BR NOKTADA SREKLLK SOLDAN VE SADAN SREKLLK KAPALI

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLÜ TEST

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK Tanım: , fonksiyonunda, süreklidir, denir. olmak üzere ye tanımlanan f(x) ise, f fonksiyonu x=a noktasında Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için: 1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır. 2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır. 3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır. Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir. ANA MENÜ

y f(x) y y f(a) L L=f(a) 0 a x 1. f(a)=L 2. olduğundan, x=a noktasında f fonksiyonu süreklidir. 0 L a x • x = a’da tanımsızdır. Çünkü a’nın görüntüsü yoktur. Bunun için f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir. 0 a x için f, x=a noktasında süreksizdir. ÖRNEK Fonksiyonu x=1’de sürekl midir? ANA MENÜ ÇÖZÜM

ÇÖZÜM ANA MENÜ

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK Tanım: , fonksiyonunda: 1. süreklidir, denir. 2. süreklidir, denir. olmak üzere ise f fonksiyonu x= a noktasında soldan ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan ANA MENÜ

Tanımı aşağıdaki grafiklerle inceleyiniz. y y f L=f(a) 0 a x f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir. 0 a x f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir. ÖRNEK fonksiyonunun x=1’de soldan ve sağdan sürekliliğini inceleyelim. ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM 2 = olduğundan, lim x ® 1 f(x) lim x ® 1 ( x + 1) = 2 ü 1. ï fonksiyon x=1 de soldan sürekli lim x ® 1 f(x) = lim x ® 1 ( 2 x - 1) = 1 ý değildir. ï f(1) = ( 2. 1) - 1 = 1 þ 2. olduğundan, fonksiyon x=1 de sağdan süreklidir. - + ANA MENÜ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK Tanım: fonksiyonu için sürekli ise f kapalı aralığında süreklidir, denir. Bu tanımı aşağıdaki grafiğe göre inceleyelim. y=f(x) y K=f(b) f(x)0 L=f(a) ÖRNEK 0 a x 0 b fonksiyonunun aralığında sürekli olduğunu gösterelim. ANA MENÜ x kapalı ÇÖZÜM

ÇÖZÜM için olduğundan, f fonksiyonu aralığında süreklidir. y kapalı 2 f(x) = x - 4 5 -1 x 2 0 3 -3 -4 ANA MENÜ

TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK Tanım: , fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında sürekli ise f, tanım kümesinde süreklidir, denir. ÖRNEK a n , a n-1 , . . . a 1 , a 0 birer reel sayı olmak üzere n n-1 f(x)= anx +an-1 x +. . +a 1 x +a 0 ile tanımlı fonksiyonunun R’de sürekli olduğunu gösterelim. Teorem 1 Teorem 2 ANA MENÜ Teorem 3 ÇÖZÜM

ÇÖZÜM için olduğundan f fonksiyonu Rde süreklidir. NOT: R Rye polinom fonksiyonları sürekli olup grafikleri devamlı çizgi çizer. y y y c 0 f(x)= ax+b f(x)= c x f(x) = ax 2+ bx + c 0 x ANA MENÜ 0 x

Teorem 1: , olmak üzere; Adan Rye tanımlı f ve g fonksiyonları x=a noktasında sürekli iseler; 1. için k. f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. 2. f + g ve f - g fonksiyonları x = a noktasında süreklidir. 3. f. g fonksiyonu x=a noktasında süreklidir. 4. olmak üzere, f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. ÖRNEK fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olup olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM f(x) = (x - 2) 2 ve olur. g(x)= x 2 -1 olmak üzere, h(x)=f(x). g(x) lim x ® 2 f(x) = f(2) = 0 ve lim x ® 2 g(x) = g(2) = 3 olduğundan; f ve g, x=2 noktasında süreklidir. Teoreme göre f ve g’nin çarpımından oluşan h=f. g fonksiyonu da x=2 nokasında süreklidir. ANA MENÜ

Teorem 2 (Bileşke fonksiyonunun sürekliliği): , fonksiyonları ile , olmak üzere, f fonksiyonu a noktasında ve g fonksiyonu da f(a)nokasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir. ÖRNEK Fonksiyonu için sürekli ise (a, b)ilişkisi ne olmalıdır? ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM fonksiyonları için süreklidir. O halde f fonksiyonu eğer x=2’de sürekli olursa, f fonksiyonu için sürekli olur. Buna göre, olmalıdır. O halde (a, b)=(2, 6) bulunur. ANA MENÜ

