Budowa rankingu obiektw w wietle ocen wielokryterialnych Budowa

Budowa rankingu obiektów w świetle ocen wielokryterialnych

Budowa rankingu obiektów w świetle ocen wielokryterialnych. W różnych sferach ludzkiej aktywności występują zjawiska złożonych. Przez zjawisko złożone rozumieć należy pewien abstrakcyjny twór związany ze stanem jakościowym (bezpośrednio niemierzalnym) rzeczywistych obiektów opisywany przez co najmniej dwie cechy. Przykładami tak zdefiniowanego pojęcia zjawisko złożone mogą być: standard życia ludności, atrakcyjność rynkowa produktów, jakość kadry kierowniczej firmy, stopień degradacji środowiska, itp. . Porównania zjawisk złożonych stwarzają konieczność sporządzania ich ocen, a w dalszej kolejności konstrukcji rankingu. Wielokryterialna ocena zjawiska w różnych obiektach staje się możliwa, gdy wartości cech oryginalnych zostaną unormowane. Unormowane wartości zmiennych diagnostycznych mogą być poddane procesowi agregacji (zwykle sumowania), co prowadzi do uzyskania zmiennej syntetycznej (agregatowej), wartości której stanowią oceny poszczególnych obiektów ze względu na stan rozwojowy badanego zjawiska złożonego. Znajomość ocen obiektów pozwala na konstrukcję ich rankingu, tzn. układu, w którym obiekty są uporządkowane w kolejności od najlepszego do najgorszego ze względu na 2 wartość zmiennej syntetycznej (agregatowej).

Budowa rankingu obiektów w świetle ocen wielokryterialnych, cd. 1. Opisowi zjawiska złożonego towarzyszą pojęcia zbioru zmiennych diagnostycznych X oraz zmiennych syntetycznych (agregatowych) Q. Poza wymienionymi należy wspomnieć o zbiorze wyjściowym zmiennych opisujących W, o zbiorze zmiennych opisujących zredukowanych w procesie wyboru Y oraz o zbiorze zmiennych unormowanych (transformowanych) Z. Proces przechodzenia zmiennych ze zbioru W (zmiennych wyjściowych — wstępnie zakwalifikowanych do opisu badanego zjawiska) do zbioru Q (zmiennych agregatowych) przedstawia rysunek na następnym slajdzie. Szczególnie ważnym zagadnieniem jest ustalenie prawidłowo listy zmiennych diagnostycznych tworzących zbiór X. Zmienne te winny w adekwatny sposób charakteryzować badane zjawisko złożone. Zmienne diagnostyczne (już wybrane) ze zbioru X poddawane są za pomocą jednej z wybranych metod procesowi normowania i przechodzą w zmienne unormowane tworząc zbiór Z. Zmienne unormowane sprowadzone do stanu umożliwiającego porównania, są pozbawione mian oraz przyjmują na ogół wartości z określonych przedziałów. Własności te umożliwiają przeprowadzenie procedury agregacyjnej. W efekcie otrzymuje się zbiór zmiennych syntetycznych Q. 3

Budowa rankingu obiektów w świetle ocen wielokryterialnych - rysunek. W wyjściowy zbiór zmiennych opisujących zjawisko złożone proces wyboru X zbiór zmiennych diagnostycznych przyjęcie odrzucenie Y zbiór zmiennych zredukowanych normalizacja Z zbiór zmiennych unormowanych agregacja Q zbiór zmiennych syntetycznych 4

Budowa rankingu obiektów w świetle ocen wielokryterialnych, cd. 2. Znajomość elementów zbioru Q dostarcza zobiektywizowanych ocen zjawiska złożonego zrelatywizowanych na zbiorze obiektów. Zatem zmienna syntetyczna (agregatowa) to taka zmienna, która bazuje na zbiorze zmiennych diagnostycznych unormowanych i w sposób kwantytatywny określa poziom (stopień rozwoju) rozpatrywanego zjawiska w badanych obiektach. Zmienna syntetyczna powstając ze zmiennych diagnostycznych unormowanych również pozbawiona jest miana i może stanowić materiał wyjściowy w procesie konstrukcji rankingu obiektów. Przez ranking rozumiemy taki układ obiektów, w którym są one uporządkowane nierosnąco ze względu na poziom zjawiska złożonego, reprezentowany przez odpowiednie wartości zmiennej agregatowej. Rankingi sporządzane przy zastosowaniu różnorodnych technik, stwarzają podstawy podejmowania ważnych decyzji gospodarczych, społecznych i politycznych. 5

