BOUNDARY LAYER LAPISAN BATAS Subchapters l 11 1
BOUNDARY LAYER (LAPISAN BATAS)
Sub-chapters l 11. 1. Prandtl’s boundary layer equations l 11. 2. The steady-flow laminar boundary layer on a flat plate parallel to the flow l 11. 3. Turbulent boundary layers l 11. 4. Turbulent flow in pipes l 11. 5. The steady, turbulent boundary layer on a flat plate
1. Prandtl’s Boundary Layer Equations Simplifikasi boundary layer oleh Ludwig Prandtl Permukaan padatan dipakai sebagai sumbu x, lihat Gambar 1. Gravitasi tidak penting dibanding gaya-gaya lain Aliran 2 -dimensi dalam arah x dan y. Karena itu Vz = 0, d. Vx/dz, d. Vy/dz dan d. Vz/dz = 0. Aliran pada arah y sangat lambat dibanding arah x (Vy << Vx) sehingga P/ y 0 ( 2 Vx/ x 2) dalam neraca momentum << ( 2 Vx/ y 2) sehingga ( 2 Vx/ y 2) diabaikan. Gradien Vx arah y sangat besar. • • •
l . l Dengan simplifikasi ini, persamaan neraca momentum menjadi (11. 1) Neraca massa dengan densitas konstan l (11. 2) l l Pers (11. 1) dan (11. 2) ini dinamakan boundarylayer eqns atau Prandtl’s boundary-layer equations.
l Aliran dalam pipa mungkin laminar atau turbulen. Pers (11. 1) dan (11. 2) berlaku pada aliran laminar. l.
2. Boundary-layer laminar pada pelat datar sejajar aliran Pada boundary-layer laminar (lihat Gambar 2) l Vx and Vy = 0 pada y = 0 l Vx = V pada y jauh dari dinding = V l Vy = 0 pada seluruh x dan y l P/ x = 0 di dalam boundary-layer. P di dalam boundary layer P di luar boundary layer Maka Pers 11. 1 menjadi (11. 4)
l Jika ujung pelat digerakkan dalam fluida diam (11. 5) dan di mana erf adalah Gauss’ error function • Maka Vx = f( t) atau f( x/V ) Gambar 11. 3 menunjukkan korelasi di pelat tipis
2. 1. Boundary Layer Thickness Gambar 3 menunjukkan distribusi Vx sebagai fungsi dari y. Pada posisi di mana Vx/V 1, l 5 (11. 9) l adalah boundary layer thickness, yang besarnya fungsi dari jarak x. Maka boundary layer tumbuh sebanding dengan akar jarak dari ujung pelat. l Pers 11. 9 dinamakan Blasius’ solution. Rumus ini berlaku pada pelat datar maupun pelat sedikit berkurva seperti permukaan sayap pesawat. l
Contoh 1. Hitunglah l Pada titik di sayap pesawat 2 ft dari leading edge ketika pesawat terbang 200 mi/jam di udara. l Pada titik 2 ft dari hidung kapal ketika bergerak 10 mi/jam di air Jawaban: a. Untuk udara, =5 b. Untuk air, =5
l Gaya gesek (drag force) pada pelat bisa diperoleh dari = (1. 5) l Diferensial absis di Gambar 3 terhadap Vx pada x konstan menghasilkan (11. 10) atau (11. 11)
Suku kiri Pers (11. 11) disubstitusi ke Pers (1. 5) untuk mendapatkan shear stress. Kemudian shear stress digunakan untuk menghitung gaya gesek. l Pada y=0 atau = 0 (di permukaan), di Gambar 3 = 0, 332. Maka, shear stress di sebarang titik di permukaan adalah 0 = 0, 332 V (V /( x))0. 5 (11. 12) l Koefisien gesek setempat (local drag coefficient), dengan tanda apostrop (‘) (11. 13) l
maka (11. 14) (11. 15) l maka (11. 16)
Gambar 4 menunjukkan plot untuk local drag coefficient. Plot untuk aliran laminar memenuhi Pers 11. 16. l Pada leading edge pelat (x=0) Rex = 0 = Secara fisik tidak realistis sehingga Pers 11. 16 tidak benar pada daerah dekat leading edge. l memberikan drag force local, yang mana tidak praktis. Data drag force keseluruhan pelat lebih berguna. Gaya pada pelat dengan lebar W adalah. (11. 17) l