Teorem 3 (Ters fonksiyonun sürekliliği) f : A ® B ve f -1 : B ® A birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu A kümesinde sürekli ise, f -1 fonksiyonu da B kümesinde süreklidir. y İspat: Bir fonksiyonla bunun tersinin grafiği y=x doğrusuna göre simetriktir. f’in grafiği devamlı bir eğri ise f -1 grafiği de devamlı bir eğri olacaktır. -1 Bunun için f sürekli ise f de sürekli olur. b f -1 d a f c c ANA MENÜ a d b x

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ 1. f(x) = sinx y için; 1 olduğundan, sinx fonksiyonu R’de süreklidir. Yandaki grafiğin hiçbir noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir. -Õ - f(x) = sinx Õ 2 Õ 0 x Õ 2 -1 2. f(x) = cosx " x Î R için; y olduğundan, cosx fonksiyonu R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz. 1 -Õ Õ - Õ 2 0 x Õ 2 f(x) =cosx ANA MENÜ

sinx = = f(x) tanx 3. cosx olduğundan, tanx fonksiyonu paydayı 0 yapan eğerlerde tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir. kümesind cos x = 0 Þ Ç = {x x = (2 k - 1) Õ 2 , k Î Z} e tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir. Bu durum grafikten de görülebilir. f(x)=tanx fonksiyonunun sürekli olduğu küme: R - {x x = (2 k - 1) Õ 2 , k Î Z} -Õ Õ cosx 3Õ = = f(x) cotx 4. olduğundan, cotx 2 2 sinx fonksiyonu paydayı 0 yapan değerlerde tanımsız olduğu için bu noktalarda süreksizdir. kümesind sinx = 0 Þ Ç x x = k Õ, k Î Z e tanımsız olup, bu nedenle süreksizdir. f(x)=cotx fonksiyonunun sürekli olduğu küme: { y x Õ 2 Õ 3Õ 2 } ÖRNEK R - {x x = k Õ, k Î Z} ANA MENÜ

ÖRNEK Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız. ANA MENÜ ÇÖZÜM

ÇÖZÜM f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir. olduğundan fonksiyon süreksizdir. O halde süreksizdir. kümesinde fonksiyon ANA MENÜ

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ Tanım 1: fonksiyonu için olmak üzere f(a) tanımlı ve ise f fonksiyonunun x=a’da kaldırılabilir süreksizliği vardır, denir. Eğer olarak tanımlanırsa bu şekilde edilen yeni fonksiyon x=a’da sürekli olur. ÖRNEK Fonksiyonunun x=2 noktasında kaldırılabilir süreksizliği olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM Tanım 2 Tanım 3 ANA MENÜ

ÇÖZÜM olduğundan x=2’de kaldırılabilir süreksizlik vardır. f(2)=1 yerine f(2)=0 olarak tanımlanırsa elde edilen fonksiyonu sürekli olur. ANA MENÜ

Tanım 2: fonksiyonu için olmak üzere f(a) tanımlı fakat ise, x=a’da sıçrama süreksizliği vardır, denir. ÖRNEK Fonksiyonu x=1’de hangi tür süreksizliğe sahiptir? ANA MENÜ ÇÖZÜM

ÇÖZÜM f fonksiyonu x=1’de soldan ve sağdan limitleri farklı olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır. Bu durumu grafikten inceleyelim. y 3 y=f(x) 2 1 0 x 1 ANA MENÜ

Tanım 3: fonksiyonu için olmak üzere x=a’daki soldan ve sağdan limitlerinden en az biri veya ise fonksiyonun x=a’da sonsuz süreksizliği vardır, denir. ÖRNEK Fonksiyonu x=0’da hangi tür süreksizliğe sahiptir? ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM olduğundan, f fonksiyonu x=0’da sonsuz süreksizliğe sahiptir. Bu durumu grafikten inceleyiniz. 2 y 1 0 x ANA MENÜ

KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ Tanım: fonksiyonunda 1. Eğer " x Î A için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır. Bu sayılarının en büyüğüne f fonksiyonunun en büyük alt sınırı denir. 2. Eğer " x Î A için olacak biçimde en az bir sayısı varsa f fonksiyonu üstten sınırlıdır. Bu sayılarının en küçüğüne f fonksiyonunun en küçük üst sınır denir. 3. Eğer " x Î A için olacak biçimde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonu sınırlıdır. Teorem 1 Teorem 2 Teorem 3 ANA MENÜ

