Blm 3 Tanmlayc statistikler 1 Tanmlayc statistikler Bir

Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1

Tanımlayıcı İstatistikler • Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını sayısal olarak özetleyen değerlere tanımlayıcı istatistikler denir. • Analizlerde kullanılan veri tiplerine (basit, gruplanmış, sınıflanmış) göre hesaplamalarda kullanılacak formüller değişmektedir. 2

Tanımlayıcı İstatistikler Yer Ölçüleri 1)Aritmetik ort. 2)Geometrik ort. 3)Harmonik ort. 4)Mod 5)Medyan 6)Kartiller Değişkenlik Ölçüleri Çarpıklık Ölçüleri Basıklık 1) Range 1)Pearson Asimetri Ölçüleri (Değişim Aralığı) Ölçüsü 2) Ort. Mutlak sapma 2)Bowley Asimetri Ölçüsü 3) Varyans 4) Standart Sapma 5) Değişkenlik(Varyasyon) Katsayısı 3

Yer Ölçüleri • Yer ölçüsünü belirlemek amacıyla veri analizini yapacak kişi, öncelikle veri seti için hangi ölçüyü kullanması gerektiğine karar vermelidir. 4

Tanım v Merkezi Eğilim Ölçüsü Veri setinin orta noktası veya merkezinin değeridir. 5

1) Aritmetik Ortalama • Üzerinde inceleme yapılan veri setindeki elemanların toplanıp incelenen eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen yer ölçüsüne aritmetik ortalama denir. • Örnek: – Sınav notlarının ortalaması, – Yaz aylarında m 2’ye düşen ortalama yağış miktarı 6

Örnek Ortalaması ve Anakütle Ortalaması x , x-bar şeklinde telaffuz edilir ve örneklemin ortalamasıdır. x x = n µ, “mü” şeklinde telaffuz edilir ve anakütle ortalamasıdır µ = x N 7

Bir Denge Noktası Olarak Ortalama • 1, 14, 19, 31, 50 sayılarının ortalaması =23 tür. Şekil sayıları bir çizgi üzerinde yerleştirilmiş eşit küçük ağırlıklar şeklinde gösterir. 1, 14, 19, 31, 50 • Aritmetik ortalama denge noktasıdır. 1 14 19 31 50 8

9

Basit Veriler için Aritmetik Ortalama Örneği Örnek: İzmir ilinde ilköğretim ikinci sınıfta okuyan öğrenciler üzerinde yapılan bir araştırmada rasgele 8 öğrenci seçilmiş ve ailenizde kaç çocuk vardır sorusuna aşağıdaki gibi cevap vermişlerdir. Ailelerin çocuk sayılarının ortalamasını hesaplayınız. 1, 3, 2, 1, 4, 5, 6, 2 n = 8 i = 1, 2, …, 8

Gruplanmış Veriler İçin Aritmetik Ortalama f : frekans k: grup sayısı i = 1, 2, 3, ………. , k

Örnek: Bir otomobil Araba bayisinde 80 gün boyunca (xi) yapılan inceleme sonucunda 0 satılan arabaların adetlerine 1 göre dağılımı yandaki tabloda 2 verilmiştir. Buna göre bir gün 3 içinde satılan ortalama araba sayısını hesaplayınız. 4 5 GÜN(fi) xi. fi 5 12 0 12 35 14 8 6 ∑fi=80 70 42 32 30

Sınıflanmış Veriler İçin Aritmetik Ortalama f : frekans k : sınıf sayısı i = 1, 2, 3, ………. , k m : sınıf orta noktası • Sınıflanmış verilerde her bir sınıf içindeki değerlerin neler olduğu bilinmediğinden dolayı ve yalnızca her bir sınıfın frekans değerleri bilindiğinden dolayı sınıfı temsil etmek üzere sınıf orta noktaları hesaplamada kullanılır. • Kullanılan formül gruplanmış veriler için kullanılan 13 formüle benzerdir.

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek kaydedilmiştir. Öğrencilerin boylarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

Ağırlıklı Ortalama 15

16

2) Geometrik Ortalama • Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpımının n nci dereceden kökünün alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür. • Geometrik ortalamanın formülüne bakıldığında hesaplama zorluğu olduğundan dolayı logaritma ifadesi kullanılır. Genellikle basit veriler için kullanışlı olup negatif sayılar için kullanışlı değildir. 17

Geometrik Ortalama’nın Kullanım Alanları • Ortalama oranları, • Değişim Oranları, • Logaritmik dağılış gösteren veri setleri, için kullanışlıdır. Örnek: fiyat indeksleri, faiz formülleri.

