Business Mathematics www unicorvinus huu 2 w 6

Business Mathematics www. uni-corvinus. hu/~u 2 w 6 ol

Elemi bázistranszformáció Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése LP feladatok megoldása

Elemi bázistranszformáció Generáló elemet választunk (≠ 0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 e 1 1 0 2 e 2 3 1 1 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 e 3 -1 2 0 x 2 x 3

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 x 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2 2 x 3

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 x 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2 2 x 3 -5

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 x 2 3 1 1 1 -5 e 3 -1 2 0 2 2 x 3 -5

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 1 0 2 2 x 2 3 1 1 1 -5 -5 e 3 -1 2 0 2 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 1 0 2 2 x 2 3 1 1 1 -5 -5 e 3 -1 2 0 2 2

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 1 0 2 2 x 2 3 1 1 1 -5 -5 e 3 -1 2 0 2 2 12

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 1 0 2 2 x 2 3 1 1 1 -5 -5 e 3 -1 2 0 2 2 12 ≠ 0 ! Lineárisan független

A generálóelem oszlopa A generálóelem helyére annak reciproka kerül. A generálóelem oszlopát végigszorozzuk a generálóelem reciprokának -1 -szeresével

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 e 1 1 0 2 e 2 3 1 1 e 3 -1 2 0 e 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 -3 1 -5 e 3 1 2 2

Elemi bázistranszformáció e 1 x 2 x 3 x 1 1 0 2 e 2 -3 1 -5 e 3 1 2 2 e 1 e 2 x 3 x 1 1 0 2 x 2 -3 1 -5 e 3 7 -2 12

Elemi bázistranszformáció e 1 e 2 x 3 x 1 1 0 2 x 2 -3 1 -5 e 3 7 -2 12 e 1 e 2 e 3 x 1 -2/12 4/12 -2/12 x 2 -1/12 2/12 5/12 x 3 7/12 -2/12 1/12

Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Standard (normál) feladat ◦ Minden feltétel egyenlőség ◦ Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ◦ ui – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ◦ ui ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) ◦ vi – i. feltétel túlteljesítése ◦ vi ≥ 0

Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Bázismegoldás ◦ n-m változót 0 -nak veszünk Bázisváltozók: m db Nembázis változók: (n-m) db Lehetséges bázismegoldás ◦ Bármely olyan bázismegoldás, amelyben minden változó nemnegatív Szomszédos bázismegoldás ◦ Szomszédosnak nevezünk két lehetséges bázismegoldást, ha a bázisváltozók halmazában m-1 közös

A szimplex algoritmus általános Lehetséges bázismegoldás (LBM) keresése ◦ Induló lehetséges bázismegoldás Aktuális lehetséges bázismegoldás Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, keressünk olyan szomszédos LBM-et, ahol z értéke nagyobb (kisebb) Az előző lépés ismételgetése

Feladat – Winston 4. 3 A Dakota Bútorkészítő Cég íróasztalokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szükséges: durva asztalosmunka és felületkezelés. Az egyes bútortípusok előállításához a különböző erőforrásokból szükséges mennyiséget a következő táblázat adja meg:

Feladat – Winston 4. 3 Erőforrás Íróasztal Asztal Szék Faanyag (egység) 8 6 1 Felületkezelés (óra) 4 2 1, 5 Asztalosmunka (óra) 2 1, 5 0, 5

Feladat – Winston 4. 3 Jelenleg 48 egység faanyag, 20 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalosmunka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 30, egy szék pedig 20$-ért adható el. A Dakota cég azt gondolja, hogy íróastalokra és székekre korlátlan kereslet van, de legfeljebb 5 asztal adható el. Mivel az erőforrásokat már megvásárolták, a Dakota cég az összjövedelmet kívánja maximalizálni.

A feladat felírása max z = 60 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 8 x 1 + 6 x 2 + 1 x 3 ≤ 48 4 x 1 + 2 x 2 + 1, 5 x 3 ≤ 20 2 x 1 + 1, 5 x 2 + 0, 5 x 3 ≤ 8 x 2 ≤ 5 x 1, x 2, x 3≥ 0

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Standard feladat ◦ Minden feltétel egyenlőség ◦ Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ◦ ui – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ◦ ui ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) ◦ vi – i. feltétel túlteljesítése ◦ vi ≥ 0

A feladat felírása max z = 60 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 8 x 1 + 6 x 2 + 1 x 3 ≤ 48 4 x 1 + 2 x 2 + 1, 5 x 3 ≤ 20 2 x 1 + 1, 5 x 2 + 0, 5 x 3 ≤ 8 x 2 ≤ 5 x 1, x 2, x 3≥ 0

A standard (normál) feladat felírása z – 60 x 1 – 30 x 2 – 20 x 3 = 0 8 x 1 + 6 x 2 + 1 x 3 + u 1 = 48 4 x 1 + 2 x 2 + 1, 5 x 3 + u 2 = 20 2 x 1 + 1, 5 x 2 + 0, 5 x 3 + u 3 = 8 x 2 + u 4 = 5 x 1, x 2, x 3≥ 0

A kiegészítő változók értékei u 1 = 48 – 8 x 1 – 6 x 2 – 1 x 3 u 2 = 20 – 4 x 1 – 2 x 2 – 1, 5 x 3 u 3 = 8 – 2 x 1 – 1, 5 x 2 – 0, 5 x 3 u 4 = 5 – x 2

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

A standard (normál) feladat felírása z – 60 x 1 – 30 x 2 – 20 x 3 = 0 8 x 1 + 6 x 2 + 1 x 3 + u 1 = 48 4 x 1 + 2 x 2 + 1, 5 x 3 + u 2 = 20 2 x 1 + 1, 5 x 2 + 0, 5 x 3 + u 3 = 8 x 2 + u 4 = 5 x 1, x 2, x 3≥ 0

LBM előállítása x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 u 4 8 6 1 1 0 0 0 48 4 2 1, 5 0 1 0 0 20 2 1, 5 0 0 1 0 8 0 0 1 5 z -60 -30 -20 0 0 1 0 Lehetséges bázismegoldás: x 1, x 2, x 3 = 0

LBM előállítása x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 u 2 4 2 1, 5 20 u 3 2 1, 5 0, 5 8 u 4 0 1 0 48 5 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0 z=0 z -60 -30 -20 0 BV: u 1, u 2, u 3, u 4 NBV: x 1, x 2, x 3

A feladat felírása max z = 60 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 8 x 1 + 6 x 2 + 1 x 3 ≤ 48 4 x 1 + 2 x 2 + 1, 5 x 3 ≤ 20 2 x 1 + 1, 5 x 2 + 0, 5 x 3 ≤ 8 x 2 ≤ 5 x 1, x 2, x 3≥ 0

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Optimalitás vizsgálata x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 u 2 4 2 1, 5 20 u 3 2 1, 5 0, 5 8 u 4 0 1 0 48 5 z -60 -30 -20 0 x 1 –t 1 -gyel növelve a célfüggvény 60 -nal nő!

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

A generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

A generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nemnegatív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

Generáló elem meghatározása x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 u 2 4 2 1, 5 20 u 3 2 1, 5 0, 5 8 u 4 0 1 0 48 5 z -60 -30 -20 0

Generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

Generálóelem meghatározása x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 u 2 4 2 1, 5 20 20/4 = 5 u 3 2 1, 5 0, 5 8 u 4 0 1 0 48 48/8 = 6 5 z -60 -30 -20 0 8/2 = 4

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának -1 -szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 48 u 1 u 2 4 2 1, 5 20 u 2 u 3 2 1, 5 0, 5 8 x 1 u 4 0 5 u 4 z -60 -30 -20 0 z 1 0 u 3 x 2 x 3

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának -1 -szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 48 u 1 u 2 4 2 1, 5 20 u 2 u 3 2 1, 5 0, 5 8 x 1 0, 5 u 4 0 5 u 4 z -60 -30 -20 0 z 1 0 u 3 x 2 x 3

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának -1 -szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 48 u 1 -4 u 2 4 2 1, 5 20 u 2 -2 u 3 2 1, 5 0, 5 8 x 1 0, 5 u 4 0 z -60 -30 -20 0 z 30 1 0 u 3 x 2 x 3

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának -1 -szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 u 1 8 6 1 48 u 1 -4 u 2 4 2 1, 5 20 u 2 -2 u 3 2 1, 5 0, 5 8 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 u 4 0 5 u 4 0 z -60 -30 -20 0 z 30 1 0 u 3 x 2 x 3

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának -1 -szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 x 3 u 3 x 2 x 3 u 1 8 6 1 48 u 1 -4 0 -1 16 u 2 4 2 1, 5 20 u 2 -2 -1 0, 5 4 u 3 2 1, 5 0, 5 8 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 u 4 0 5 u 4 0 1 0 5 z -60 -30 -20 0 z 30 15 -5 240 1 0

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 1 -4 0 -1 16 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 u 4 0 1 0 5 z 30 15 -5 240

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 1 -4 0 -1 16 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 u 4 0 1 0 5 z 30 15 -5 240 BV: x 1, u 2, u 4 x 1 = 4 x 2 = 0 x 3 = 0 z = 240 NBV: x 2, x 3, u 3

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Optimalitás vizsgálata u 3 x 2 x 3 u 1 -4 0 -1 16 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 u 4 0 1 0 5 z 30 15 -5 240 x 3 –t 1 -gyel növelve a célfüggvény 5 -tel nő!