Teorem 1: Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon sınırlıdır. • Teoreme göre fonksiyonu sürekli ise için olacak biçimde bir sayısı vardır. Bu teoremin karşıtı doğru değildir. Kapalı bir aralıkta sınırlı olan fonksiyon bu aralıkta sürekli olmayabilir. ÖRNEK f(x)= 2 cosx+3 fonksiyonu sınırlıdır? Sınırlı ise fonksiyonun en büyük alt ve en küçük üst sınırını bulalım. ÇÖZÜM f(x)=2 cosx+3 fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı bir fonksiyondur. O halde f fonksiyonun en alt sınırı 1, en küçük üst sınırı 4’tür. ANA MENÜ

Teorem 2: (Ekstremum Değer Teoremi fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır. • Teoreme göre olacak biçimde m ve M sayıları vardır. F fonksiyonunun aralığında aldığı en küçük (minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M değerlerine, fonksiyonun aralığında ekstremum değerleri denir. y max M f(a) f(b) m 0 min a b ANA MENÜ x

Teorem 3: (Ara Değer Teoremi) fonksiyonu ise f fonksiyonu, ile aralığında sürekli ve arasındaki her değeri en az bir kez alır. Eğer değeri vardır ki f(c)=0’dır. Yani fonksiyonun grafiği Ox eksenin bir noktada keser. ANA MENÜ

ÇÖZÜMLÜ TEST 1. fonksiyonunun x=1 için limiti nedir? ÇÖZÜM 2. f’in R’de sürekli olması için a+b ne olmalıdır. ÇÖZÜM 3. f fonksiyonu için nedir? 4. 5. değeri ÇÖZÜM f fonksiyonun sürekli olduğu küme nedir? ÇÖZÜM değeri nedir? ÇÖZÜM ANA MENÜ

6. f fonksiyonu x’in kaç reel değeri için süreksizdir? ÇÖZÜM 7. değeri nedir? ÇÖZÜM 8. değeri nedir? ÇÖZÜM 9. nedir? değeri 10. f’in süreksiz olduğu x değerlerinin kümesi nedir? 11. f(x)’in değeri nedir? 12. değeri nedir? ANA MENÜ ÇÖZÜM

13. f’in x=2’de sürekli olması için ÇÖZÜM m ne olmalıdır? 14. değeri nedir? 15. aralığında olduğu x değerleri nedir? ÇÖZÜM fonksiyonunun süreksiz ÇÖZÜM ANA MENÜ

ÇÖZÜM 2 için süreklidir. polinom fonksiyon olduğundan için polinom fonksiyon olduğundan süreklidir. f’nin R’de sürekli olması için x=-1’de de sürekli olması gerekir. Buna göre:

ÇÖZÜM 3 x=3 fonksiyonunun kritik noktası olduğundan bu noktada soldan ve sağdan limit alınır.

ÇÖZÜM 4 olduğundan x=4 için f fonksiyonu süreklidir. için f(x)=3 x-1 polinom fonksiyonu olduğundan süreklidir. fonksiyonu x=3 için tanımsızdır. Ancak x=3 değeri aralığında olmadığından f fonksiyonu süreklidir. Buna göre f fonksiyonu R’de süreklidir. içinde

ÇÖZÜM 6 Pay ve payda her için sürekli olduğundan f fonksiyonu yalnızca paydayı 0 yapan değerler için tanımsız ve süreksizdir. denklemini çözelim x=-1 kökü koşuluna uymadığından kök değildir. x<5 için Süreksiz olduğu x değerleri 6, 3, 2’dir.

ÇÖZÜM 7 x -1 + 4’ün solunda görülüyor. Buna göre 4 - + ve olduğu olur.

ÇÖZÜM 8 x için 2 + + 1 1 ve olduğu görülüyor.

ÇÖZÜM 9 olduğundan x 2. bölgededir. Bu bölgede sinx>0 ve cosx<0 ve sgn(sinx)=1, sgn(cosx)=-1’dir. Buna göre; 2 1 3 4

ÇÖZÜM 10 x-4=0 x=4 için tanımsızdır. x 3 4 - + - -1 1 -1 yoktur ve x=3 için fonksiyon süreksizdir. Bu iki değerin dışında fonksiyon süreklidir.

ÇÖZÜM 11

ÇÖZÜM 12

ÇÖZÜM 13 x=2’de sürekli olması için olmalıdır.

ÇÖZÜM 14

ÇÖZÜM 15 Pay ve payda daima süreklidir. Paydanın 0 olduğu x değerleri için f fonksiyonu süreksiz olur. için f süreksizdir. Sinüsü olan x reel sayıları 3. bölge ile 4. bölgededir. Buradan;