Oznaczenia. Istotą badań wielokryterialnych jest ich ujęcie porównawcze, co oznacza, że poziom zjawiska złożonego rozpatruje się w różnych obiektach. Po dokonaniu redukcji zbioru wyjściowego cech W pozostają zmienne zaliczane do zbioru cech diagnostycznych X. Niech O oznacza zbiór obiektów O= {O 1, O 2, . . . , Or}, gdzie r jest liczbą badanych obiektów. Każdy obiekt jest charakteryzowany przez zbiór zmiennych diagnostycznych X= {X 1, X 2, . . . , XS}, gdzie s jest liczbą zmiennych diagnostycznych, wykorzystanych do opisu zjawiska złożonego w obiektach. Ze względu na zróżnicowanie potrzeb użytkowników badań oraz stopień dyspozycyjności bazy danych, analizę zjawiska możemy przeprowadzić, wykorzystując: • podejście statyczne, • podejście dynamiczne. 6

Oznaczenia, cd. W statycznym podejściu badawczym rozpatrujemy zjawisko złożone w jednym z wybranych okresów. Zwykle jest to ostatni z okresów, gwarantujący pozyskanie kompletnej informacji statystycznej. W ujęciu takim rezygnuje się z oznaczenia zmiennych symbolem t. Niezbędne w badaniach statycznych dane tworzą macierz dwuwymiarową o postaci: gdzie xij oznacza realizację zmiennej Xj w obiekcie Oi. Zatem j-ty obiekt opisuje wektor zmiennych [xi] = [xi 1, xi 2, . . . , xis] (i = 1, 2, . . . , r). Wektor [xi] jest s-wymiarową obserwacją charakteryzującą obiekt Oi. Każdemu obiektowi odpowiada punkt w przestrzeni s-wymiarowej. 7

Problemy rozpoznania i ujednolicenia charakteru zmiennych. U podstaw porządkowania liniowego prowadzącego do konstrukcji rankingu obiektów leży konieczność podziału zbioru zmiennych diagnostycznych na trzy podzbiory: S, D i N. Podział ten spełnia warunek zupełności X=SÈDÈN i warunek rozłączności S Ç D = D Ç N = Æ, przy czym: S — podzbiór zmiennych diagnostycznych zwanych stymulantami, D — podzbiór zmiennych diagnostycznych zwanych destymulantami, N — podzbiór zmiennych diagnostycznych zwanych nominantami. Rozpoznanie wybranych zmiennych opisujących zjawisko złożone (tworzących zbiór X) polega na zbadaniu ich tożsamości, co prowadzi do określenia ich przynależności do jednego z podzbiorów: S, D lub N. Posłużymy się uproszczonymi określeniami tych zmiennych. 8

Problemy rozpoznania i ujednolicenia charakteru zmiennych. Stymulantą będziemy nazywać taką zmienną diagnostyczną, której wzrost kojarzyć należy ze wzrostem, spadek zaś ze spadkiem oceny zjawiska złożonego. Destymulantą będziemy nazywać taką zmienną diagnostyczną, której wzrost kojarzyć należy ze spadkiem, spadek zaś ze wzrostem oceny zjawiska złożonego. Nominanta to taka zmienna, która ma określoną, najkorzystniejszą (z punktu widzenia oceny zjawiska złożonego) wartość zwaną wartością nominalną. Nominanta przyjmuje wartości mniejsze bądź też większe od wartości nominalnej odpowiednio ze spadkiem oceny zjawiska złożonego. Spotykane są w praktyce sytuacje, gdzie wartości nominalne tworzą określony przedział liczbowy. Ważnym zagadnieniem jest ujednolicenie charakteru zmiennych, tzn. sprowadzenie wszystkich zmiennych do roli stymulant lub destymulant. W praktyce przeważa pierwsza opcja. Wypracowano w tym zakresie specjalne formuły ujednolicające zmienne. 9