Örnek: Abac şirketinin yıldan-yıla olan fuel deki tüketim harcamalarının değişimi yüzde -5, 10, 20, 40, ve 60. büyüme faktörlerinin geometrik ortalamasını kullanarak harcamalardaki ortalama yıllık yüzde değişim belirlenir. Büyüme faktörleri için yüzde değişim dönüştürme ile elde edilenler; 0. 95 1. 10 1. 20 1. 40 1. 60

G = anti log 0, 27045 = 100, 08971 ≈ 1, 229

3) Harmonik Ortalama • Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpma işlemine göre terslerinin ortalamasının tersinin alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür. Genellikle basit veriler için kullanışlıdır. 21

Harmonik Ortalama’nın Kullanım Alanları Zaman verileri için kullanışlıdır. Örnek: Zaman birimi başına hız, para birimi başına satın alınan birim sayısı. Belirli koşullar ve fiyat tipleri için zaman verilerinin ortalamalarının hesaplanmasında kullanılan bir yer ölçüsüdür. Zamana bağlı hız, fiyat verimlilik gibi oransal olarak ifade edilebilen verilerin ortalamasın alınmasında da kullanılabilir. NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. 22

Örnek: Bir tekstil fabrikasında çalışan dört kişinin bir pantolonu ütüleme süreleri aşağıda verilmiştir. Buna göre bu fabrikada bir pantolon ortalama kaç dakikada ütülenir? İşçi 1: 10 dk. İşçi 2: 6 dk. İşçi 3: 4 dk. İşçi 4 : 5 dk. 23

4) Mod • Bir veri setinde en çok gözlenen ( en çok tekrar eden ) değere veya frekansı en fazla olan şans değişkeni değerine mod adı verilir. • Veri setinin modu olmayacağı gibi birden fazla da modu olabilir. • Mod genellikle kesikli şans değişkenleri için oluşturulan gruplanmış verilerde aritmetik ortalama yerine kullanılabilir. 24

Mod • Mod, büyük veri setlerinde verinin daha çok nerede toplandığını bulmak için kullanılır. Örneğin erkek kıyafetleri satan bir perakendeci, potansiyel müşterilerini belirlemek için gömlek kol uzunluğu ve gömlek yaka ölçüsüyle ilgilenebilir. • Nicel veri seti çok büyük olmadığı zaman mod anlamlı olmayabilir. • Sınıflandırılmış veriler için kullanılabilecek tek merkezi eğilim ölçüsüdür. 25

Örnekler 1) 5, 40 1, 10 0, 42 0, 73 0, 48 1, 10 2) 27 27 27 55 55 55 88 88 99 ïModu 1, 10 ï 1 den fazla moda sahip , 27 ve 55 3) 1 2 3 6 7 8 9 10 ïModu yok 26

Gruplanmış Veriler İçin Mod Basit verilerde bulunduğu gibi hesaplanır. Örnek: Bir otomobil bayisinde 80 gün boyunca yapılan inceleme sonucunda satılan arabaların adetlerine göre dağılımı yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre araba satışları için mod değeri nedir? Araba(xi) 0 1 2 GÜN(fi) 5 12 35 3 4 5 14 8 6 En yüksek frekansa sahip olan gözlem değeri 2 olduğundan dolayı araba satışları için mod değeri 2’dir. 27

Sınıflanmış Veriler İçin Mod • Sınıflanmış verilerde mod değeri hesaplanırken ilk olarak mod sınıfı belirlenir. • Mod sınıfı frekansı en yüksek olan sınıftır. • Mod sınıfı belirlendikten sonra bu sınıf içerisinde yer alan modun tam değeri sınıf frekansı ve kendine komşu olan sınıf frekansları dikkate alınarak hesaplanır. 28

Mod = Mod Sınıfı Aralığının Alt Sınırı = Mod Sınıfı Frekansı - Kendinden Bir Önceki Sınıf Frekansı = Mod Sınıfı Frekansı – Kendinden Bir Sonraki Sınıf Frekansı i = Mod Sınıfının Sınıf Aralığı 29

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek kaydedilmiştir. Öğrencilerin boylarının mod değerini hesaplayınız. Mod sınıfı

Frekansı en yüksek olan sınıf mod sınıfı olarak belirlenir. Mod sınıfı belirlendikten sonra formülde ilgili değerler yerine koyularak mod değeri hesaplanır.