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Generálóelem meghatározása u 3 x 2 x 3 u 1 -4 0 -1 16 16/-1 = -16 u 2 -2 -1 0, 5 4 4/0, 5 = 8 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 4/0, 25 = 16 u 4 0 1 0 5 z 30 15 -5 240

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 1 -4 0 -1 16 u 1 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 3 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 x 1 u 4 0 1 0 5 u 4 z 30 15 -5 240 z x 2 u 2

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 1 -4 0 -1 16 u 1 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 3 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 x 1 u 4 0 1 0 5 u 4 z 30 15 -5 240 z x 2 u 2 2

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 3 x 2 u 1 -4 0 -1 16 u 1 2 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 3 2 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 x 1 -0, 5 u 4 0 1 0 5 u 4 0 z 30 15 -5 240 z 10

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 3 x 2 u 1 -4 0 -1 16 u 1 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 3 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 x 1 -0, 5 u 4 0 1 0 5 u 4 0 z 30 15 -5 240 z 10 2 -4 -2 2 8

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 x 3 u 3 x 2 u 1 -4 0 -1 16 u 1 -8 -2 2 24 u 2 -2 -1 0, 5 4 x 3 -2 2 8 x 1 0, 5 0, 75 0, 25 4 x 1 1, 5 1, 25 -0, 5 2 u 4 0 1 0 5 z 30 15 -5 240 z 10 5 10 280 -4

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 u 1 -8 -2 2 24 x 3 -2 2 8 -4 x 1 1, 5 1, 25 -0, 5 2 u 4 0 1 0 5 z 10 5 10 280

Elemi bázistranszformáció u 3 x 2 u 1 -8 -2 2 24 x 3 -2 2 8 -4 x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 8 z = 280 x 1 1, 5 1, 25 -0, 5 2 u 4 0 1 0 5 z 10 5 10 280 BV: x 1, x 3, u 1, u 4 NBV: x 2, u 3

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Optimalitás vizsgálata u 3 x 2 u 1 -8 -2 2 24 x 3 -2 2 8 -4 x 1 1, 5 1, 25 -0, 5 2 u 4 0 1 0 5 z 10 5 10 280 x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 8 z = 280 Nincsen negatív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

Megoldás x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 8 u 1 = 24 u 2 = 0 u 3 = 0 u 4 = 5 z = 60 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 z = 60∙ 2 + 30∙ 0 + 20∙ 8 = 280

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Alternatív optimum max z = -3 x 1 + 6 x 2 5 x 1 + 7 x 2 ≤ 35 -x 1 + 2 x 2 ≤ 2 x 1, x 2 ≥ 0

Alternatív optimum – A standard feladat felírása z + 3 x 1 – 6 x 2 = 0 5 x 1 + 7 x 2 + u 1 = 35 -x 1 + 2 x 2 + u 2 = 2 x 1, x 2 ≥ 0

Alternatív optimum – A szimplex tábla x 1 x 2 5 7 35 u 2 -1 2 2 z -6 0 u 1 3

Alternatív optimum – A szimplex tábla x 1 x 2 5 7 35 u 2 -1 2 2 z -6 0 u 1 3 BV: u 1, u 2 x 1 = 0 x 2 = 0 z=0 NBV: x 1, x 2

Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása x 1 x 2 5 7 35 35/7 = 5 u 2 -1 2 2 2/2 = 1 z -6 0 u 1 3

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 5 7 35 u 1 u 2 -1 2 2 x 2 z -6 0 z u 1 3 x 1 u 2

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 5 7 35 u 1 u 2 -1 2 2 x 2 z -6 0 z u 1 3 x 1 u 2 0, 5

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 5 7 35 u 1 -3, 5 u 2 -1 2 2 x 2 0, 5 z -6 0 z 3 u 1 3 x 1 u 2

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 5 7 35 u 1 u 2 -1 2 2 x 2 -0, 5 z -6 0 z u 1 3 x 1 u 2 -3, 5 3 1

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 5 7 35 u 1 8, 5 -3, 5 28 u 2 -1 2 2 x 2 -0, 5 1 z -6 0 z 6 u 1 3 x 1 0 u 2 3

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 2 -0, 5 1 z 6 0 3

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 2 -0, 5 1 z 6 0 BV: u 1, u 2 3 x 1 = 0 x 2 = 1 z=6 NBV: x 1, x 2

Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 2 -0, 5 1 z 6 0 3 Honnan látszik hogy alternatív optimuma lehet?

A belépő változó meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 2 -0, 5 1 z 6 0 3 x 1 = 0 x 2 = 1 z=6 x 1 –t 1 -gyel növelve a célfüggvény 0 -val nő!

Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 28/(17/2)= 56/17 x 2 -0, 5 1 1/ (-1/2) = -2 z 6 0 3

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 1 x 2 -0, 5 1 x 2 z 6 z 0 3 u 2

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 1 2/17 x 2 -0, 5 1 x 2 z 6 z 0 3 u 2

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 1 2/17 x 2 -0, 5 1 x 2 1/17 z 6 z 0 3 0 u 2

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 1 2/17 -7/17 56/17 x 2 -0, 5 1 x 2 1/17 z 6 z 0 3 0

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 8, 5 -3, 5 28 x 1 2/17 -7/17 56/17 x 2 -0, 5 1 x 2 1/17 5/17 45/17 z 6 z 0 3 6

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció u 1 u 2 x 1 2/17 -7/17 56/17 x 2 1/17 5/17 45/17 z 0 3 6

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció u 1 u 2 x 1 2/17 -7/17 56/17 x 2 1/17 5/17 45/17 z 0 BV: x 1, x 2 3 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 z=6 6 NBV: u 1, u 2

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Nem korlátos LP max z = 2 x 2 x 1 – x 2 ≤ 4 -x 1 + x 2 ≤ 1 x 1, x 2 ≥ 0

Nem korlátos LP – A standard feladat felírása z – 2 x 2 = 0 x 1 – x 2 + u 1 =4 -x 1 + x 2 + u 2= 1 x 1, x 2 ≥ 0

Nem korlátos LP – A szimplex tábla x 1 x 2 1 -1 4 u 2 -1 1 1 z -2 0 u 1 0

Nem korlátos LP – A szimplex tábla x 1 x 2 1 -1 4 u 2 -1 1 1 z -2 0 u 1 BV: u 1, u 2 0 x 1 = 0 x 2 = 0 z=0 NBV: x 1,

Nem korlátos LP – Generálóelem meghatározása x 1 x 2 1 -1 4 4/(-1)= -4 u 2 -1 1 1 1/1 = 1 z -2 0 u 1 0

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 1 -1 4 u 1 u 2 -1 1 1 x 2 z -2 0 z u 1 0 x 1 u 2

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 1 -1 4 u 1 u 2 -1 1 1 x 2 z -2 0 z u 1 0 x 1 u 2 1

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 1 -1 4 u 1 1 u 2 -1 1 1 x 2 1 z -2 0 z 2 u 1 0 x 1 u 2

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 1 -1 4 u 1 u 2 -1 1 1 x 2 z -2 0 z u 1 0 x 1 u 2 1 -1 1 2 1

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x 1 x 2 1 -1 4 u 2 -1 1 z -2 u 1 0 x 1 u 2 u 1 0 1 5 1 x 2 -1 1 1 0 z -2 2 2

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x 1 u 2 u 1 0 1 5 x 2 -1 1 1 z -2 2 2 BV: u 1, x 2 x 1 = 0 x 2 = 1 z=2 NBV: x 1, u 2

Nem korlátos LP – Optimalitás vizsgálata x 1 u 2 u 1 0 1 5 x 2 -1 1 1 z -2 2 2 Honnan látszik hogy nem korlátos az LP?

Nem korlátos LP – Generálóelem választása x 1 u 2 u 1 0 1 5 5/0 x 2 -1 1 1 1/(-1) z -2 2 2 Nincs eredménye a hányadostesztnek!

Minimum feladat felírása – 2 módszer Minimum feladat átírása maximum feladattá: max (-z) - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt negatív vagy 0 2. Minimum feladat célfüggvényének megszorzása -1 -gyel - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt pozitív vagy 0 1.

Minimum feladat felírása – feladat min z = 2 x 1 – 3 x 2 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 – x 2 ≤ 6 x 1, x 2 ≥ 0

Minimum feladat felírása – 1. módszer min z = 2 x 1 – 3 x 2 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 – x 2 ≤ 6 x 1, x 2 ≥ 0 max – z = – 2 x 1 + 3 x 2 z – 2 x 1 + 3 x 2 = 0 (akkor optimális, ha a célfüggvény sora mindenütt nempozitív)

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 u 1 1 1 4 4/1 = 4 u 2 1 -1 6 6/(-1) = -6 z -2 3 0

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 x 1 u 1 1 1 4 x 2 u 2 1 -1 6 u 2 z -2 3 0 z u 1

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 x 1 u 1 1 1 4 x 2 u 2 1 -1 6 u 2 z -2 3 0 z u 1 1

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 x 1 u 1 1 1 4 x 2 1 u 2 1 -1 6 u 2 1 z -2 3 0 z -3

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 x 1 u 1 1 1 4 x 2 1 1 u 2 1 -1 6 u 2 1 z -2 3 0 z -3 4

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 x 1 u 1 1 1 4 x 2 1 1 4 u 2 1 -1 6 u 2 2 1 10 z -2 3 0 z -5 -3 -12

Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 x 2 u 1 1 1 4 u 2 2 1 10 z -5 -3 -12 Nincsen pozitív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.