BLM 5 Merkezi Eilim lleri II Parametrik Analitik

BÖLÜM 5 - Merkezi Eğilim Ölçüleri II • Parametrik (Analitik) Ortalamalar (Bölüm 4) – Aritmetik • Tartılı Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama • Parametrik (Analitik) olmayan ortalamalar (Bölüm 5) – Tepe Değeri (Mod) – Ortanca (Medyan) – Kantiller (Çeyrekler)

Parametrik(Analitik) olmayan ortalamalar 5. 1. Parametrik olmayan ortalamalar; 1) Tepe değeri, 2) Ortanca, 3) Kantillerdir. Bu ortalamaların hesaplanmasında serideki tüm değerler kullanılmaz. Bu nedenle ana kütleyi her zaman ve doğru olarak yansıtmazlar. 5. 1. 1. Tepe Değeri (Mod) Tepe değeri, bie serideki en çok yinelenen(tekrarlanan) değerdir. Yani frekansı diğer değerlerin hiçbirisi tarafından aşılamayan değerdir.

Tepe Değeri • Tepe değeri, ortalamalar arasında seriyi en iyi temsil eden dağılım ölçüsüdür ve isimsel ölçeklerde, sıralı ölçeklerde, aralık löçeklerde ve oranlı ölçeklerde kullanılır. • Örneğin, yeni ürün tipleriyle ilgili olarak yapılan bir araştırmada, hangi ürün tipinin tercih edileceği, tepe değeriyle belirlenir. Tepe değeri, mod olarak da adlandırılmaktadır. • Sayfa 118 (1 ve 2’ci Örnek, çizelge 5. 4 -5. 5 -5. 6)

1. ÖRNEK • Kodları A, B, C, D, E olan beş ürün tipinden hangisinin tercih edileceği 100 tüketici üzerinde sınanmış ve her ürün tipinin kaç kişi tarafından tercih edildiği Çizelge 5. 4’te bir frekans sağılımı biçiminde verilmiştir. Bu dağılımın tepe değerini bulalım.

Çizelge. 5. 4. Tercih Edilen Ürün Tiplerinin Kodu (X) Frekanslar (f) A 11 B 16 C 25 D 36 E 12 Toplam ∑ 100 Bu dağılımda en çok tercih edilen Ürün Tipi D olduğundan, bu dağılımın tepe değeri 36’dır.

Örnek: Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı 3 4 5 5 5 6 6 7 Mod = 5 gün Yağışlı gün sayısı Ay sayısı 3 4 5 6 7 2 4 7 9 4 Mod= 6 gün

Gruplanmış seride tepe değerinin (modun) hesaplanması Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod (Tepe değeri) sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. Yukarıdaki formülde; l 1 veya α: Tepe değeri (mod) sınıfının alt sınırı 1: mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı, 2: mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s veya h: seride sabit olan sınıf genişliği (aralığı)

2. ÖRNEK (sayfa 118) • Çizelge 5. 5’te, bir işyerindeki 80 işçinin çalışma süreleri, önce gruplanmış, daha sonra da frekansları saptanarak verilmiştir. Bu verilere göre serinin tepe değerini bulalım. • Çizelge 5. 5 – Çizelge 5. 6 Gruplandırılmış Yıllar(X) Frekanslar(f) Birikimli frekanslar (Bf) 1– 5 12 12 6 – 10 16 28 11 – 15 38 66 16 – 20 14 80 Toplam 80

Tepe değeri grubu = N/2=80/2 = 40. sıradaki değeri kapsayan 11 -15 grubudur l 1 veya α: Tepe değeri (mod) sınıfının alt sınırı: (11) 1: mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı: ( 38 – 16 = 22 ) 2: mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı: ( 38 – 14 = 24 ) s veya h: sınıf genişliği (aralığı): (5) Tepe Değeri = 11 + [22 / (22+24)]*5 = 13. 391 yıldır.

• Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (YTL/gün) Öğrenci sayısı 0 – 0, 5 – 1. 0 – 1, 5 30 50 100 l 1 = 100 – 50 = 50 Mod sınıfı 1, 5 – 2. 0 – 2, 5 70 20 2 = 100 – 70 = 30 s = 0, 5

• Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin • a) Aritmetik (13, 52) b) Geometrik (12, 77) • c) Harmonik (12, 03) d) Kareli ortalamalarını (14, 25) • e) modunu bulunuz. (11, 67) Üretim süresi Parça sayısı (fi) 5 -9 9 -13 13 -17 17 -21 21 -25 Toplam 4 10 7 4 2 27 mi f i mi 7 11 15 19 23 28 110 105 76 46 365 0, 571 0, 909 0, 467 0, 211 0, 087 2, 245 49 121 225 361 529 196 1210 1575 1444 1058 5483

Modun özellikleri • Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. • Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır • Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v. s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler • Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. • Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. • J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

5. 1. 2 Ortanca(Medyan) • Ortanca, büyükten küçüğe ya da küçüktan büyüğe doğru sıralanmış bir serideki değerlerin tam ortasında olup, seriyi iki eşit parçaya bölen değerdir. • Ortanca, sıralı veriler için en iyi merkezi dağılım ölçüsüdür. Çünkü sıralı verilerde değerlerin sıralanması dikkate alınmaktadır.

Ortanca • Bir serideki çok büyük ve çok küçük değerlerden etkilenmediğinden, böyle serileri aritmetik ortalamadan daha iyi temsil etmektedir. • Simetrik(normal) dağılımlarda aritmetik ortalama ve ortanca birbirine yakındır. • Sıralı ölçeklerde, aralık ölçeklerde ve oranlı ölçeklerde kullanılır. Ortanca, medyan olarak adlandırılmaktadır. • Matematiksel işlemlere elverişli olmayışı, sürekli serilerde yaklaşık olarak hesaplanabilmesi, ortancanın olumsuz yönleridir.

