Brojevi u starim kulturama Ivana ovagovi studentica Odjela

Brojevi u starim kulturama Ivana Šovagović, studentica Odjela za matematiku

Brojevni sustav Egipta (3000. g. pr. Kr. )

HIJEROGLIFI • • • pismo se sastoji od raznih simbola i sličica ima 7 simbola pomoću kojih zapisujemo brojeve baza 10 = 1973 Primjer: = 2235102 = 125

HIJERATSKI BROJEVI • mijenjali su se tijekom vremena • Boyer ( prije 50 godina) Korišteni pojedinačni znakovi za: • jedinice (1, 2, … 9) • desetice (10, 20, … 90) • stotice(100, 200, … 900) 1800 p. n. e • tisućice (1000, 2000, … 9000) • nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti • adicijski sustav Primjeri: 1600 p. n. e

Demotski brojevi n n nastalo u 8 st. pr. Kr iz hijeratskih brojeva drugačiji način zapisivanja brojeva -> isti princip kao hijeratski brojevi 664 -525. pr. Kr -> glavno pismo koristilo se do polovice 5. st pr. Kr Demotski sustav brojeva će preuzeti i Stari Grci Demotsko pismo se dijeli na tri perioda: n n n rano demotsko pismo (650 - 400 p. n. e. ) srednje (ptolomejsko) demotsko pismo (400 - 30. p. n. e. ) kasno (rimsko) demotsko pismo (30. p. n. e. - 452)

RAZLOMCI Poznavali su samo jedinične razlomke zapisivali tako da zapišu nazivnik i iznad njega stave simbol otvorenih usta Specijalni znakovi su postojali samo za ⅔ i ¾ Primjer: oko boga Horusa cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1

Babilonski brojevni sustav (oko 2000. g. pr. Kr. )

u početku koristili pet simbola Danas: za prikaz brojeva koristili "jedinice" i "desetice" koriste dva simbola Primjer: broj 95: 1 ili 60 10 60+30+5

baza 60 Primjer: Brojevni sustav s bazom šezdeset u babilonskoj matematici

Tablica recipročnih brojeva Objašnjenje

Grčki brojevni sustav (oko 900. pr. Kr. – 200. poslije Kr. )

Imali dva usporedna brojevna sustava Prvi je bio zasnovan na početnim slovima imena brojeva Primjer: = 5678 Baza 10

Drugi je upotrebljavao sva slova grčkog alfabeta i tri iz feničkog Primjer: = 269 Adicijski sustav brojeva

Rimski brojevni sustav (400. pr. Kr. - 600. poslije Kr. )

n n jedan je od najpoznatijih brojevnih sustava u povijesti ljudske civilizacije NEPOZICIJSKI brojevni sustav jedan znak predstavlja jednu vrijednost nije osnovan na nekom baznom broju osnovne znamenke u rimskom brojevnom sustavu su I, V, X, L, C, D, M ( ima ih sedam) Vrijednost znamenki 1 5 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 I V X

a v e j o r b i e t i j t n s a ri iv o ta s i s k i p a e i j Za z ajeno jviše tr a ič n b o o u n p o t uzas a znak

Pravila za pisanje rimskih brojeva Ako su znamenke napisane jedna do druge tako da desna nije veća od lijeve, onda se vrijednosti znamenki zbrajaju n Primjer (zbrajanje znamenki) L X V I I = L+X+V+I+I = 50+10+5+1+1 = 67 n Ako su znamenke napisane tako da je vrijednost lijeve znamenke manja od desne, onda se vrijednost lijeve znamenke oduzima od vrijednosti desne Primjer (oduzimanje znamenki) IV = 4 IX = 9

ati s i p na o a mog je: e s i b om i a v j j a o n t k a it č oj sus r r b e m j i i vn eć e v Prim j j o a a r N b ev j o m r i b k IX s h i C m k i s X r +9 rim M 0 C 9 M 0+ 0 MM 9 + 0 0 2 0 1 30 +X = = X + C = 99 CXXIX = 39 je d g X I olazi d a g e č zi mu a l nakon a n i od I i e. I ć s e a v p X e je tran s e n s se s de zeti od X te du e mora o što se dodaj 9, i 129 s o n iznosi z i pa 0 2 1 u j bro 129 = X I CXX

Što je sa brojevima koji su veći ili jednaki 4000 ? = 5 000 = 10 000 = 500 000 = 1 000 XV = 15 -> = 15 000 CMXXIV = 924 -> = 924 000

Mane sustava: • Njegova ograničenost • Nema decimalnih brojeva • Velik broj znamenaka za velike brojeve • Nepostojanje nule

Latinski nazivi rimskih brojeva I - unus, una , unum XI – unadecim II - duo, duae, duo XII – duodecim III - tres, tria XIII - tresdecim IV - quattuor XIV - quattuordecim V - quinque XV - quinquedecim VI - sex XVI - sedecim VII - septem XVII - septedecim VIII - octo XVIII - duodeviginti IX - novem XIX - unadeviginti X - decem XX - viginti XXIV - quattuoretviginti XXX – triginta

v a t s u s i n v. ) e r j K o. r r p. b g. i k 00 1 s 1. e Kin (oko 1400

• najprije računali ˝na prste˝ • u 2. tisućljeću prije Krista imali su imali simbole za brojeve Primjer: = 4359 = 5080 2000. god. pr. Kr. baza 10

kasnije se računalo pomoću štapića • brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice • brojevi od 6 – 9 su prikazivani kao jedan vertikalni štapić te kombinacija od nekoliko horizontalnih štapića 400. god pr. Kr • nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se izrađivali u dvije boje: - crveni za pozitivne - crni za negativne brojeve

s vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo suvremeni kineski znakovi za brojeve

nihya k Čitanje kineskih brojeva sanb u - 200 yaku yonh yaku 300 gohy aku - 400 5 ropp 1 - ichi yaku 00 shich 2 - ni ihyak 600 hapy u ili n 3 - san aku anah yaku 800 kyuh 4 - shi ili yon yaku - 700 - 900 5 - go 6 - roku 7 - shichi ili nana 8 - hachi pet dam t 9 - kyu e es et se d t s e es Š 10 – ju t d e – t v s o e e i g d r Š i u t t – u e e j 100 – hyaku ana estdes eset č st ku n o R u 65 oku ju ku – Š damd set še 1000 - sen 7 R u juu on – Se damde tri 6 10 000 - man e y ok et S s R u e – u 9 j d 6 ana uu roku – Osam N 74 ana j san u N u 76 hi j c a H 83

Brojevni sustav Maya (indijansko pleme, srednja Amerika, 3. -10. st. )

Baza 20 zapisivali brojeve pomoću samo 3 simbola: 0 puževa kućica ili 1 točka 5 crta tablica s brojevima

Brojevni sustav Azteka (srednja Amerika, 15. -16. st. )

baza 20 Koristili četiri simbola 1 zrno kukuruza 20 zastava 400 stabljika kukuruza Primjer: = 39 = 9000 8000 lutka od kukuruza = 9287

Indijski brojevni sustav

• Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja koji je danas jako proširen • prvi put se pojavljuje nula (vjerojatno od 4. st. , sigurno od 9. st. ) sunya -> praznina • uvođenje negativnih brojeva Imali su tri različita tipa brojevnih sustava: • KHAROSTHI (oko 400. -200. pr. Kr. ) • BRAHMI (oko 300. pr. Kr. ) • GWALIOR (oko 850. poslije Kr. )

Brahmi (1. stoljeće poslije Kr. ) • dekadski brojevni sustav – znamenke 1, …. 9 • iz njega se razvio arapski brojevni sustav • prvi pravi pozicijski sustav • imali su posebne simbole i za veće brojeve: 10, 20, 30, 40, . . . , 90, 100, 200, 300, 400, . . . , 900, 1000, . . .

Arapski brojevni sustav

Tri tipa aritmetike 1. Računalo se na prste – brojevi se pišu riječima 2. Seksadecimalni sustav – brojevi označeni arapskim slovima

3. Indijski dekadski sustav • brojke koje danas koristimo nazivaju se ”arapske brojke’’ • nasljeđene iz indijskog Brahmi sustava • iz zapadno arapskih brojki razvile su se današnje europske brojke • sastoje se od znamenaka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • pozicijski brojevni sustav

Japanski brojevni sustav

U Japanu se koriste dva sustava brojeva: n n jedan je originalno japanski drugi je kineski koji je prihvaćen prije oko 1000 godina Preko broja deset koriste se samo kineski brojevi 1 Hitotsu – Jedan 2 Futatsu – Dva 3 Mittsu / Mi – Tri 4 Yottsu / Yon – Četiri 5 Itsutsu – Pet 6 Muttsu / Mu – Šest 7 Nanatsu / Nana / Sebun – Sedam 8 Yattsu / Ya / Hatsu / Eito – Osam 9 Kokonotsu – Devet 10 To / Too – Deset

Afrički brojevni sustav

800 godina prije Krista Feničani donijeli zapadno azijski brojevni sustav Rimljani podučavaju sjevernoafričke studente o grčkoj geometriji Većina ljudi u sjevernoj i istočnoj Africi je koristila indijski brojevni sustav koji se temelji na bazi 10, a dijelom na bazi 20 narod Yoruba

Narod Yoruba Koristili brojevni sustav koji se temelji na bazi 10, a dijelom na bazi 20 U knjizi Africa Counts, Claudia Zaslavsky, opisuje brojevni sustav Yoruba Čitanje brojeva Yoruba 20 = ogun 40 = ogun meji 200 = igba 400 = irinwo

Objašnjenje Yoruba brojevnog sustava Brojevi od 1 do 10 imaju jedinstvene nazive Brojevi 11, 12, 13 i 14 se zapisuju: 11=10+1 12=10+2 13=10+3 14=10+4 Brojevi od 15 do 19 su napisani pomoću oduzimanja od broja 20 Brojevi 21, 22, 23 i 24 se zapisuju: 21=20+1 22=20+2 23=20+3 24=20+4 Brojevi od 25 do 29 zapisuju se kao oduzimanje od 30 Svaki broj veći od 30 se zapisuje kao određeni broj puta 20 → plus/minus desetica i jedinica

Primjer: 35 = (2 · 20) - 5 47 = (3 · 20) - 10 - 3 51 = (3 · 20) - 10 + 1 55 = (3 · 20) - 5 67 = (4 · 20) - 10 - 3 73 = (4 · 20) - 10 + 3 86 = (5· 20) - 10 - 4 117 = (6· 20) - 3

Literatura n n n n n Baze u drugim i način kulturama, Doc. dr. sc. Blaženka Divjak Povijest Matematike 1, Franka Miriam Bruckler http: //free-bj. htnet. hr/zbjelanovic/index. html http: //ahyco. ffri. hr/seminari 2007/povijestmatematike/prva. htm http: //www. skole. hr/ucenici/os_nizi? news_hk=5283&news_id=183&mshow=345 http: //www. prenhall. com/divisions/esm/app/ph elem/multicult/html/chap 3. html http: //www. historyforkids. org/learn/africa/science/numbers. htm http: //sh. wikipedia. org/wiki/Egipatski_brojevi http: //sh. wikipedia. org/wiki/Gr%C 4%8 Dki_brojevi