l Drag coefficient untuk keseluruhan pelat adalah (11. 18) l Substitusi Pers 11. 16 ke Pers 11. 18 (11. 19)
Contoh 2. Pelat 1 m 2 ditarik di belakang kapal menggunakan kawat tipis dan panjang sehingga tak mengganggu aliran. Boundary layer pada kedua sisi pelat adalah laminar. Kecepatan kapal = 15 km/jam. Berapa gaya yang diperlukan untuk menarik pelat? Jawab: l Reynolds number:
l Maka l dan =11, 3 N=2, 54 lbf
2. 2. Displacement Thickness * l Gambar 5 memberikan penjelasan untuk * untuk system pelat dengan lebar W ( gambar). Streamlines di sebelah kanan ujung pelat menggambarkan seolah-olah terjadi kenaikan tebal aliran sebesar * karena boundary layer. Neraca materialnya adalah:
l . (11. 20) l Dengan membagi Pers 11. 20 dengan W dan mengurangi V * pada kedua sisi, maka (11. 21) l atau (11. 22) l . (11. 22 a) l Pengertian fisik displacement thickness * ditunjukkan oleh Pers (11. 22 a) dan Gambar 6. Besarnya * adalah ketebalan boundary layer yang seolah-olah mempunyai kecepatan uniform sebesar V. Pers 11. 22 berlaku baik aliran laminar maupun turbulen.
l. l l Dengan mengalikan kedua sisi Pers 11. 22 dengan maka diperoleh (11. 23)
• Karena adanya boundary layer, aliran melalui • • suatu titik pada permukaan berkurang oleh volume ekivalen area hitam di Gambar 6 kanan. Pengurangan volume ini diberikan oleh integral. Kalau area disamakan dengan area hitam di gambar 6 tengah, yang volumenya *V , maka * didefinisikan sebagai jarak di mana permukaan harus bergerak dalam arah y untuk mengurangi volume yang ekivalen dengan volume karena efek boundary layer.
Integrasi Pers 11. 23 dengan menggunakan daerah sebelah kiri di atas kurva Gambar 3 akan diperoleh nilai sebesar 1, 72, sehingga Pers 11. 23 menjadi l (11. 24) l l Perbandingan Pers 11. 24 dan Pers 11. 9 menunjukkan bahwa */ = 1, 72/5 atau 1/3.
2. 3. Momentum Thickness l Gambar 7 menunjukkan system untuk neraca momentum. Neraca momentum: l Momentum masuk – momentum keluar + gaya gesek = 0 l
Bila gaya gesek diberikan ke fluida yang seolah mengalir dengan kecepatan uniform V , maka perubahan momentum fluida karena perubahan ketebalan sebesar = W V. V dan dari Pers (11. 17) l (11. 25) l atau l (11. 26) Dengan nilai 0 yang diketahui dari Pers 11. 12, maka l (11. 27) l
Perbandingan Pers 11. 27 dan Pers 11. 9 menunjukkan bahwa / * = 0, 664/5 1/8. l Dengan neraca momentum di Gambar 7 maka l (11. 28) l atau l. (11. 28 a) Pers (11. 28 a) menunjukkan momentum ekivalen oleh kecepatan uniform V karena ketebalan = momentum karena kecepatan. l Pers (11. 28) berlaku juga untuk aliran turbulen. l
3. Turbulent Boundary Layers Aliran di boundary layer mungkin laminar atau turbulen. Di pipa transisi terjadi pada Re 2000 atau lebih tinggi bila dinding pipa sangat halus atau vibrasi 0. l Pada pelat datar, transisi terjadi pada Re dari 3, 5 x 105 hingga 2, 8 x 106. l Transisi sangat dipengaruhi oleh kekasaran permukaan dan turbulensi aliran utama. l Gambar 8 menunjukkan boundary layer pada permukaan halus yang cukup panjang. Pada boundary layer turbulen terdapat laminar sublayer. l
Aliran laminar mudah diprediksi. Aliran turbulen sulit diprediksi dan memerlukan percobaan. l Pada aliran turbulen kecepatan pada suatu titik berfluktuasi terhadap waktu, maka berlaku l. (11. 29) l di mana (11. 30) l
