coefficiente binomiale’. 15

Potenza del binomio e triangolo di Tartaglia (a+b)0 = 1 1 (a+b)1 = 1 a+1 b 1 (a+b)2 = 1 a 2+2 ab+1 b 2 1 (a+b)3 = 1 a 3+3 a 2 b+3 ab 2+1 b 3 (a+b)4 = 1 a 4+4 a 3 b+6 a 2 b 2+4 ab 3+1 b 4 Daniela Valenti, Treccani Scuola 1 2 1 3 1 4 1 3 6 1 4 1 16

Triangolo di Tartaglia: come si costruisce Video ‘Mozart and math’ Daniela Valenti, Treccani Scuola 17

Triangolo di Tartaglia: come si costruisce Daniela Valenti, Treccani Scuola 18

Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia Daniela Valenti, Treccani Scuola 19

Triangolo di Tartaglia: uno sguardo alla storia Il triangolo era conosciuto in Cina da Chia Hsien, nel 1100 circa, e da Yang Hui nel 1260 Daniela Valenti, Treccani Scuola 20

Triangolo di Tartaglia: uno sguardo alla storia Il triangolo fu studiato in Europa da molti matematici rinascimentali, fra i quali: Tartaglia, Stiefel, Cardano, Pascal. Tartaglia 1500 -1557 Daniela Valenti, Treccani Scuola Stiefel 14871567 Cardano 15011576 Pascal 1623 1662 21

Attività 1 Il lavoro di gruppo è dedicato a esplorare combinazioni, potenza del binomio e triangolo di Tartaglia. Ecco un video per cominciare a riflettere. Video ‘Quanti cin – cin? ’ Daniela Valenti, Treccani scuola 22

Attività 1 Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ogni gruppo avrà una scheda di lavoro da completare. Avete 20 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani scuola 23

Che cosa abbiamo ottenuto Daniela Valenti, Treccani scuola 24

Sulle combinazioni Daniela Valenti, Treccani scuola 25

Proprietà dei coefficienti binomiali Daniela Valenti, Treccani scuola 26

Proprietà dei coefficienti binomiali n=5 Daniela Valenti, Treccani scuola k=3 27

Potenza del binomio Daniela Valenti, Treccani scuola 28

Triangolo di Tartaglia e potenze di 11 Costruisco le potenze successive di 11 e trovo: 110 = 111 = 112 = 113 = 114 = 1 11 121 1331 14641 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1