Caen 95 Soit lexpression E x 4 x

(Caen 95) Soit l'expression E = x² - 4 - (x + 2) (3 x - 5). 1) Développer E. 1 2) Calculer E lorsque x = . 2 3) Factoriser x² - 4. En déduire une factorisation de E. 4) Résoudre l'équation (x + 2) (3 - 2 x) = 0. Solutions : 1) 2) 3) 4)

On donne l'expression E = x² - 4 - (x + 2)(3 x - 5) Développer et réduire E. Analyse de l’expression Le produit est prioritaire : on met des crochets E = x² - 4 -[(x + 2)(3 x - 5)] deux soustractions Un produit

E = x² - 4 - [(x + 2)(3 x - 5) ] [ = x² - 4 - 3 x² - 5 x + 6 x - 10 ] = x² - 4 - 3 x² + 5 x - 6 x + 10 Pour enlever le crochet précédé du signe - il suffit de changer les signes à l’intérieur du crochet… puis on réduit E = -2 x² - x + 6

2) Calculer E lorsque x =1/2 E = -2 x² - x + 6 La valeur de x est décimale : il est donc plus facile de travailler avec x = 0, 5 E = -2 x 0, 5² - 0, 5 + 6 = -2 x 0, 25 - 0, 5 + 6 = -0, 5 - 0, 5 + 6 =5

3) Factoriser x² - 4…. On « voit » une identité remarquable E = x² – 4 a² - b² E = x² – 2² E = (x - 2)( x + 2) = (a - b)( a + b) NB : pour vérifier la factorisation, on peut rapidement développer (x - 2)(x + 2) au brouillon. …. En déduire une factorisation de E.

E = x² - 4 - (x + 2)(3 x - 5) = (x - 2)(x + 2) - (x + 2)(3 x - 5) On utilise ce qui précède. . . On reconnaît un facteur commun E = (x + 2 ) [( x - 2 ) - ( 3 x – 5 )] E = ( x + 2 ) [x - 2 - 3 x + 5] Pour enlever la parenthèse précédée du signe - il suffit de changer les signes à l’intérieur de la parenthèse E = ( x + 2 )[- 2 x + 3] On peut vérifier en développant cette dernière expression… On retrouve E = -2 x² + 3 x - 4 x +6 = -2 x² - x + 6

4) Résoudre l'équation (x + 2)(3 - 2 x) = 0 Pour qu’un produit soit nul il faut et il suffit que l ’un des facteurs soit nul. Donc (x + 2)= 0 x+2= 0 x = -2 ou (3 - 2 x) = 0 3 - 2 x = 0 -2 x = -3/-2 x = 1, 5 L’équation (x + 2)(3 - 2 x) = 0 admet deux solutions x = -2 et x = 1, 5 on note parfois S = -2 ; 1, 5