4. Turbulent Flow in Pipes Ada shear stress karena friksi antara dinding pipa dan fluida dan Reynolds stress karena friksi antar fluida yang mempunyai velocity yang berbeda. l Terdapat perbedaan profil velocity sebagai fungsi radius dalam pipa (lihat Gambar 9). Aliran laminar berbentuk parabolic, aliran turbulen berbentuk plug-flow (velocity uniform pada penampang pipa). l Baik aliran laminar maupun turbulen, eddy pada dinding pipa hilang dan memenuhi 0 = . Gradien aliran turbulen lebih besar. l
l Aliran turbulen memenuhi (11. 31) di mana nilai n bervariasi dari 1/10 pada Re tertinggi ke 1/6 pada Re terendah. l Gambar 10 adalah distribusi kecepatan universal untuk aliran turbulen untuk pipa halus. Terdapat dua variable, u+ dan y+. l l dan di mana x = rwall – r
Di Gambar 10 terdapat variabel yang disebut friction velocity u*, yang besarnya l (11. 32) l Gambar 10 menunjukkan 3 zone dari dinding pipa hingga sumbu pipa, yaitu: laminar sublayer, buffer layer dan turbulent core. l Laminar sublayer: shear stress karena viscous shear. l Turbulent core: shear stress karena turbulent Re stress. l Buffer layer: viscous and Re stress punya order of magnitude yang sama. Sulit mengukur di laminar sublayer dan buffer layer. l
Contoh 3. Air mengalir dalam pipa halus 3 in ID dengan velocity rata-rata 10 ft/s. Berapa jarak tepi laminar sublayer dan buffer layer dari dinding pipa? Berapa kecepatan rata-rata di titik tsb? Jawab: l Dari Gambar 10 untuk pipa halus, f = 0, 0037 l Dari Gambar 10 batas laminar sublayer u+ 5 dan y+ 5, maka =1, 2 x 10 -4 ft = 0, 037 mm l Pada tepi buffer layer u+ 12 dan y+ 26, maka
l. =1, 2 x 10 -4 ft=0, 037 mm l Pada tepi buffer layer u+ 12 dan y+ 26, maka l Vx = 5, 2 ft/s=1, 59 m/s, rwall- r = 7 x 10 -3 in = 0, 18 mm. l
5. Steady, Turbulent Boundary Layer on A Flat Plate Tidak ada solusi analitis untuk boundary layer turbulen pada pelat datar. Asumsi-asumsi Prandtl: l Kecepatan rata-rata dalam arah x pada suatu titk memenuhi Pers 11. 31 dengan pangkat 1/7 (Prandtl’s 1/7 power rule) dalam bentuk l (11. 33) l l Pada Re antara 3 x 103 dan 3 x 105, plot faktor friksi untuk pipa halus bisa digunakan (11. 34)
l Kombinasi Pers 11. 33 dan 11. 34 menghasilkan (11. 35) l Pers 11. 35 dan persamaan 2 lain menghasilkan (11. 36) (11. 37) Contoh 4. Speedboat menarik pelat halus dengan lebar = 1 ft and panjang = 20 ft melalui air diam dengan kecepatan 50 ft/s. Tentukan tebal boundary layer pada ujung pelat dan drag pada pelat!
Jawab: l Pada ujung pelat, l Dari Pers 11. 35, l Sebagai pendekatan pertama, seluruh boundary layer turbulen, maka dengan Pers 11. 37 l =178 lbf =790 N
l Untuk menentukan besarnya kesalahan dengan asumsi seluruh pelat turbulen, kita asumsikan bahwa transisi dari laminar ke turbulen terjadi pada Rex = 106. Ini berkaitan dengan jarak = 1/100 panjang pelat (=106/108); maka boundary layer untuk jarak 0, 2 ft diasumsikan laminar. Untuk daerah ini drag karena laminar boundary layer diberikan oleh Pers 11. 19 l . =1, 3 lbf = 5, 8 N
l Pada perhitungan yang mengasumsikan seluruh pelat pada kondisi turbulen, maka = 4, 4 lbf = 19, 5 N l Dari 0 hingga 0, 2 ft, perbedaan F antara laminar dan turbulen = 19, 5 – 5, 8 = 13, 7 N, sangat kecil dibanding 790 N.
Corrections for Chap 11. Four corrections in de. Nevers’s book l Eq. 11. 27. = 0. 664 x/Rex 0. 5. l Eq. 11. 34. f = 0. 00791/Re 0. 25 l Problem 11. 14. 0 = 0. 5 ρ Vx, avg 2. f l Problem 11. 14. 0/ρ = 0. 225. V 2 ( /(V. ))1/4
- Slides: 42