Blm 7 Bir Sistemin Enerjisi DERSN KONUSU NEWTON

Bölüm 7: Bir Sistemin Enerjisi

DERSİN KONUSU NEWTON HAREKET YASALARI! • Bölüm 5 ve 6: Kuvvetlerle hareketin incelenmesi. • Şimdi (Bölüm 7 ve 8): İş ve Enerji kavramlarını kullanarak hareketin farklı yoldan incelenmesi. – Daha kolay mı? Bence evet! • Enerjinin korunumu: yeni bir yasa değil! – Kuvvet dilinden Enerji diline Newton Hareket

• Şimdiye kadar, Newton Hareket Yasalarını ; konum, yerdeğiştirme, hız, ivme ve kuvvet kavramlarını kullanarak ifade etmiştik. • Newton Yasalarını kuvvetlerle ifade etmek daha geneldir ve makroskopik cisimlerin dinamiğini tarif etmek için iyi işler. Prensip olarak, herhangi bir dinamik problemin çözümü için kullanabilir, fakat çoğu kez, N. Yasalarını özellikle çok karmaşık sistemlere uygulamak çok zordur. Buna göre, çoğu kez uygulaması daha kolay olan değişik formüller geliştirilmiştir. • Bunlardan birisi, en temel fiziksel nicelik olarak kuvvetin yerine enerjiyi kullanan yaklaşımdır. • 7 ve 8 bölümde İş ve Enerjinin incelenmesi, aslında, Newton Yasalarının Enerji dilinde bir ifadesidir. • Bunu incelemeden önce, Enerji dilinin terimlerini öğrenmemiz gereklidir.

• Enerji: günlük hayatta kullanılan yaygın bir terim. Günlük hayattaki anlamı FİZİKTEKİ anlamını karşılamayabilir! • Her fiziksel işlem enerji yada enerji aktarımı yada dönüşümü içerir. • Fizikte Enerji biraz daha soyut olabilir. • Kuvvetler cinsinden Newton Hareket Yasalarını incelerken çeşitli parçacık özelliklerini bahsederek bir parçacığın dinamik özelliklerini inceledik. • Şimdi, farklı yaklaşımları ele alacağız ve Sistemin Özellikleri hakkında Konuşacağız.

Kesim. 7. 1: Sistem ve Çevresi • Bu zamana kadar, Newton Hareket Yasalarını kuvvetler cinsinden ifade etmiştik ve çeşitli parçacık özelliklerinden bahsederek bir parçacığın dinamik özelliklerini incelemiştik. • Şimdi, farklı yaklaşımı el alacağız ve Sistemin Özellikleri hakkında konuşacağız. • Sistem: belirli bir problem içinde bizim odaklanacağımız evrenin küçük bir parçası. Sistemin ne olduğu probleme bağlıdır. • Bir Sistem, aşağıdaki örnekler olabilir: • Tek parçacık. • Parçacıklar topluluğu. • Uzayın bir bölgesi. • Probleme bağlı olarak onun boyutu ve şekli değişebilir. • Sistem yanında sistem çevresi hakkında da konuşacağız. Sistem kendi sınırlarındaki çevresiyle etkileşebilir.

Kesim. 7. 2: Sabit kuvvetin yaptığı iş • İş fizikte kesin olarak tanımlanır. İş, bir kuvvet tarafından bir cismi belli bir uzaklık boyunca hareket ettirilmesi ile gerçekleştirilen şeyi tanımlar. • Sabit bir kuvvet etkisinde hareket eden bir cisim için, yapılan iş (W); (Δr) yerdeğiştirmesinin büyüklüğü ile yerdeğiştirmeye paralel olan (F||) yatay bileşenin çarpımı olarak tanımlanır: W F||Δr FΔrcosθ

Sabit kuvvetin yaptığı iş İş: W F||Δr FΔr cosθ Δr NOT: Bu şekil sadece sabit kuvvet için geçerlidir!

