by ITALIANO MANUEL A 3 GEOMETRI DIURNO A

by ITALIANO MANUEL A 3 GEOMETRI DIURNO A. S. 2000/2001

• • Circonferenza goniometrica Seno di un angolo Coseno di un angolo Tangente di un angolo Cotangente di un angolo Segno delle funzioni goniometriche Relazioni fondamentali

Circonferenza con centro nell’origine e avente per raggio il segmento di misura 1; la sua equazione è: x 2 + y 2 = 1. Sia dato un angolo orientato (in senso antiorario) , chiameremo il punto B punto associato all’angolo sulla circonferenza goniometrica.

Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto associato ad nella circonferenza goniometrica. Quindi: sen = y. B = BH. Al variare dell’angolo il seno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

Il grafico della funzione y=senx si chiama sinusoide. Il seno è una funzione periodica con periodo uguale a 360°, cioè: sen( + k 360°) = sen (k Z).

Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto associato ad nella circonferenza goniometrica. Quindi: cos = x. B = OH. Al variare dell’angolo il coseno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

Il grafico della funzione y=cos x si chiama cosinusoide. Il coseno è una funzione periodica con periodo 360°, cioè: cos( + k 360°) = cos (k Z)

Si definisce tangente dell’angolo l’ordinata del punto T d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A : tg = y. T = AT. I triangoli OTA e OBH sono simili, quindi: AT : OA = HB : OH, Ma OA = 1, AT = tg , HB = sen e OH = cos ; perciò:

Se cos = 0, quindi se = 90° + k 180° (k Z) la tangente non esiste. La tangente è una funzione periodica con periodo 180°, cioè: tg ( + k 180°) = tg (k Z).

Si definisce cotangente dell’angolo l’ascissa del punto S d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto C : cotg = x. S = CS Poiché i triangoli OCS e OBH sono simili, risulterà che

Se sen = 0, quindi per = k 180° (k Z), la cotangente non esiste. La funzione cotangente è periodica di periodo 180°, cioè: cotg = cotg( + k 180°) con k Z.

sen 45° = y. B = HB e cos 45° = x. B = OH; OA = OB = 1. Essendo OHB un triangolo rettangolo isoscele, è HB = OH. Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo OHB, si ha:

• • Consideriamo una circonferenza ed un angolo orientato (vedi D 4). Sia B il punto ad esso associato. Poiché il punto B appartiene alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 = 1, le sue coordinate devono soddisfare a tale equazione. Si avrà dunque, qualunque sia l’angolo , (sen )2 + (cos )2 = 1, cioè: sen 2 + cos 2 = 1. La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità. Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è uguale alla tangente dell’angolo stesso.

• • • Angoli opposti Angoli supplementari Angoli che differiscono di 180° Angoli esplementari Angoli complementari

Due angoli sono opposti quando la loro somma è zero. cos(-x) = cos x sen(-x) = -sen x tg(-x) = -tg x cotg(-x) = -cotg x Angoli opposti hanno coseno uguale, seno, tangente e cotangente opposti.

Due angoli si dicono supplementari quando la somma delle loro misure è uguale a 180°. Le loro funzioni saranno pertanto: cos (180°- ) = -cos , sen (180°- ) = sen , tg (180°- ) = -tg , cotg (180°- ) = -cotg . Angoli supplementari hanno seno uguale e coseno, tangente e cotangente opposti.

• sen (180° + ) = -sen • cos (180° + ) = -cos • tg (180° + ) = tg

• sen (360° - ) = -sen • cos (360° - ) = cos • tg (360° - ) = -tg

Due angoli si dicono complementari quando la somma delle loro misure è uguale a 90°. sen (90° - x) = cos x cos (90° - x) = sen x tg (90° - x) = cotg x cotg (90° - x) = tg x Il coseno, il seno, la tangente e la cotangente di un angolo sono rispettivamente uguali al seno, cotangente e tangente del suo complementare.

• sen 150° = sen (180°- 30°) = sen 30° = 0, 5 • cos 120° = cos (180°- 60°) = - cos 60° = - 0, 5 • tg 135° = tg (180°- 45°) = - tg 45° = -1 • cos 300° = cos (360°- 60°) = cos 60° = 0, 5 • cos 1260° = cos (3 * 360°+ 180°) = cos 180° = -1