Wybrane metody normowania zmiennych diagnostycznych. Ogólnie ujmując, metody normujące można podzielić na dwie grupy: A — metody oparte na formule przekształcenia ilorazowego, B — metody rangowe. Spośród wielu metod normowania — znanych w literaturze przedmiotu — wybrano do prezentacji dziesięć najczęściej stosowanych w badaniach empirycznych. Wszystkie przedstawione tu metody oparte są na formule przekształcenia ilorazowego. Metody z grupy A przyjmują różne punkty odniesienia, które można określić następująco: 1) miary zróżnicowania cech, takie jak: a) odchylenie standardowe zmiennej (ten punkt odniesienia wykorzystują metody standaryzacyjne — formuły (1) i (2)), b) rozstęp zmiennej (ten punkt odniesienia wykorzystują metody unitaryzacyjne — formuły (3), (4) i (5)), 10

Wybrane metody normowania zmiennych diagnostycznych, cd. 1. 2) inne stałe parametry cechy, takie jak: a) średnia arytmetyczna (formuła (8)), b) maksymalna bądź minimalna wartość zmiennej (formuły (6) i (7)), c) długość wektora realizacji zmiennej (formuła (10)), d) suma realizacji zmiennej (formuła (9)). Wybrane formuły normujące z grupy metod A przedstawiają się następująco: 11

Wybrane metody normowania zmiennych diagnostycznych, cd. 2. Wszystkie formuły normujące (1) do (10) dotyczą stymulant. 12

Metoda unitaryzacji zerowanej. Metody unitaryzacyjne (formuły (3) do (5)) charakteryzują się przyjęciem stałego punktu odniesienia, który stanowi rozstęp zmiennej normowanej: Takie podejście sprawia, że rozstęp cechy unormowanej Zj jest stały i wynosi jeden. Elementem odróżniającym poszczególne formuły (3)-(5) jest licznik ich ułamka. Formuła (5) odpowiada takiemu sposobowi transformacji zmiennej oryginalnej, w wyniku której otrzymujemy zmienne unormowane zawierające się w przedziale [0, 1]. Rozpatrywany sposób transformacji nosi nazwę metody unitaryzacji zerowanej (MUZ). Dla stymulant wykorzystujemy sposób transformacji następujący (powtarzamy formułę (5)): 13

Metoda unitaryzacji zerowanej. Dla destymulant transformację zmiennej oryginalnej w unormowaną umożliwia wzór: Rozpatrując kwestię normowania nominant uwzględnimy dwa przypadki: • istnienie jednej wartości nominalnej c 0 j, • istnienie przedziału wartości nominalnych [c 1 j, c 2 j]. W przypadku zaistnienia sytuacji, w której określona jest wartość nominalna c 0 j, normowanie za pomocą MUZ przebiega następująco: 14

Metoda unitaryzacji zerowanej, cd. . W drugim z wymienionych przypadków, gdy dla zmiennej diagnostycznej będącej nominantą, został ustalony przedział wartości nominalnych [c 1 j, c 2 j], normowanie przy zastosowaniu MUZ opiera się na formule: Za pomocą MUZ otrzymujemy w każdym przypadku unormowania z przedziału [0, 1]. Metoda ta pozwala transformować cechy zarówno ujemne, jak i dodatnie oraz przyjmujące wartość zero. 15

Budowa rankingu. Badania porównawcze mają sens tylko wtedy, gdy istnieje wiele obiektów (co najmniej dwa) będących celem analizy. Znajomość rankingu obiektów uwzględniającego oceny wielokryterialne stanowi jedną z zasadniczych przesłanek podejmowania trafnych decyzji. Unormowanie cech diagnostycznych jest etapem wstępnym pozwalającym doprowadzić do uzyskania łącznej oceny wielokryterialnej każdego z branych pod uwagę obiektów. Łączną ocenę każdego z porównywanych obiektów możemy uzyskać drogą agregacji na wiele sposobów. W tym miejscu wskażemy dwa najprostsze sposoby otrzymania zmiennej agregatowej (syntetycznej): lub: 16