W = F||Δr = FΔr cosθ • F ve d nin paralel yani θ = 0, cosθ = 1 olduğu zamanki basit olan özel durumu inceleyelim. W = FΔr • Örnek: Δr = 50 m, F = 30 N W = (30 N)(50 m) = 1500 N m SI İş Birimi: Newton - metre Joule 1 N m = 1 Joule = 1 J

İş: W F||Δr FΔr cosθ • İş yapmayan! bir kuvvet uygulamak mümkündür • Δr = 0 olursa, W=0 • F Δr olursa, θ = 90º, cosθ = 0 W=0 • Örnek, pazar çantasıyla sabit v hızıyla yürümek:

W F||Δr FΔr cosθ Bir cisim sürtünmesiz yatay düzlemde bir F kuvvetiyle yerdeğiştiriyor. Serbest cisim diyagramı burada gösterilir. n normal kuvvet ve mg ağırlığı iş yapmaz çünkü her ikisi de yerdeğiştirmeye diktir. n Normal Kuvvet için θ = 90°, cosθ = 0 mg Ağırlığı için, θ = 270 (or - 90°), cosθ = 0

W = F||Δr = FΔr cosθ Not • W skalerdir (vektör olan kuvvete karşın). • Bunun yanında, W ya pozitif yada negatif değer alabilir çünkü cosθ pozitif yada negatif olabilir. Önemli: • İş (göreceğimiz gibi) bir enerji aktarımıdır: Sistem ya enerji kazanır (W > 0) yada enerji kaybeder(W < 0).

Örnek 7. 1

Örnek W = F||Δr =FΔr cosθ m = 50 kg, FP = 100 N, Ffr = 50 N, θ = 37º n Δr

Kesim. 7. 3: İki Vektörün Skaler Çarpımı

İki Vektörün Skaler Çarpımı • Kısaca matematiğe bir göz atalım. • Sabit kuvvetin yaptığı işi biliyoruz: W = F||Δr = FΔr cosθ • W skalerken, F ve Δr nin vektör olduğuna dikkat ediniz. • W, Matematikçilerin Skaler Çarpım dediği matematiksel kuraldır. İki Vektörün Skaler Çarpımı • A ve B vektör ise, onların Skaler Çarpımı: A B ≡ AB cosθ gibi tanımlanır.

İki vektörün A ve B Skaler Çarpımı: A B ≡ AB cosθ • Buna göre, sabit kuvvetin yaptığı iş, W = FΔr cosθ, W ≡ F Δr olarak yazılabilir • Skaler Çarpımın temel matematiksel özellikleri: 1. Yerdeğiştirme: A B = B A 2. Dağılma: A (B + C) = A B + A C

Bileşenler Ayırarak İki vektörün Skaler Çarpımı Skaler Çarpım A B ≡ AB cosθ • Vektör bileşenleri ve birim vektörlerin incelenmesinden Üç boyutlu V vektörü V = Vxi + Vyj + Vzk olarak yazılabilir. i, j, k, sırasıyla x, y, z nin birim vektörleridir, Vx, Vy, Vz de V nin x, y, z bileşenleridir. i, j, k birim vektörleri boyutsuz ve büyüklükleri 1 dir. • Skaler çarpımın tanımından ve i, j, k aralarındaki açı 90 [cos(90°) = 0, cos(0°) = 1] olmasından dolayı aşağıdaki eşitlikleri kolayca gösterebiliriz: i i = j j = k k = 1 i j= i k = j k = 0

• Bu notasyon kullanılarak iki üç boyutlu A ve B vektörleri: A = Axi + Ayj + Azk, B = Bxi + Byj + Bzk • Bu biçimde A ve B nin skaler çarpımını inceleyelim: A B = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk) • Bunu (uzun form, 9 terim!) tekrar yazalım: A B = (Ax. Bx)(i i) + (Ax. By)(i j) + (Ax. Bz)(i k) + (Ay. Bx)(j i) + (Ay. By)(j j) + (Ay. Bz)(j k) + (Az. Bx)(k i) + (Az. By)(k j) + (Az. Bz)(k k) • i i = j j = k k = 1, i j= i k = j k = 0 kullanırsak A B = Ax. Bx + Ay. By + Az. Bz (1) verir. Bu tarz bazen faydalı olacak! • Aynı zamanda, A = B durumu göz önüne alalım. Daha sonra, (1) A A = Ax. Ax + Ay. Ay + Az. Az yada A A = (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 (2) olur.

