Breve viaggio nella quarta dimensione Georgia Conti e
Breve viaggio nella quarta dimensione Georgia Conti e Stefano Volpe Liceo Scientifico e delle Scienze Umane Teresa Gullace Talotta Roma
Dal problema delle strette di mano ai numeri triangolari
Rispondete alla seguente domanda: "Supponendo che ognuno di voi stringa la mano a ogni altro, quante strette di mano diverse vi potreste scambiare? " Potete aiutarvi compilando la seguente tabella:
Risposta attesa
Per consolidare il risultato raggiunto, si è proposto di rispondere alla stessa domanda supponendo che le persone fossero sedute intorno a una tavola rotonda e chiedendo di disegnare un segmento per ciascuna stretta di mano. Quale sarebbe il numero delle strette di mano se intorno alla tavola si fossero sedute n persone?
Risposta attesa
Ricorrendo alle palline da ping pong,
o a Geo. Gebra, si è poi mostrato come i "numeri delle strette di mano" assumono una forma particolare che fa sì che siano detti numeri triangolari.
Dall’insieme delle parti al Triangolo di Tartaglia
Scheda di lavoro 1 Scrivi l’elenco dei sottoinsiemi dei seguenti insiemi: A = {T, C} B = {1, 2, X} C = {a, e, i, o}
Risposta attesa Sottoinsiemi di A: {T}, {C}, {T, C} Sottoinsiemi di B: {1}, {2}, {X}, {1, 2}, {1, X}, {2, X}, {1, 2, X} Sottoinsiemi di C: {a}, {e}, {i}, {o}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {e, i}, {e, o}, {i, o}, {e, i, o}, {a, i, o}, {a, e, i}, {a, e, i, o} Qualora ci fossero dubbi se l’insieme stesso vada considerato un sottoinsieme dell’insieme dato, sarà sufficiente ricorrere alla definizione di sottoinsieme.
Scheda di lavoro 2 Individua, per ciascuno degli insiemi assegnati, quanti sono i suoi sottoinsiemi di cardinalità uno, due, tre, ecc. Puoi osservare qualche regolarità? Quali considerazioni puoi fare in merito?
Risposta attesa Si osserva che: L’insieme B ha 3 sottoinsiemi di cardinalità uno e 3 sottoinsiemi di cardinalità due. I sottoinsiemi di B di cardinalità uno si costruiscono scegliendo ogni volta uno degli elementi di B, i sottoinsiemi di B di cardinalità due si costruiscono scartando ogni volta uno degli elementi di B.
L’insieme C ha 4 sottoinsiemi di cardinalità uno e 4 sottoinsiemi di cardinalità tre. I sottoinsiemi di C di cardinalità uno si costruiscono scegliendo ogni volta uno degli elementi di C, i sottoinsiemi di C di cardinalità tre si costruiscono scartando ogni volta uno degli elementi di C. Tale osservazione fa sì che nella tabella che è stata costruita si venga a determinare una qualche simmetria.
Osserviamo inoltre che l’insieme A possiede un sottoinsieme costituito di due elementi, costruito cioè prendendo tutti i suoi elementi. Parallelamente si potrebbe pensare di costruire un sottoinsieme scartando tutti e due gli elementi di A, cioè un sottoinsieme di A che non contenga elementi. Un insieme senza elementi prende il nome di insieme vuoto e si indica con . È evidente che lo stesso ragionamento si può fare qualsiasi sia la cardinalità dell’insieme di partenza.
La tabella iniziale può allora essere riformulata la modo seguente, aumentandone la simmetria:
Scheda di lavoro 3 Quali sono i sottoinsiemi di un insieme di cardinalità zero? Quali sono i sottoinsiemi di un insieme di cardinalità uno? Dato l’insieme D = {a, e, i, o, u}, fai l’elenco dei suoi sottoinsiemi di: cardinalità zero: cardinalità uno: cardinalità due: cardinalità tre: cardinalità quattro: cardinalità cinque: e indicane il numero.
Aggiungi i numeri trovati alla tabella vista precedentemente e determina la somma dei numeri di ciascuna riga.
Risposta attesa Un insieme di cardinalità zero ha un solo sottoinsieme di cardinalità zero. Un insieme di cardinalità uno ha due sottoinsiemi, l’insieme vuoto e se stesso.
Sottoinsiemi di D: 1 sottoinsieme di cardinalità zero: 5 sottoinsiemi di cardinalità uno: {a}, {b}, {c}, {d}, {e} 10 sottoinsiemi di cardinalità due: {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u} 10 sottoinsiemi di cardinalità tre: {i, o, u}, {e, i, o}, {a, o, u}, {a, i, o}, {a, e, u}, {a, e, o}, {a, e, i} 5 sottoinsiemi di cardinalità quattro: {b, c, d, e}, {a, b, c, d} 1 sottoinsieme di cardinalità cinque: {a, b, c, d, e}
Domanda Quali regolarità puoi osservare nella tabella che ti permettano di ottenere la riga successiva senza costruire i sottoinsiemi di un insieme con sei elementi?