Budowa rankingu, cd. . gdzie Qi - to zmienna syntetyczna będąca wielokryterialną oceną zjawiska złożonego charakteryzującego i-ty obiekt. Znajomość zmiennej Q pozwala zbudować ranking, tzn. układ obiektów uporządkowanych względem nierosnących wartości Qi. Na pierwszych miejscach znajdują się „obiekty najlepsze", a przy końcu rankingu plasują się „obiekty najgorsze". Chcąc podzielić cały zbiór obiektów na trzy części, a mianowicie na podgrupę obiektów najlepszych, przeciętnych i najgorszych stosuje się stałą U: otrzymując • podgrupę obiektów najlepszych dla • podgrupę obiektów przeciętnych dla • podgrupę obiektów najgorszych dla 17

Przykład (47). Spośród dziesięciu hut szkła {H 1, H 2, . . . , H 10} należy wybrać pięć najlepszych zakładów, kwalifikujących się w pierwszej kolejności do sprywatyzowania. O kolejności hut w rankingu decydują czynniki o charakterze ekonomicznym oraz wybrane wskaźniki ekologiczne. Kryteria oceny w postaci zaleconej listy zmiennych diagnostycznych zostały podane przez ministerstwo. A oto ustalona lista zmiennych diagnostycznych: X 1 — roczny zysk huty w min zł, X 2 — procentowy udział produkcji sprzedanej w ciągu roku, X 3 — procentowy udział produkcji eksportowej w ciągu roku, X 4 — stopień dekapitalizacji majątku trwałego wyrażony procentowo, X 5 — procentowy udział zanieczyszczeń gazowych emitowany do atmosfery, X 6 — procentowy udział ścieków nie oczyszczonych wydalanych do otoczenia. Informacje liczbowe o wartościach cech diagnostycznych podano w tablice niżej. 18

Przykład 47, cd. . Należy: a) rozpoznać zmienne diagnostyczne, b) dokonać ich unormowania za pomocą MUZ, c) zbudować ranking hut szkła, d) wyodrębnić pięć najlepszych zakładów. 19

Przykład 47 – rozwiązanie – normowanie cechy X 1. Z sześciu przedstawionych zmiennych trzy pierwsze są stymulantami, trzy zaś pozostałe destymulantami, stąd {X 1, X 2, X 3} Î S oraz {X 4, X 5, X 6} Î D. Rozpoznanie zmiennych wpływa na sposób ich normowania. Przy normowaniu cech X 1 X 2, X 3 wykorzystamy wzór (12). Transformując cechę X 1 na wstępie ustalamy: Dalej stosując wzór (12) dla kolejnych obiektów otrzymujemy: z 11 = (2 -2)/(12 -2) = 0, z 41 = (3 -2) / (12 -2) = 0. 1, z 81 = (12 -2) / (12 -2) = 0, z 21 = (4 -2)/(12 -2) = 0. 2, z 51 = (10 -2)/(12 -2) = 0. 8, z 91 = (9 -2) / (12 -2) = 0. 7, z 31 = (7 -2)/(12 -2) = 0. 5, z 61 = (8 -2)/(12 -2) = 0. 6, z 101 = (7 -2) / (12 -2) = 0. 5, z 71 = (8 -2)/(12 -2) = 0. 6; 20

Przykład 47 – normowanie cechy X 2. Podobnie postępujemy przy normowaniu cechy X 2, ustalając na wstępie: Unormowane wartości cechy X 2 we wszystkich dziesięciu obiektach kształtują się następująco: z 12=(60 -50)/(100 -50)=0. 2, z 42=(50 -50)/(100 -50)=0, z 82=(90 -50)/(100 -50)= 0. 8, z 22=(50 -50)/(100 -50)=0, z 52=(100 -50)/(100 -50)=1, z 92=(80 -50)/(100 -50)= 0. 6, z 32=(60 -50)/(100 -50)=0. 2, z 62=(70 -50)/(100 -50)=0. 4, z 102=(55 -50)/(100 -50)= = 0. 1, z 72 = (100 -50)/(100 -50) = 1; 21

