Bremsweg Anhalteweg Situation 30 km Zone PKW mit

Bremsweg - Anhalteweg Situation: 30 km – Zone PKW mit guten Bremsen und guten Reifen. Fahrgeschwindigkeit 30 km/h. Kind läuft in 20 m Entfernung zwischen 2 parkenden Fahrzeugen auf die Fahrbahn. Was passiert? Annahme: Bremsverzögerung PKW: a=6 m/s 2 Keine „Schrecksekunde“ aufgrund bremsbereiten Fahrens.

Bremsweg - Anhalteweg Für den zurückgelegten (Brems)weg s(t) des PKW gelten folgende physikalische Zusammenhänge: Mit: s(t) = v 0∙t – 1/2∙ a t 2 Der Wert t gibt dabei die Zeit des Bremsvorgangs ( Bremszeit) an. Wie lange wirklich gebremst werden muss, hängt von der Fahrgeschwindigkeit ab. Im allgemeinen gilt für die Geschwindigkeit v während des Bremsvorgangs eine lineare Abnahme. D. h. : v(t) = v 0 – a ∙ t

Bremsweg - Anhalteweg Für unsere Werte gilt daher: Das Fahrzeug muss bis zum Stillstand bremsen – d. h. v(t) =0. Daraus berechnet man die Bremszeit t. v(t) = 25/3 – 6 t = 0 und daher t= 25/18 Sekunden (1, 39 s). Bleibt nur noch die Berechnung des zurückgelegten Weges in dieser Zeit. Für den zurückgelegten Weg nach t Sekunden gilt: s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 6 t 2 = 25/3 ∙ t – 3 t 2 Setzt man für t=25/18 Sekunden ein, erhält man s(25/18) = 625/ 108 = 5, 79 m. Glück gehabt – Kind bleibt unverletzt.

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Fragen: • 1) Was bewirkt eine (realistische) Reaktionszeit von 0, 6 Sekunden („Schrecksekunde“)? • 2) Was bewirkt eine Reaktionszeit von 1 Sekunde? • 3) Was bewirkt eine geringere Bremsverzögerung von a=4 m/s 2 bzw. a=3 m/s 2 (bei nasser bzw. schneeglatter Fahrbahn und / oder schlechtem Zustand der Reifen bzw. Bremsen? • 4) Was bewirkt eine (nur geringfügig) überhöhte Geschwindigkeit von 35 km/h? • 5) Was bewirkt eine (im Ortsgebiet übliche) Geschwindigkeit von 50 km/h?

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Frage 1: • Durch die Reaktionszeit von t. R = 0, 6 s setzt der Bremsvorgang entsprechend später ein. • An der Bremszeit ändert sich nicht – aber: • Für zurückgelegten Weg gilt nun: • s(t) = v 0∙t – 1/2∙ a t 2 + v 0 ∙ t. R, d. h. • s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 6 t 2 + 25/3 ∙ 6/10 = 25/3 ∙ t – 3 t 2 + 5 • Daher: Gesamtanhalteweg um 5 m länger – • s(1, 39) = 10, 79 m.

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Frage 2: • Eine Reaktionszeit von t. R = 1 bewirkt einen um 25/3 m längeren Anhalteweg. Das sind dann 14, 12 m. • Frage 3: • Eine geringere Bremsverzögerung hat Einfluss auf die Bremszeit. Setzt man a= 4 m/s 2, so gilt für die Bremszeit t wegen v(t) = 25/3 – 4 t = 0 t= 25/12 s = 2, 083 s. • Der Bremsweg beträgt daher s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 4 t 2 = 25/3 ∙ t – 2 t 2 und für t=2, 083 s gilt: • S(2, 083) = 8, 68 m. • Bei einer Reaktionszeit von 0, 6 s wäre der Anhalteweg 13, 68 m, bei einer Reaktionszeit von 1 s schon 17, 01 m.