Risposta attesa Ciascuna riga inizia e termina con un 1. La somma dei primi due termini di ciascuna riga determina il secondo numero della riga successiva. La somma del secondo e del terzo numero di ciascuna riga determina il terzo numero della riga successiva e via di seguito. Per un insieme di cardinalità sei si avrà allora la riga:
che indica che un insieme di cardinalità sei ha un sottoinsieme di cardinalità zero, 6 sottoinsiemi di cardinalità uno, 15 sottoinsiemi di cardinalità due, 20 sottoinsiemi di cardinalità tre, 15 sottoinsiemi di cardinalità quattro, 6 sottoinsiemi di cardinalità cinque, un sottoinsieme di cardinalità sei.
Domanda Come si può giustificare, ragionando sui sottoinsiemi, la modalità di costruzione della riga successiva a una riga nota?
Risposta attesa Consideriamo l’insieme C = {a, e, i, o} e l’insieme D = {a, e, i, o, u}. Abbiamo visto che l’insieme C ha 1 sottoinsieme di cardinalità zero e 4 sottoinsiemi di cardinalità uno. L’insieme D ha un elemento in più. I suoi sottoinsiemi di cardinalità uno saranno i 4 sottoinsiemi di cardinalità uno di C più il sottoinsieme di cardinalità zero di C a cui viene aggiunta la nuova vocale 'u'. Quindi 4 + 1 = 5.
Abbiamo visto che l’insieme C ha 4 sottoinsiemi di cardinalità uno e 6 sottoinsiemi di cardinalità due. L’insieme D ha un elemento in più. I suoi sottoinsiemi di cardinalità due saranno i 6 sottoinsiemi di cardinalità due di C più i 4 sottoinsiemi di cardinalità uno di C a cui viene aggiunta la nuova vocale 'u'. Quindi 6 + 4 = 10.
Il Triangolo di Tartaglia Dai numeri triangolari ai numeri tetraedrici e oltre…
Dopo aver osservato che la seconda diagonale del Triangolo di Tartaglia è costituita dalla successione dei numeri naturali, si è fatto osservare che la terza diagonale è costituita dalla successione dei numeri triangolari.
Si è inoltre osservato che:
il secondo numero triangolare è dato dalla somma dei primi due numeri naturali, il terzo numero triangolare è dato dalla somma dei primi tre numeri naturali e così via… giungendo all’identità nota come Identità della mazza da hockey per la particolare forma dell’oggetto.
Ci si è poi chiesti se l’identità valesse anche per le altre diagonali del Triangolo.
Si è visto così che i numeri della quarta diagonale si ottengono sommando i primi numeri della terza diagonale; cioè che i numeri della quarta diagonale si ottengono come somma dei primi numeri triangolari.
La somma dei primi numeri triangolari si può ottenere geometricamente "impilando", in uno spazio tridimensionale, le rappresentazioni viste dei numeri triangolari ricorrendo alle palline da ping pong,
o a Geo. Gebra, ottenendo così i numeri tetraedrici.
Si può osservare poi che i numeri della quinta diagonale si possono ottenere come somme dei primi numeri tetraedrici e che dunque i numeri della quinta diagonale si possono rappresentare geometricamente "impilando", in uno spazio a quattro dimensioni, i primi numeri tetraedrici ottenendo quelli che vengono chiamati i numeri ipertetraedrici a quattro dimensioni. E così via…
Dal segmento all'ipertetraedro
v. file Sviluppo del triangolo equilatero. ggb
Lavorando per analogia con quanto visto sugli sviluppi in una dimensione del triangolo e in due dimensioni del tetraedro, si è giunti allo sviluppo in tre dimensioni dell’ipertetraedro…
Dimensioni Poliedro 0 Punto 1 Segmento 2 Triangolo 3 Tetraedro 4 5 -cella 5 … Vertici Spigoli Facce Celle … …
Dimensioni Poliedro Vertici Spigoli Facce Celle … 0 Punto 1 Segmento 2 1 2 Triangolo 3 3 1 3 Tetraedro 4 6 4 1 4 5 -cella 5 10 10 5 1 5 … 6 15 20 15 6 … 1
Domanda Come si può giustificare, ragionando sui poliedri, la modalità di costruzione della riga successiva a una riga nota?