Przykład 47 – normowanie cech X 3 i X 4. Dla cechy X 3 : A unormowane wartości cechy X 3 są następujące: z 13=(0 -0)/(50 -0)=0, z 43=(20 -0)/(50 -0)=0. 4, z 83=(50 -0)/(50 -0) = 1, z 23=(10 -0)/(50 -0)=0. 2, z 53=(10 -0)/(50 -0)=0. 2, z 93=(50 -0)/(50 -0) = 1, z 33=(20 -0)/(50 -0)=0. 4, z 63=(30 -0)/(50 -0)=0. 6, z 103=(30 -0)/(50 -0) = 0. 6, z 73 = (30 -0)/(50 -0) = 0. 6; Ponieważ zmienne X 4, X 5, X 6 są destymulantami, ich normowania dokonujemy na podstawie wzoru (13). Normowanie cechy X 4: z 14=(60 -60)/(60 -10)=0, z 44=(60 -50)/(60 -10)=0. 2, z 84=(60 -20)/(60 -10) = 0. 8, z 24=(60 -40)/(60 -10)=0. 4, z 54=(60 -10)/(60 -10)=1, z 94=(60 -30)/(60 -10) = 0. 6, z 34=(60 -50)/(60 -10)=0. 2, z 64=(60 -30)/(60 -10)=0. 6, z 104=(60 -15)/(60 -10) = 0. 9, z 73 = (60 -60)/(60 -10) = 0. 22

Przykład 47 – normowanie cech X 5 i X 6. Dla cechy X 5 : z 15=(70 -40)/(70 -20)=0. 6, z 45=(70 -60)/(70 -20)=0. 2, z 85=(70 -20)/(70 -20) = 1, z 25=(70 -60)/(70 -20)=0. 2, z 55=(70 -70)/(70 -20)=0, z 95=(70 -20)/(70 -20) = 1, z 35=(70 -50)/(70 -20)=0. 4, z 65=(70 -50)/(70 -20)=0. 4, z 105=(70 -30)/(70 -20) = 0. 8, z 75 = (70 -40)/(70 -20) = 0. 6; Normowanie cechy X 6: z 16=(90 -40)/(90 -40)=1, z 46=(90 -90)/(90 -40)=0, z 86=(90 -60)/(90 -40) = 0. 6, z 26=(90 -90)/(90 -40)=0, z 56=(90 -80)/(90 -40)=0. 2, z 96=(90 -50)/(90 -40) = 0. 8, z 36=(90 -80)/(90 -40)=0. 2, z 66=(90 -40)/(90 -40)=1, z 106=(90 -60)/(90 -40) = 0. 6, z 76 = (90 -60)/(90 -40) = 0. 6. 23

Przykład 47 – agregacja. Zakończenie procesu normowania cech diagnostycznych umożliwia przejście do etapu agregacji, w wyniku której otrzymujemy zmienne agregatowe charakteryzujące każdy z dziesięciu zakładów (stosujemy wzór (16)). Wyniki normowania cech diagnostycznych oraz wartości zmiennych agregatowych (syntetycznych) Qt zestawiono w tabeli: 24

Przykład 47 – ranking hut szkła. Na podstawie uzyskanych rezultatów wielokryterialnej oceny sporządzamy ranking hut szkła: Z rankingu omawianych obiektów łatwo wskazać pięć najlepszych zakładów, są to huty szkła: H 8, H 9, H 5, H 6 i H 10. 25

Przykład 48. Pewien nabywca chce zakupić samochód osobowy klasy średniej o pojemności silnika do 1400 cm 3. Potencjalny klient ma możliwość wyboru spośród ośmiu marek samochodów tej klasy. Są to : Ford Focus, Fiat Punto, Renault Clio, Opel Astra, Volkswagen Bora, Skoda Fabia, Seat Cordoba i Nissan Primera. Swój wybór nabywca opiera na siedmiu wymiernych kryteriach, są nimi następujące cechy: X 1 — cena w tyś. zł, X 2 — moc silnika w km, X 3 — pojemność bagażnika w dm 3, X 4 — przyspieszenie w s do osiągnięcia prędkości 100 km/h, X 5 — zużycie paliwa w l na 100 km jazdy, X 6 — długość karoserii w m (klient przyjmuje, iż optymalna dla niego długość karoserii mieści się w przedziale [4 m; 4, 60 m], zatem: c 16 = 4, c 26 = 4, 6), X 7 — bezpieczeństwo jazdy wyrażone liczbą zainstalowanych poduszek powietrznych. 26

