BLM 4 MERKEZ ELM LLER I 4 1

BÖLÜM 4 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ I

4. 1 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ • Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerden oluşan serilerin tek bir değerle gösterilmesinde kullanılan ortalamalardır; Parametrik Ortalamalar ve Parametrik olamayan Ortalamalar olmak üzere iki tiptir.

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ • Ortalama, bir değişkenin merkezi eğilimi hakkında bilgi veren bir ölçüdür. Örnek kütle özelliklerini inceleyerek ana kütle özellikleri hakkında tahminde bulunurken, bu merkezi eğilim ölçüsünden yararlanılır.

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) • Parametrik(Analitik) Ortalamalar – Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama • Parametrik(Analitik) olmayan ortalamalar – Mod – Medyan – Kartil, Desil ve Santiller

Merkezi Eğilim Ölçüleri I (Ortalamalar) • Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır. Ortalamaların Faydaları: Ortalamaların faydaları kısaca şöyle özetlenebilir. 1. Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir. 2. İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir. 3. Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya imkan tanır. 4. Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta incelenir. 4. 1. 1. Parametrik (Analitik, Hassas) Ortalamalar Verideki bütün değerleri dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap tarzına göre dört farklı şekilde edilir. 4. 1. 1. 1. Aritmetik ortalama 4. 1. 1. 2. Geometrik ortalama (G) 4. 1. 1. 3. Harmonik ortalama (H) 4. 1. 1. 4. Kareli ortalama (K).

4. 1. 1. 1. Aritmetik ortalama • Aritmetik ortalama, bir serideki gözlem değerleri toplamının, toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir. • Aritmetik ortalama, sayısla değişkenler için en yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür. Fakat böyle olmasına rağmen, temsil ettiği dağılımı tam olarak yansıtamamaktadır. Çünkü aritmetik ortalama, bir dağılımda çok küçük ve çok büyük değerler olduğunda, bundan olumsuz etkilenmektedir.

4. 1. 1. 1. Aritmetik ortalama • İstatistiksel hesaplamalarda seriler; basit seriler, sınıflanmış seriler ve gruplanmış seriler olarak üç değişik biçimde kullanıldığından, aritmetik ortalamanın hesaplanması her seri için ayrı olarak yapılacaktır.

4. 1. 1. 1. Aritmetik ortalama • Bilindiği gibi, örnek kütle, ana kütle özelliklerini yeterli düzeyde temsil ettiğine inanılan birimlerden oluşturulan ve ana kütle özellikleri hakkında tahminlerde bulunmak için kullanılan bir ana kütle alt kümesidir. • Bu nedenle, özünde aynı olsa da, ana kütle ortalamasının ve örnek kütle ortalamasının hesaplanmasında kullanılan kavramlar ve simgelerde farklılıklar vardır.

4. 1. 1. 1. Aritmetik ortalama •

• Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Nisan ayı yağışları (Kg) (Xi) 60 75 80 100 120 130 155 ∑Xi=720

Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Parça üretim süresi(dk)(Xi) İşçi fi. Xi sayısı (fi) 12 2 24 13 5 65 14 10 140 15 7 105 16 4 64 Toplam 28 398

Örnek Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Görüşme süresi sayısı (fi) mi f i mi 0 - 2 5 1 5 2 - 4 10 3 30 4 - 6 40 5 200 6 - 8 30 7 210 8 - 10 25 9 225 Toplam 110 670

Ağırlıklı(Tartılı) Aritmetik Ortalama • Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir. • Basit seride (µ) veya • Sınıflanmış seride (µ) veya • Gruplanmış seride (µ) veya

Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Dersler Notlar (Xi) Kredi (ti) ti. Xi İstatistik 70 3 210 Matematik 60 4 240 Fizik 50 3 150 Kimya 80 2 160 Toplam 260 ti=12 ti. Xi=760

Örnek Bir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna göre bu işletmede ortalama saat ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Saat ücreti (TL) İşçi sayısı (fi) Ortalama kıdem (ti) mi fitimi fimi 1. 00 – 1. 40 10 2. 5 1. 20 25 30. 0 12. 00 1. 40 – 1. 60 30 5. 0 1. 50 150 225. 0 45. 00 1. 60 – 1. 80 50 9. 5 1. 70 475 807. 5 85. 00 1. 80 – 2. 00 15 13. 0 1. 90 195 370. 5 16. 90 2. 00 – 2. 50 5 18. 0 2. 25 90 202. 5 11. 25 Toplam 110 935 1635. 5 170. 15

Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler - Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır. - Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır. - Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır. Örnek Bir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu tezgahların ürettiği mamul kütlesinin kusurlu oranını bulunuz. Tezgah lar Üretim miktarı (ti) Kusurlu oranı (Xi) ti. Xi A 100 0. 03 3 B 200 0. 05 10 C 50 0. 01 0. 5 ti = 350 Xi = 0. 09 ti. Xi = 13. 5

Aritmetik ortalamanın özellikleri 1 - Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir. 2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin toplam değeri elde edilir. 3 - Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı sıfır olur. 4 - Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur. 5 - Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir. 6 - Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur. X = Y + Z

4. 1. 1. 2 Geometrik Ortalama • Geometrik ortalama, bir seriyi oluşturan tüm değerlerin birbiriyle çarpılıp, değer sayısı kadar kökünün alınmasıyla bulunan ortalamadır. • Geometrik ortalama, bir serideki aşırı değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmediğinden, aşırı büyük veya aşırı küçük değerlere sahip serilerin ortalamasının bulunmasında kullanılmaktadır.

4. 1. 1. 2 Geometrik Ortalama • Geometrik ortalama, genellikle yüzdelerin, oranların, indeks sayılarının ve bir noktayla diğer bir nokta arasındaki süreci kapsayan yıllık oranların bulunmasında kullanılır. • Bir seriyi oluşturan tüm değerlerin birbiriyle çarpılıp, değer sayısı kadar kökünün alınmasıyla bulunan geometrik ortalamanın formülü;

4. 1. 1. 2 Geometrik Ortalama • GO = √X 1. X 2. X 3…. Xn şeklindedir ( sayfa 110). • Geometrik ortalamanın diğer uygulanmasında, satışlardaki, gelirlerdeki ve giderlerdeki değerlerin bir dönemden diğer bir döneme kadar meydana gelen artışların yüzdesi hesaplanır. Formülü aşağıdaki gibidir: • GO =[√Sondeğ/İlkdeğ. ] – 1

4. 1. 1. 2 Geometrik Ortalama • Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. • Kusurlu parça sayısı (Xi ): 3, 5, 8, 15, 30 dur. • GO = 5 √ 3*5*8*15*30 = 5√ 54, 000 = 8, 84 parça

4. 1. 1. 2 Geometrik Ortalama • Örnek: bir öğrencinin 3 dersten aldığı notlae; 85, 82, 15 ise, bu notların geometrik ortalaması: GO = 3 √ 85*82*15 = 3 √ 104550 = 47. 1 • Örnek: bir işletmenin 2000 yılındaki satış miktarı 8 birim, 2004’teki satış miktarı 128 birimdir. İşletmenin bu iki dönem arasındaki yıllık satış mitarı artış yüzdesi: • GO = [ 5 -1 √ 128/8] – 1= 4 √ 16 – 1 = 1*100 = %100 demektir

4. 1. 1. 3 Harmonik Ortalama • Harmonik ortalama, bir serideki değer sayısının, serideki tüm değerlerin terslerinin toplamına bölünmesiyle bulunan ortalamadır. • Harmonik ortalama, oransal olarak verilen değerlerin hesaplanmasında kullanılmaktadır.

4. 1. 1. 3 Harmonik Ortalama • Uzaklık sabit olduğunda hız ortalamasının hesabında, harcanan para sabit olduğunda satın alınan malın fiyat ortalamasının hesabında, zaman sabit olduğunda verimlilik ortalamasının hesabında kullanılmaktadır. • Bir seride sıfır varsa ve değerlerin işaretleri farklıysa harmonik ortalama kullanılmaz.

4. 1. 1. 3 Harmonik Ortalama • Harmonik ortalama formülü; • H = N / ∑ 1/X • Örnek Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar şöyledir. Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik ortalama ile bulunuz • 1 dakikada okunan kelime sayısı (Xi) : 60, 68, 72, 75 ve 80 dir.

4. 1. 1. 3 Harmonik Ortalama 1 dakikada okunan kelime sayısı (X) 1/X 60 1/60 = 0. 0166 68 1/68 = 0. 0147 72 1/72 = 0. 0139 75 1/75 = 0. 0133 80 1/80 = 0. 0123 Toplam 0. 0710 H = 5 / 0. 0710 = 70. 42 kelime (Sayfa 112 deki örnek 1 ve 2 )

4. 1. 1. 4 Kareli Ortalama • Kareli ortalama, bir serideki tüm değerlerin toplamının serideki değer sayısına bölümünün karekökünün alınmasıyla bulunan ortalamadır. • Kareli ortalama, aritmetik ortalamadan sapmaların bir ölçüsü olan standart sapmanın hesaplanmasında kullanıldığından ve negatif değerleri de dikkate aldığından, çok büyük bir öneme sahiptir. Kareli ortalamanın basit, sınıflanmış ve gruplanmış serilerdeki formülleri sayfa 113 de mevcuttur.

4. 1. 1. 4 Kareli Ortalama • Basit seri için örnek: beş günlük satışları 2, 3, 7, 9, 10 birim olan bir satış noktasının günlük satış miktarını kareli ortalama cinsinden hesaplayınız. X X² 2 4 3 9 7 49 9 81 10 100 Toplam 243 KO = √∑X² / N = √ 243/5 = √ 48. 6 = 6. 97