A A = (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 yada A nın uzunluğunun karesi A A = |A|2 Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı o vektörün uzunluğunun karesidir. • Örnekler 7. 2 & 7. 3

Kesim 7. 4: Değişken kuvvetin yaptığı iş • Ayrıntılar için kitabınıza bakınız. Basit integral hesabını bilmeniz lazım!. • Bir boyutta, F = F(x) için, iş F nin x’ e karşı grafiğinin integralidir: W = ∫ F(x) dx (sınırları xi den xf kadardır) • İntegral bilmiyorsanız, F nin x’e karşı olan eğrisi altında kalandır

• ideal yayı inceleyelim: k yay sabiti ile tanımlanır. k: Yayın ne kadar sert yay olduğunun ölçüsüdür. Hooke “Yasası” geri çağırıcı kuvvettir Fs = -kx (Fs >0, x <0; Fs <0, x >0) Kişinin yaptığı iş: W = (½)kx 2 Şekil 6 -14 (a) normal gerilmemiş konumdaki yay (b) Yay bir kişi tarafından sağa doğru (pozitif yönde) Fp kuvvetiyle çekilir. Yay Fs kuvveti ile geri çekilir, burada Fs=-kx (c) Kişi yayı (x<0) sıkıştırır ve yay Fs=kx kuvveti geri itilir, burada x<o olduğundan Fs>0 dir.

Uygulanan Fuyg kuvveti, yay üzerine blok tarafından harcanan Fs kuvvetine eşit ve zıt yöndedir: Fs = - Fuyg = -kx

Bloğa yayın uyguladığı kuvvet Fs kuvveti, x = 0 da denge konumuna göre bloğun x konumu ile değişir. Fs = -kx x > 0, Fs < 0 x = 0, Fs = 0 x < 0, Fs > 0 Yay sabiti k > 0 dır. Fs (x) vs. x

Yayı Sıkıştırmak İçin Yapılan İş

Örnek 7. 5: k yay sabitinin Ölçülmesi Yayı düşey olarak asınız. m kütleli cismi yayın alt ucuna takınız. Yay d uzaklıkta gerilir. Denge durumunda, Newton İkinci Yasası ∑Fy = 0 dır. Buna göre, mg – kd = 0, mg = kd m biliniyor, d ölçülüyor, k = (mg/d) Örnek: d = 2. 0 cm, m = 0. 55 kg k = 270 N/m

Kesim 7. 5: Kinetik Enerji İş-Kinetik Enerji Teoremi

• Enerji İş yapma kabiliyeti • Kinetik Enerji Hareketin Enerjisi “Kinetik” Hareket için kullanılan Yunanca Kelime Hareket halindeki bir cismin iş yapma kabiliyetini gösterir.

Cisim Δr = Δx i (Δx= xf - xi) Yerdeğiştirme yapıyor ve sabit net kuvvet ∑F etkisi altında (Δv= vf -vi) hızı değişiyor. figure xf xi Kitaptaki ifadenin türetimi İntegrale gerek yok! Bunun yerine, Newton’un İkinci Yasası ∑F = ma (1). Sabit kuvvetin yaptığı iş W = FΔx (F, Δx aynı doğrultuda). Net (toplam) iş: Wnet = ∑FΔx (2). (Enerji cinsinden Newton’un İkinci Yasası!) yada Newton’un İkinci Yasasını kullanırsak: Wnet = maΔx (3). ∑F sabittir. a ivmesi sabit Bölüm 2 deki kinematik denklem: (vf)2 = (vi)2 + 2 aΔx a = [(vf)2 - (vi)2]/(2Δx) (4) ve (3) birleştirsek: Wnet = (½)m[(vf)2 - (vi)2] (5)

• Özet: m kütleli bir cismin vi den vf ye ivmelenmesinde sabit net kuvvetin yaptığı net iş: Wnet = (½)m(vf)2 - (½)m(vi)2 K (I) TANIM: Kinetik Enerji (K). (Kinetik = “hareket”) K (½)mv 2 (birimi Joules, J) İŞ-KİNETİK ENERJİ TEOREMİ Wnet = Kf - Ki ( = “değişim”) • NOT: İŞ-KE Theoremi (I), Newton’un İkinci Yasasına % 100 eşdeğerdir. Bu, iş ve enerji dilinde Newton’un İkinci Yasasıdır! Bunu bir boyutlu sabit net kuvvet için gösterdik. Bunun yanında bu genel olarak da geçerlidir!

• Bir cisim üzerindeki net iş= KE deki değişim Wnet = K (½)[m(vf)2 - m(vi)2] İş-Kinetik Enerji Teoremi – Not: Wnet = net (toplam) kuvvetin yaptığı iş. – Wnet skalerdir. – Wnet pozitif yada negatif olabilir. (çünkü KE hem + hem de - olabilir) – İş ve Kinetik Enerjinin birimi Joule dür.

• Hareket eden çekiç çivi üzerine iş yapıyor. Çekiç için: Wh = Kh = -Fd = 0 – (½)mh(vh)2 Çivi için: Wn = Kn = Fd = (½)mn(vn)2 - 0

Örnekler vi = 20 m/s m = 1000 kg vf = 30 m/s Kavramsal vi = 60 km/h vf = 0 Δx = 20 m vi = 120 km/h Δx = ? ? vf = 0

Örnek 7. 6 m = 6 kg kütleli bir blok, durgun halden (vi = 0) sağa doğru sabit yatay F = 12 N ile çekiliyor. Δx = 3 m çekildikten sonra vf son hızı bulunuz. İş-Kinetic Energy Theorem Wnet = K (½)[m(vf)2 - m(vi)2] (1) F = 12 N sadece yatay kuvvet ise, Wnet = FΔx (2) elde ederiz. (1) ve (2) yi birleştirirsek: FΔx = (½)[m(vf)2 - 0] vf yi çözersek: (vf)2 = [2Δx/m] (vf) = [2Δx/m]½ = 3. 5 m/s

Kavramsal Örnek 7. 7

Kesim 7. 6: Potensiyel Enerji

• Potansiyel Enerji (U yada PE) Bir kütlenin konumu yada yerleşim düzeni ile ilişkili olan enerji. – Potansiyel yapılan iş! Yerçekimi Potensiyel Enerjisi Ug mgy, y = yeryüzünden itibaren uzaklık. m kütlesi (W = Fy, F = mg) aşağıya düştüğü zaman iş= mgy işini yapma Potansiyeli vardır

Yerçekimi PE • Yeryüzü üstünde m kütleli bir cismin yüksekliği y 1 den y 2 ye değiştiği bir problemi inceleyelim: • Yerçekimi PE deki değişim : Ug = mg(y 2 - y 1) • Kütle üzerine yapılan iş: W = Ug y = Yeryüzü üstünde uzaklık. y = 0 seçtiğimiz yer keyfidir, çünkü Ug deki iki y nin farkını alıyoruz.

Ug ≡ mgy = (Ug)2 - (Ug)1 = ΔUg

Örnek Ug ΔUg = mg(y 2 – y 1) y=0 Aynı zamanda Örnek 7. 8 de yapınız

• Yerçekimi PE nin yanında başka çeşit PE vardır. • Bir ideal yayı dikkate alalım k yay sabiti ile tanımlıdır. Yayın ne kadar sert yay olduğunun ölçüsü. Hooke “Yasası” geri çağırıcı Kuvvet Fs = -kx (Fs >0, x <0; Fs <0, x >0) Kişinin yaptığı iş: W = (½)kx 2 =Ue Şekil 6 -14 (a) normal gerilmemiş konumdaki yay (b) Yay bir kişi tarafında sağa doğru (pozitif yönde) Fp kuvvetiyle çekilir. Yay Fs kuvveti ile geri çekilir, burada Fs=-kx (c) Kişi yayı (x<0) sıkıştırır ve yay Fs=kx kuvveti geri itilir, burada x<o olduğundan Fs>0 dir.

Elastik PE Ue

Elastik PE

• Yayın sıkıştırma yada germe uzaklığının x 1 den x 2 ye değiştiği bir problem. • PE değişim: Ue = (½)k(x 2)2 - (½)k(x 1)2 • Yapılan iş: W = Ue • PE sisteme aittir bireysel cisimlere değil

Kesim 7. 7: Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler

Korunumlu Kuvvetler • Korunumlu kuvvet tarafından yapılan iş sadece ilk ve son duruma bağlı olup cismin ilk ve son konumu arasında alınan yola bağlı değildir. P. E. korunumlu kuvvetler cinsinden yazılabilir. • Korunumsuz Kuvvet korunumsuz kuvvet tarafından yapılan iş, cismin ilk ve son konumu arasında alınan yola bağlıdır. P. E. korunumsuz kuvvetler cinsinden yazılamaz. Korunumsuz kuvvetlerin en yaygın örneği SÜRTÜNMEDİR

• Korunumlu kuvvetlerde PE tanımlanabilir. • Korunumsuz kuvvetlerde PE tanımlanamaz.

Sürtünme korunumsuz kuvvettir. İş yola bağlıdır!

• Birkaç (koronumlu ve korunumsuz) kuvvet etki ederse, Toplam yapılan iş: Wnet = WC + WNC WC = korunumlu kuvvetlerin yaptığı iş WNC = korunumsuz kuvvetlerin yaptığı iş • İş-Kinetik enerji teoremi hala geçerlidir: Wnet = K • Korunumlu kuvvetler için (PE U’nun tanımından): YADA: WC = - U KE = - U + WNC = K + U

Genelde, WNC = K + U Korunumsuz kuvvetlerin yaptığı iş = KE deki toplam değişme + PE deki toplam değişme

Mekanik Enerji ve Korunumu • GENEL: Herhangi bir süreçte, toplam enerji ne yaratılabilir ne de yok edilebilir. • Enerji bir biçimden başka biçime ve bir bedenden başka bedene dönüşebilir fakat toplam miktar sabit kalır. Enerjinin Korunumu Yasası

• Genelde, WNC = K + U ifadeyi yazarız. • Sadece koronumlu kuvvetlerin özel durumu için WNC = 0 K + U = 0 Mekanik Enerjinin Korunumu İlkesi • Not: Bu Enerjinin korunumu yasası ile aynı değildir! Bu yasanın özel bir durumudur (burada kuvvetler korunumludur)

Mekanik Enerjinin Korunumu • SADECE korunumlu kuvvetler için, herhangi bir süreçte K + U = 0 Mekanik Enerjinin Korunumu • Mekanik Enerjiyi tanımlıyoruz: E K+U Mekanik Enerjinin Korunumu Herhangi bir süreçte, E = 0 = K + U YADA: E = K + P = Sabit Herhangi bir süreçte, K ve U nun toplamı değişmez (Enerji U dan K ya, yada K dan U ya değişir, fakat toplam sabit kalır).

• Mekanik Enerjinin Korunumu K + U = 0 E = K + U = Sabit Yada SADECE korunumlu kuvvetler için (yerçekimi, yay, vs. ) • Varsayalım ki, • başlangıç durum: E = K 1 + U 1 ve son durum: E = K 2+ U 2 E = Sabit K 1 + U 1 = K 2+ U 2 Güçlü bir hesaplama yöntemi!!

• Mekanik Enerjinin Korunumu K + U = 0 YADA E = K + U = Sabit • Yerçekimi PE için: Ug = mgy E = K 1 + U 1 = K 2+ U 2 (½)m(v 1)2 + mgy 1 = (½)m(v 2)2 + mgy 2 y 1 = Başlangıç Yükseklik, v 1 = Başlangıç hız y 2 = Son Yükseklik, v 2 = Son hız

U 1 = mgh K 1 = 0 Şekil 6 -1 Taş düştükçe taşın PE si KE ye dönüşür Toplamı sabit kalır K + U = 1 ve 2 noktasının aynısıdır K 1 + U 1 = K 2 + U 2 0 + mgh = (½)mv 2 + 0 v 2 = 2 gh U 2 = 0 K 2 = (½)mv 2

• Enerji “kovaları” sadece görselleştirme içindir, gerçek değil!! Örnek • y = 1. 0 m deki sürat? • Mekanik Enerjinin korunumu! (½)m(v 1)2 + mgy 1 = (½)m(v 2)2 + mgy 2 (Denklemde kütleler birbirini götürüyor. ) y 1 = 3. 0 m, v 1 = 0 y 2 = 1. 0 m, v 2 = ? v 2 = 6. 3 m/s Sadece PE Biraz PE, biraz KE Sadece KE

Kavramlaştırıcı Örnek • Kim Herikisi burdan tabana daha başlıyor! hızlı iniyor • İlkönce kim tabana varıyor. • Gösteri! Sürtünmesiz su kayağı!

Örnek: Lunapark treni • Mekanik Enerji Korunumu! (Sürtünmesiz!) (½)m(v 1)2 + mgy 1 = (½)m(v 2)2 + mgy 2 sadece yükseklik farkı önemli! Yatay uzunluk önemli değil! (kütleler birbirini götürüyor!) • Tabandaki sürat? y 1 = 40 m, v 1 = 0 y 2 = 0 m, v 2 = ? v 2 = 28 m/s v 3 = 14 m/s deki y yüksekliği nedir? (½)m(v 2)2 + 0 = (½)m(v 3)2 + mgy 3 = 30 m