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Setzt man a= 3 m/s 2, so gilt für die Bremszeit t wegen v(t) = 25/ – 3 t = 0 t= 25/ s = 2, 78 s. 3 9 • Der Bremsweg beträgt daher s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙ 3 t 2 = 25/3 ∙ t – 3/ t 2 und für t=2, 78 s gilt: 2 • S(2, 78) = 11, 57 m. • Bei einer Reaktionszeit von 0, 6 s wäre der Anhalteweg 16, 57 m, bei einer Reaktionszeit von 1 s schon 19, 9 m. (Es wird knapp!!)

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Frage 4: • Bei „perfekter“ Verzögerung von a= 6 m/s 2 bewirkt eine leicht überhöhte Geschwindigkeit von 35 km/h (entsprechen 175/18 m/ )zunächst eine Verlängerung der Bremszeit: s • Es gilt wegen v(t) = 175/18 – 6 t = 0 für t: t=175/108 s oder 1, 62 s. • Der Bremsweg beträgt daher: s(t) = 175/18 t – 3 t 2 und für t=175/108 erhält man: s=7, 88 m. • Bei einer Reaktionszeit von 0, 6 s (bzw. 1 s) ist allerdings zu beachten, dass aufgrund der höheren Geschwindigkeit in dieser Zeit auch eine entsprechend längere Wegstrecke zurückgelegt wird. • Der Anhalteweg beträgt bei t. R =0, 6 s 13, 71 m, bei t. R =1 s 17, 6 m. • Frage 5: …selbst probieren!

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Ein paar allgemeinere Überlegungen: • Für die Anfangsgeschwindigkeit v 0 erhält man die Bremszeit stets aus v(t) = v 0 - a∙ t = 0. Es gilt: Für den Bremsweg ohne Reaktionszeit gilt s(t) = v 0 ∙ t – 1/2 ∙a ∙ t 2. Setzt man in die letzte Formel den Term für t ein, erhält man:

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • und damit eine Formel in Abhängigkeit von v 0. • Berücksichtigt man in dieser Formel noch die Reaktionszeit t. R, so gilt: • s(t) = v 0 ∙ t – 1/2 ∙a ∙ t 2 + v 0 ∙ t. R und nach neuerlichem Einsetzen des Terms für t: Kennt man nun a=6 m/s 2 und t. R =0, 6 s kann man die Frage nach der maximalen Geschwindigkeit stellen, um vor einem Hindernis stehenbleiben zu können.

Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Für s=20 m bedeutet dies, die Gleichung: 20= 1/12∙ v 02 + 0, 6∙ v 0 zu lösen. Dies ist eine allgemeine quadratische Gleichung – Lösungsformel verwenden. • Man erhält 2 Lösungen, von denen v 0 = 12, 3 m/s die einzig sinnvolle ist. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 44, 28 km/h.

Bremsweg – Anhalteweg – quadratische Funktionen • Kennt man nun a=6 m/s 2 und t. R =0, 6 s, stellt der Term: • 1/12∙ v 02 + 0, 6∙ v 0 • eine Formel für den Anhalteweg dar. • Die Zuordnung s(v 0)= 1/12∙ v 02 + 0, 6∙ v 0 ist eine quadratische Funktion in der Variablen v 0. • Stellt man eine Tabelle für unterschiedliche Werte von v 0 auf (v 0 >0), erkennt man ihren typischen Verlauf:

v 0 (in m/s) v 0 (in km/h) Reaktionsweg Bremsweg Anhalteweg (in m) 18 3 2, 08 5, 08 36 6 8, 33 14, 33 54 9 18, 75 27, 75 72 12 33, 33 45, 33 90 15 52, 08 67, 08 18 75, 00 93, 00 126 21 102, 08 123, 08 144 24 133, 33 157, 33 5 10 15 20 25 30 35 40 180. 00 Anhalteweg (in m) 160. 00 140. 00 120. 00 100. 00 80. 00 60. 00 40. 00 20. 00 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Übungsaufgaben • Führe alle Berechnungen für das Ortsgebiet (50 km/h) und eine Distanz von 30 m bis zum Hindernis durch! • Ergebnisse: • Für v 0=50 km/h = 125/9 m/s und a=6 m/s 2 gilt: • Bremszeit t=2, 31 s Bremsweg: s=16, 08 m. Für Reaktionszeit t. R=0, 6 s: Anhalteweg: 24, 41 m, für Reaktionszeit t. R=1 s: Anhalteweg: 29, 96 m. • Für a=4 m/s 2 gilt: • Bremszeit t=3, 47 s Bremsweg: s=24, 11 m. Für Reaktionszeit t. R=0, 6 s: Anhalteweg: 32, 45 m, für Reaktionszeit t. R=1 s: Anhalteweg: 38, 00 m. In beiden Fällen: Krankenhaus!