Risposta attesa Nel passaggio dal segmento al triangolo si aggiunge un vertice. Quanto agli spigoli, l’aggiunta del vertice determina l’aggiunta di due spigoli, esattamente tanti quanti sono i vertici della vecchia figura. Quindi il numero degli spigoli del triangolo è dato dallo spigolo iniziale cui si aggiungono i due nuovi spigoli: 1 + 2 = 3
Risposta attesa Nel passaggio dal triangolo al tetraedro si aggiunge un vertice. Quanto agli spigoli, l’aggiunta del vertice determina l’aggiunta di tre spigoli, esattamente tanti quanti sono i vertici della vecchia figura. Quindi il numero degli spigoli del tetraedro è dato dai tre spigoli del triangolo cui si aggiungono i tre nuovi spigoli: 3 + 3 = 6
In generale nel passaggio dalla figura in n – 1 dimensioni a quella in n dimensioni si aggiunge un vertice e quindi una figura in n dimensioni contiene esattamente n + 1 vertici. Quanto agli spigoli, l’aggiunta di un vertice determina l’aggiunta di tanti spigoli quanti sono i vertici della vecchia figura. Da qui la legge per la quale il numero degli spigoli della figura in n + 1 dimensioni è pari alla somma del numero dei vertici e del numero degli spigoli della figura in n dimensioni. Analogamente si può verificare che il numero delle facce in n + 1 dimensioni è pari alla somma del numero degli spigoli e del numero delle facce in n dimensioni, e così via…
Diagrammi di Schlegel Dal nome del matematico tedesco Victor Schlegel (1843 – 1905).
Filmato realizzato dagli studenti della 1 D
Dal segmento all’ipercubo
v. file Sviluppo del quadrato. ggb
https: //www. youtube. com/watch? v=u 4 HQ 1 DQ 6 Uy. I
Lavorando per analogia con quanto visto sugli sviluppi in una dimensione del quadrato e in due dimensioni del cubo, si è giunti allo sviluppo in tre dimensioni dell’ipercubo…
Salvador Dalí Corpus Hypercubus 1954
Assonometrie
Dal punto all’ipercubo
Dimensioni Poliedro 0 Punto 1 Segmento 2 Quadrato 3 Esaedro 4 8 -cella 5 … Vertici Spigoli Facce Celle … …
Dimensioni Poliedro Vertici Spigoli Facce Celle … 0 Punto 1 1 Segmento 2 1 2 Quadrato 4 4 1 3 Esaedro 8 12 6 1 4 8 -cella 16 32 24 8 1 5 … 32 80 80 40 10 … 1
Si è infine chiesto di determinare le somme dei numeri presenti su ciascuna riga… Somma 1 2 1 4 4 1 8 12 6 1 16 32 24 8 1 32 80 80 40 10 1
… pervenendo alla conclusione che la somma degli elementi di ciascuna riga di T 2 è una potenza di 3.
Diagrammi di Schlegel
Dal punto all’ipercubo
Attilio Pierelli Ipercubo Facoltà di Scienze MFN Roma Tor Vergata
Grande Arche de la Défense progettato dall'architetto danese Johann Otto von Spreckelsen 1989
Nel film Interstellar (2014) di Christopher Nolan, Joseph Cooper, il protagonista, entra in un buco nero e, raggiunta la singolarità, scopre di trovarsi in realtà all'interno di un artefatto a forma di tesseratto.
Nell'albo n° 63 di Dylan Dog, intitolato Maelstrom!, di Tiziano Sclavi, il raduno delle streghe si tiene in una casa che si rivela essere un tesseratto.
Dal libro di Edwin A. Abbott Flatlandia. Racconto fantastico a più dimensioni (1884)
«Dicono così? Oh, non credetegli! Oppure, se davvero fosse così, cioè che quell'altro Spazio fosse in realtà la Thoughtlandia, allora conducetemi in quella regione benedetta, dove io col Pensiero vedrò l'interno di ogni cosa solida! Là, davanti al mio occhio affascinato, un Cubo, muovendosi non so verso quale direzione completamente nuova, ma in stretto accordo con l'Analogia (così da far passare ogni particella del suo interno, con una sua scia, attraverso uno Spazio di nuovo genere) creerà una perfezione ancor più perfetta della sua, con sedici angoli terminali Super-Solidi, e un Perimetro di Otto Cubi solidi.
E una volta colà, vorremo arrestare il corso della nostra ascesa? In quella beata regione a Quattro Dimensioni, indugeremo forse sulla soglia della Quinta, e non vi entreremo? Ah, no! Decidiamo piuttosto che la nostra ambizione si elevi di pari passo con la nostra ascesa corporea. Allora, cedendo all'assalto del nostro intelletto, le porte della Sesta Dimensione si spalancheranno; e dopo quella una Settima, e quindi un'Ottava. . . »
Lettura del racconto di Robert Heinlein La casa nuova (1941)
Le bolle di sapone
Immergendo semplici telai a forma di tetraedro e cubo, costruiti con un’anima di filo di ferro e una struttura esterna di cannucce colorate, in una miscela di acqua, sapone e glicerina, si riescono ad ottenere delle suggestive bolle di sapone con la forma dei diagrammi di Schlegel di ipertetraedro e ipercubo.
Karen Keskulla Uhlenbeck, matematica statunitense, è la prima donna a vincere, nel 2019, il Premio Abel, assegnato ogni anno dall’Accademia norvegese delle scienze e delle lettere.
Il suo lavoro sul calcolo delle variazioni contribuisce in modo significativo alla comprensione delle cosiddette superfici minime, come quelle che caratterizzano le bolle di sapone, nelle quali la superficie è minimizzata mentre il volume è massimizzato.
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