BR MATEMATKNN GZNDEN HAYATA BAKI Aye Soysal 20
BİR MATEMATİKÇİNİN GÖZÜNDEN HAYATA BAKIŞ Ayşe Soysal 20 Eylül 2019 Balıkesir Üniversitesi
Ne yaparsam yapayım, saçım tel kabarıyor. Mükemmel taranmış bir saça nasıl kavuşabilirim? Matematikçiden cevap: Boşuna uğraşma, bu mümkün değil.
Peki, matematikçiler ne iş yaparlar? Matematik nedir? § Matematikçiler birbirlerinden farklı gözüken şeyler arasındaki gizli bağlantıları araştırırlar. § Matematik, yapıları ve yapılar arasındaki bağlantıları inceler. § Matematikçilerin araştırdığı iki temel yapı: o Sayı sistemleri o Uzayın geometrisi.
Sayı doğrusu: Sayılarla ilgili herşey burada
Gizemli bir dizi: �
Fibonacci sayıları
Fibonacci oranları: �
Altın oran �
Altın dikdörtgen
Afrodisias antik kentinden bir altın oran
Topoloji: § Topoloji, üzerlerinde geometrik analiz yapılmasına olanak tanıyan (yakın veya uzak, içinde, dışında veya sınırında gibi), birinden ötekine sürekli fonksiyonlar tanımlanabilen, ama bir metrik’e sahip olmayabilen uzayları çalışır. § Parçacık fiziğindeki araştırmalar atomun parçacıkları arasındaki uzayın bir Öklid uzayı olmadığını göstermiştir; bu uzay Lie cebirleri adı verilen matematiksel yapılarla
Silindir ve Möbius bandı
Silindir ile Möbius bandı arasındaki fark nedir? Silindirin içi neresi, dışı neresi, bellidir; Möbius bandının içinin dışından farkı yoktur. § Matematikçi açıklaması: Silindir yüzeyinde tutarlı bir şekilde dik vektör tanımı yapılabilir, ama Möbius bandında yapılamaz. §
Mükemmel görünmesi için saçımı nasıl taramalıyım? Matematikçiden cevap: Boşuna uğraşma, bu mümkün değil.
Bir topolojik yüzey: n-küre �
Kıllı kelle teoremi: § Çift boyutlu n-küre üzerinde sürekli ama hiç bir zaman sıfır olmayan bir teğet vektör fonksiyonu tanımlamak mümkün değildir.
Ya fırıldak ya da kabaran saçlar
Kabaran saçlı 2 -küre ve mükemmel taranmış torus
Brouwer sabit nokta teoremi (1912): �
Rüzgar: sürekli bir vektör fonksiyonu
Brouwer teoremi’nin farklı bir uygulaması: § Atmosferdeki rüzgar, dünya yüzeyi (yani 2 küre) üzerinde tanımlı olan sürekli bir vektör fonksiyonudur. § Brouwer sabit nokta teoremine göre, her an dünya yüzeyi üzerinde hiç rüzgar esmeyen bir nokta mevcuttur.
Bir cebir problemi: daireyi karelemek Daireyi kare yapma problemi, cetvel ve pergelle gerçekleştirilen sonlu sayıda işlemle verilen bir daireyle aynı alana sahip olan bir kare inşa etmektir.
Daireyi karelemek: popüler bir problem Kraliçe Victoria dönemi matematikçilerinden Charles Lutwidge Dodgson ‘daire kareleyenler’in yaptıkları mantık hatalarıyla dalga geçti. Matematikçi Dodgson, romanlarında kullandığı Lewis Carroll adı ile tanınır; Alice Harikalar Diyarında kitabının yazarıdır.
Daireyi karelemek: imkansız bir uğraş § Lindemann ve Weierstrass π sayısının transandantal bir sayı olduğunu kanıtladılar(1882). § Bir transandantal sayı, rasyonel katsayılı, sıfırdan farklı bir polinomun kökü olmayan sayıdır. § Eğer daire karelenebilseydi π sayısı transandantal sayı olmazdı.
Cetvel & pergel çizimleri: Cetvel ve pergel kullanarak, sonlu sayıda adımda çizilebilen sayılara inşa edilebilen sayı adı verilir. § π sayısı gibi transandantal sayılar inşa edilebilen sayılar değildir. §
Başka popüler inşa problemleri : �
Evariste Galois (1811 -1831): �
Galois teorisinden: İnşa edilebilen her sayı, derecesi 2’nin kuvveti olan rasyonel katsayılı bir polinomun köküdür.
Küpün duplikasyonu: imkansız bir uğraş daha �
Biraz topoloji: Balonu iğne ile deldiğimizde niye yamyassı olur?
Benzer bir soru: Süpapı gevşetince niye lastik yamyassı olur?
Topoloji ve coğrafya: § Bir harita 2 -kürenin (veya 2 -kürenin bir kısmının) düzlem üzerinde resmedilmesidir. § Böyle bir işlemde hem mesafeleri hem de açıları korumak, yani aslına uygun muhafaza etmek, mümkün değildir. Her haritada bir yamukluk veya yırtıklık vardır.
Resim sanatında da aynı sorun var:
Stereografik izdüşüm: bir harita çizim tekniği
Başka bir teknik: harita düzleminde yırtıklar
Stereografik izdüşüm ve sonsuzdaki nokta: Kuzey yarıküredeki her noktanın izdüşümü düzlemdeki bir noktaya tekabül eder. § Kuzey kutbuna yakın noktaların izdüşümü giderek daha uzağa düşer. § Kuzey kutbu §
2 -küre ile düzlem arasındaki topolojik fark nedir? Stereografik izdüşüm, 2 -kürenin topolojik olarak düzlem artı sonsuzdaki noktaya tekabül ettiğini göstermektedir. Kuzey kutbu sonsuza giden noktadır. § Eğer balonu patlatırsanız kuzey kutbunu çıkartırsınız. Küre eksi kutup, düzlem eksi sonsuzdaki nokta, yani düzleme dönüşür. Patlayan balonun yamyassı olmasının topolojik açıklaması budur. §
Topun süpabı: Küre = düzlem + sonsuzdaki nokta
Beni dinlediğiniz için teşekkür ederim. Ayşe Soysal
- Slides: 41