Übungsaufgaben • Für a=3 m/s 2 gilt: • Bremszeit t=4, 63 s Bremsweg: s=32, 15 m. Für Reaktionszeit t. R=0, 6 s: Anhalteweg: 40, 48 m, für Reaktionszeit t. R=1 s: Anhalteweg: 46, 04 m. In beiden Fällen: Krankenhaus! • Zusatzfrage: Aufprallgeschwindigkeit • Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Fahrzeug im letzten Fall auf das Hindernis? • Lösung: • Nach welcher Zeit hat das Fahrzeug 30 m zurückgelegt? • D. h. 125/9 t – 3/2 t 2 + 125/9 = 30 und daraus t= 1, 36 s. Setzt man t=1, 36 s in die Funktion v(t) = 125/9 – 3 t ein, erhält man die „Restgeschwindigkeit“ zum Zeitpunkt des Aufpralls • (hier: 9, 81 m/s oder 35, 32 km/h)

Übungsaufgaben • Situation: Autobahn – Stau – erkennbar in einer Entfernung von 200 m (Stauende liegt in einer Kurve) • PKW: Geschwindigkeit 130 km/h , a=6 m/s 2 t. R=0, 6 s • LKW 50 m hinter PKW, erkennt Stauende aufgrund der höheren Sitzposition gleichzeitig: • Geschwindigkeit 90 km/h a=3 m/s 2 t. R=0, 6 s. • Frage: Können beide Fahrzeuge vor dem Stauende anhalten? • Lösung: • PKW: Bremszeit: 6, 02 s, Anhalteweg: 130, 33 m • LKW: Bremszeit: 8, 33 s, Anhalteweg: 119, 17 m • d. h. beide können anhalten, LKW bleibt hinter PKW stehen.

Übungsaufgaben • Variante 1: LKW erkennt das Stauende zwar gleichzeitig mit dem PKW (also in 250 m Entfernung), hat aber abgefahrene Reifen und schlechte Bremsen, daher a=2 m/s 2 (Geschwindigkeit unverändert 90 km/h): • Lösung: • LKW: Bremszeit: 12, 5 s, Anhalteweg: 171, 25 m. • Achtung: Der Anhalteweg des LKW ist größer als jener des PKW, allerdings stehen ihm 250 m Strecke zur Verfügung. Der PKW stoppt 69, 66 m vor dem Stau, der LKW 78, 75 m vor dem Stau. Ein Aufprall auf den PKW kann damit vermieden werden.

Übungsaufgaben • Variante 2: LKW erkennt das Stauende ebenfalls erst in 200 m Entfernung, hat abgefahrene Reifen und schlechte Bremsen, daher a=2 m/s 2 , überhöhte Geschwindigkeit 100 km/h: • Lösung: • LKW: Bremszeit: 13, 89 s, Anhalteweg: 209, 56 m. • Dem LKW stehen nur 130, 33 + 50 = 183, 33 m zum Anhalten zur Verfügung, er prallt daher in jedem Fall in den PKW! • Aufprallgeschwindigkeit? • Für den LKW gilt: s(t)=250/9 t – t 2 + 250/9 ∙ 0, 6. • Will man wissen, wie lange der LKW für 183, 33 m braucht, setzt man s(t) = 183, 33. Man erhält die Bremszeit t= 8, 77 s. Zu diesem Zeitpunkt hat der LKW eine „Restgeschwindigkeit“ von 10, 24 m/s, das sind ca. 36, 88 km/h!! Das Grauen beginnt…