Przykład 48, cd. . Wykorzystując zebrane w tabeli niżej informacje o wartościach cech dla poszczególnych marek samochodów należy: a) rozpoznać zmienne diagnostyczne, b) dokonać ich normowania stosując MUZ, c) zbudować ranking obiektów (marek samochodowych), d) wskazać trzy najlepsze marki samochodów jako przesłanki wielokryterialnej decyzji klienta. 27

Przykład 48 – rozwiązanie – normowanie cechy X 6. Spośród siedmiu zmiennych diagnostycznych trzy są stymulantami (X 2, X 3 i X 7), trzy są destymulantami (X 1, X 4 i X 5) oraz zmienna X 6 jest nominantą z danym przedziałem nominalnym [c 16, c 26] = [4; 4, 6]. Normowanie stymulant i destymulant przebiega podobnie jak w przykładzie 47. Wyniki transformacji tych zmiennych są podane w tabeli niżej. Normowanie cechy X 6 (korzystamy ze wzoru (15)): z 16 = 1, bo z 16 Î [4; 4, 6], z 66=(3, 9 – 3, 8) / (4 – 3, 8) = 0. 5, z 26 = 0, bo z 26 = z 76 = 1, bo x 76 Î [4; 4, 6], z 36 = 1, bo x 36 Î [4; 4, 6], z 46 = (5 – 5, 4) / (4, 6 – 5, 4) = 0. 5; z 86 = 0, bo x 86 = z 56 = 1, bo x 56 Î [4; 4, 6]. Wartości zmiennej syntetycznej Qi, obliczono stosując wzór (16). Transformację wszystkich cech diagnostycznych wraz z wartościami zmiennej syntetycznej Qi, charakteryzującej poszczególne obiekty podano w 28 tabeli niżej.

Przykład 48 – wartości unormowanych zmiennych. 29

Przykład 48 – ranking samochodów. Korzystając z wartości zmiennej agregatowej podanych w tabeli wyżej budujemy ranking wybranych marek samochodów klasy średniej: Z tablicy łatwo wskazać trzy najlepsze marki samochodów klasy średniej. Są to: Ford Focus, Seat Cordoba i Volkswagen Bora. 30

Przykład 49. Na podstawie informacji zawartych w przykładzie 48 oraz znajomości jego rozwiązania (ustalenie rankingu wybranych marek samochodów klasy średniej) należy podzielić zbiór ośmiu obiektów na trzy podzbiory: • samochody najwyższej kategorii, • samochody przeciętnej kategorii, • samochody najniższej kategorii. Dokonać podziału, stosując procedurę opisaną w tekście opartą na wykorzystaniu stałej U (wzór (18)). Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wyodrębnić najwyższą i najniższą wartość zmiennej syntetycznej Qi: Następnie stosujemy wzór (18) celem znalezienia wartości stałej U: 31

Przykład 49 - rozwiązanie. Dalej, wykorzystując wartość stałej U, ustalamy trzy przedziały zmienności zmiennej syntetycznej Qi, którym odpowiadają podgrupy obiektów: najlepsza, przeciętna i najsłabsza: • podgrupa samochodów najwyższej kategorii dla Qi Î (3, 800; 4, 625], • podgrupa samochodów przeciętnej kategorii dla Qi Î (2, 975; 3, 800], • podgrupa samochodów najniższej kategorii dla Qi Î [2, 150; 2, 975]. Z tabeli rankingu marek samochodów otrzymujemy trzy podgrupy złożone odpowiednio z trzech, dwóch i trzech obiektów: • samochody najwyższej kategorii — {Ford Focus, Seat Cordoba i Volkswagen Bora}, • samochody średniej kategorii — {Nissan Primera, Renault Clio}, • samochody najniższej kategorii — {Opel Astra, Skoda Fabia i Fiat Punto}. 32