Basit Serilerde Ortanca • Basit serilerde ortanca bulunurken, öncelikle, seriyi oluşturan birimler büyüklük sırasına konur, sonra tam ortadaki birim belirlenir. Bir serideki değerlerin tam ortasındaki değer ortancadır. Fakat seride çift sayıda değer varsa, tam ortadaki iki değerin ortalaması ortanca kabul edilir.

Medyan (Ortanca) • Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: • Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. • Örnek: Xi: 15, 8, 12, 23, 45, 32, 5, 18, 16, 28, 39, 51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5, 8, 12, 15, 16, 18, 23, 28, 32, 39, 45, 51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18; 23 arasına düşer. Medyan = 20, 5 olur.

Örnek (sayfa 120) • Değerleri 2, 6, 5, 6, 7, 6, 3, 5 olan serinin ortancasını bulalım. • Bir serinin ortancasının bulunmasında, önce serideki birimler küçükten büyüğe doğru sıraya konur: 2, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7 • Gözlem sayısı N = 8 dir. (N+1)/2 = (8+1)/2=4, 5 • Seride çift sayıda birim olduğundan, ortadaki iki birim olan 5 ve 6 toplanarak ikiye bölünür: • Ortanca = (5+6)/2 = 5, 5 bulunur.

Sınıflandırılmış serilerde ortanca • Sınıflandırılmış serilerde ortanca bulunurken, serideki birimler önce büyüklük sırasına konur, sonra toplam frekans sayısı ikiye bölünüp, kaçıncı birimin ortanca olduğu saptanır. • Daha sonra birikimli frekanslar yardımıyla ortanca bulunur.

2’ci Örnek (sayfa 120) • Aşağıdaki serinin ortancasını bulalım. X f 20 4 21 6 22 9 23 17 24 19 25 8 26 7 27 5 28 3 29 3 30 2 ∑ 83

Önce frekansların birikimli frekansları bulunur (Çizelge 5. 7) X Frekans(f) Birikimli Frekanslar(Bf) 20 4 4 21 6 10 22 9 19 23 17 36 24 19 55 25 8 63 26 7 70 27 5 75 28 3 78 29 3 81 30 2 83 Toplam 83

Ortanca • Seride 83 birim olduğuna göre (N+1)/2 = (83+1)/2 = 42 olduğundan, 42. terimin değeri ortancayı verecektir. 42’yi kapsayan birikimli frekans 55 olduğundan, bu sayının karşısındaki 24, serinin ortancasıdır.

• Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz. • Çözüm: • Medyanın serideki sırası • Medyan = 18 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayıs ı 10 2 10 ve daha az 2 12 3 12 ve daha az 5 15 4 15 ve daha az 9 16 6 16 ve daha az 15 18 10 18 ve daha az 25 20 5 21 4 25 2 Toplam 36 İşçi sayıs ı

Gruplandırılmış serilerde ortanca • Gruplandırılmış serilerde ortanca, birikimli frekanslar yardımıyla bulunur. Fakat böyle serilerde ortanca bir grup içinde olduğundan, önce ortanca grubu bulunmalıdır.

Gruplanmış seride medyanın hesaplanması • Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. • L 1 veya α : Medyan sınıfının alt sınırı Nm vefa fm : Medyan sınıfının frekansı • Sm veya h : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri • veya fα : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

3’cü Örnek(sayfa 121) • Bir işyerinde çalışan 36 işçiye, işyerindekaç yıl çalıştıkları sorulmuş ve elde edilen ham veriler sınıflanmıştır. Bu sınıfların frekansları ve birikimli frekansları hesaplanarak, Çizelge 5. 8 elde edilmiştir. Bu verilerin ortancasını bulalım.

Çizelge 5. 8. serinin gerçek ve birikimli frekansları Gruplar(X) Frekanslar(f) 0 -4 den az 4 -8 den az 8 -12 den az 12 -16 ‘’ ‘’ 16 -20 ‘’ ‘’ Toplam 4 6 9 5 12 36 Birikimli Frekanslar(Bf) 4 10 19 24 36

• Lα : Ortanca(Medyan) grubunun alt sınırı (8) • N : Frekans toplamı (Σf) (36) • fα : Ortanca grubundan önceki grupların toplamı (10) • fm : Ortanca grubunun frekansı (9) • h : Ortanca grubunun aralığı (4)

Önce ortancanın içinde olduğu grup bulunur • Ortanca grubu = N/2 = 36/2 = 18’dir. • Ortanca, 18. sıradaki terimdir ve 8 -12’den az grubunun içinde bulunmaktadır. Çizelgedeki veriler formüldeki yerine konur: Ortanca = 8 + [ (36/2) -10 ] / 9 * 4 = 11, 55 =12

• Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. Saat ücreti (Bin TL) İşçi sayısı 500 – 600 10 600 den az 10 l 1=700 600 – 700 50 700 den az 60 N/2=150/2=75 700 – 800 Medyan sınıfı 40 800 den az 100 800 – 1000 30 Nm=40 1000 – 1500 20 Sm= 800 -700 = 100 Toplam 150 Ni= 60 sıradaki değer medyandır. Bu değer 700 -800 sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır.

• • • Medyanın özellikleri 1 - Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2 - Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3 - Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4 - Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır. Xi-medyan minimum 5 - Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler • 1 - Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur. • X = medyan = mod • 2 - Sağa çarpık serilerde • 3 - Sola çarpık seride • 4 - Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır.