Blm 7 VE KNETK ENERJ Gnlk hayatta kullanlan

Bölüm 7 İŞ VE KİNETİK ENERJİ Günlük hayatta kullanılan İŞ ve ENERJİ kavramları, bilimsel anlamda çok daha farklı bir anlama gelir. Bu bölümün işleyişi 1. İş Kavramı (Kuvvet-iş ilişkisi) 2. Kinetik Enerji 3. İş-Kinetik Enerji Teoremi adımlarından oluşacaktır. Son olarak karmaşık sistemlerin dinamiğinin Newton yasalarının kullanıldığı yöntemden çok daha kolay bir biçimde çözülebileceği görülecektir. 1

SABİT BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ Öncelikle burada sabit bir kuvvet ifadesi ile kuvvetin cismin konumuna bağlı olarak değişmediği yani konumun fonksiyonu olmadığı anlaşılmalıdır ( Fx≠f(x) ve Fy≠f(y) ve Fz≠f(z) ). Bir cisim bir noktadan bir başka noktaya bir kuvvet etkisiyle hareket ettirilmiş ise cisim üzerine bir iş yapılmış olur. Kuvvetin iş yapabilmesi için uygulanan kuvvetin yer değiştirme vektörü ile aynı doğrultuda bir bileşeni olmalıdır. Buna göre sabit bir kuvvetin üzerine iş (W), kuvvetin yer değiştirme yönündeki Sürtünme kuvveti fcisim ile gösterilir ve yaptığı her zaman cismin hareketinin bileşeni ile yer değiştirmenin çarpımına eşittir. Aynı zamanda skaler bir niceliktir. tersi yönünde bir(d) kuvvettir. W=Fcosθ d 2 [T-2] [W]=[M][L] Sürtünme Kuvveti statik ve kinetik olmak üzere ikiye ayrılır. 2 2 2 W=(kgm/s ). m=kgm /s =JOULE (J) (SI-MKS birim sistemi) W=gcm 2/s 2=erg (CGS birim sistemi) Kuvvet ile yer değiştirme aynı yönde ise W>0 dır ve bu durumda sisteme enerji aktarılır. Kuvvet ile yer değiştirme zıt yönlerde ise W<0 dır ve bu durumda sistemden enerji aktarılır. 2

İKİ VEKTÖRÜN SKALER ÇARPIMI Görüldü ki iş tanımı kuvvet ve yer değiştirmenin çarpımını içinde barındırır. Ancak hem kuvvet hem de yer değiştirme nicelikleri vektörel olmasına karşın iş skalerdir. O halde burada sorulması gereken iki vektör birbiriyle çarpılabilir mi ve bunun matematikte bir karşılığı var mı? İki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir ve bu çarpma işlemi nokta ile gösterilir. θ Bcosθ Özellikler 1. Yer değiştirme özelliği 2. Dağılma özelliği 3. Birim vektörlerin skaler çarpımı 4. Birim vektörler cinsinden skaler çarpma 5. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı büyüklüğünün karesini verir. Bu durumda iş cisme etki eden kuvvet ile yer değiştirme vektörlerinin skaler çarpımına eşittir… 3

DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ Değişken bir kuvvet ifadesi ile kuvvetin cismin konumuna bağlı olarak değiştiği yani konumun fonksiyonu olduğu anlaşılmalıdır ( Fx=f(x) veya Fy=f(y) veya Fz=f(z) ). Cismin Fx=f(x) kuvveti etkisiyle xi konumundan xs konumuna yer değiştirmesi için kuvvet tarafından yapılan iş İntegral bağıntısı ile tanımlanır. Bu bağıntı tek bileşeni olan değişken kuvvet için geçerlidir. En genel anlamda bir cismin r kadar yer değiştirmesi için yapılması geren iş İfadesi ile verilir. Burada dikkat edilmesi gerek durum öncelikle integral içerisindeki ifadenin iki vektörün skaler çarpımını içerdiğidir. Bu nedenle işlemi yapmak için iki yol söz konusudur. 4

BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ xi=0 Yay kuvveti Fyay=-kx HOOK YASASI Kuvvet x in fonksiyonu, bu durumda değişken kuvvetin yaptığı iş tanımı kullanılmalıdır. Buna göre yayın yaptığı iş Fyay xs=x olarak elde edilir. Şekilde verildiği gibi xi=0 ve xs=x için son ifade biçimini alır. 5

Kinetik Enerji İş ve Kinetik Enerji Teoremi Kinetik enerji cismin hareketliliğinin bir ölçüsüdür ve ifadesi ile verilir. vi vs Sabit bir kuvvetin etkisinde olan m kütleli bir cismin hızı vi den vs olacak şekilde değişiyor ve bu hareketin yer değiştirmesi d olduğuna göre kuvvet tarafından yapılan işi bulalım. Yer değiştirme vektörü ile kuvvet vektörü aynı yönde olduğu için olarak yazılır. F=ma ve bağıntılarından yararlanılarak ifade düzenlendiğinde İş Aynı Zamanda cismin kinetik enerjideki değişime karşılık gelmektedir. Bu sonuç iş-kinetik enerji teoremidir. 6

Kinetik Sürtünmeyi İçeren Durumlarda İş-kinetik enerji Kinetik sürtünme kuvveti her zaman yer değitirmenin tersi yönünde olduğu için iş negatiftir ve sistemden enerji alınır. Bu durumda sistemin kinetik enerjisinde sürtünme kuvveti tarafından yapılan iş kadar bir kayıp olacaktır. Kinetik sürtünme tarafından yapılan iş Kinetik enerji değişimi Buna göre bir cisme kinetik sürtünme kuvveti ile beraber diğer kuvvetler de etki ediyorsa iş ifadesi GÜÇ Birim zamanda yapılan iş GÜÇ olarak tanımlanır. 7

Problem çözümünde izlenmesi gereken adımlar 1. Koordinat sistemi çizilir ve cisme etki eden tüm kuvvetler şekil üzerinde gösterilir. 2. Problemde verilenler ve istenilenler belirlenir. 3. Sürtünme kuvvetinin olmaması veya olması durumuna göre iş-kinetik enerji tanımı kullanılır. 4. Diğer kuvvetlerin sabit mi yoksa değişken mi olmasına bakılarak her bir kuvvet tarafından yapılan iş hesaplanırken en uygun tanımın kullanıldığından emin olunmalıdır. 8