5) Medyan • Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda tam orta noktadan veri setini iki eşit parçaya ayıran değere medyan adı verilir. • Veri setinde aşırı uçlu elemanlar olduğunda aritmetik ortalamaya göre daha güvenilirdir. • Medyan, veri setindeki tüm elemanlardan etkilenmez. 32

Basit Veriler İçin Medyan • Veri Setinin Hacmi Tek Sayı İse; nci gözlem değeri medyandır. • Veri Setinin Hacmi Çift Sayı İse; ve nci gözlem değerinin aritmetik ortalaması medyandır. 33

5. 40 1. 10 0. 42 0. 73 0. 48 1. 10 0. 42 0. 48 0. 73 1. 10 5. 40 Medyan bu iki noktanın arasına düşmektedir 0. 73 + 1. 10 MEDYAN 0. 915 2 5. 40 1. 10 0. 42 0. 73 0. 48 1. 10 0. 66 0. 42 0. 48 0. 66 0. 73 1. 10 5. 40 Tam ortadaki değer medyandır. MEDYAN 0. 73 34

Gruplanmış Veriler İçin Medyan • Gruplanmış verilerde medyan değeri hesaplanırken veri setinin tam orta noktasının hangi gruba ait olduğunu belirlemek için birikimli frekans sütunu oluşturulur. • Sıra numarası belirlendikten sonra o sıra numarasına ait grup medyan değeri olarak ifade edilir. 35

Örnek: Bir un fabrikasının satış mağazasında bir gün içinde satılan un paketlerinin gramajlarına göre satış adetleri aşağıda verilmiştir. Buna göre veri seti için medyan değerini hesaplayınız. Kg 1 2 3 Satış adedi 5 12 35 Birikimli Frekans ( ∑f ) 5 17 52 4 5 6 14 8 6 66 74 80 • n/2 ve (n/2)+1 nci gözlem değerlerine karşılık gelen değerler (40 ve 41 nci sıra ) 3 olduğundan dolayı medyan değeri 3’tür.

• Frekans dağılımı aşağıdaki gibi olsaydı (n+1)/2 nci elemana (45 nci elemana) karşılık gelen değer 4 olacağından dolayı veri setinin medyanı 4 olarak hesaplanacaktır. Kg 1 2 3 Satış adedi 5 12 22 Birikimli Frekans ( ∑f ) 5 17 39 4 5 6 32 14 4 71 85 89

Sınıflanmış Veriler İçin Medyan • Sınıflanmış verilerde medyan değeri hesaplanırken ilk olarak medyan sınıfı belirlenir. • Medyan sınıfı birikimli frekanslar dikkate alındığında toplam frekansın yarısını içinde bulunduran sınıftır. • Medyan sınıfı belirlendikten sonra medyan sınıfından bir önceki sınıfın birikimli frekansı ve medyan sınıfı frekansı dikkate alınarak hesaplanır. 38

Lmed : Medyan sınıfının alt sınırı fl : Medyan sınıfından bir önceki sınıfın birikimli frekansı fmed : Medyan sınıfının frekansı i: Sınıf Aralığı 39

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek kaydedilmiştir. Öğrencilerin boylarının mod değerini hesaplayınız. Medyan sınıfı

Toplam 50 adet gözlem olduğundan dolayı, birikimli frekans sütununda 50/2 =25 nci gözlemin bulunduğu sınıf medyan sınıfı olarak belirlenir.

Veriler mod etrafında simetrik oldukları zaman, mod, medyan ve artimetik ortalama birbirlerine eşit olur. Eğer örneklem aynı anakütleden çekilmişse, aritmetik ortalama diğer ölçülere göre daha güvenilirdir 42

6) Kartiller • Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda dört eşit parçaya ayıran üç değere kartiller adı verilir. • İlk % 25’lik kısmı içinde bulunduran 1. Kartil (Q 1), % 50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q 2), % 75’lik kısmı içinde bulunduran 3. Kartil (Q 2), olarak adlandırılır. • %50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q 2) aynı zamanda veri setinin medyanıdır. %25 %25 Q 1 Q 2 Q 3 43

Basit Veriler İçin Kartiller • 1. Kartil Q 1 • 3. Kartil Q 3 nci gözlem değeri, 44

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için Q 1 ve Q 3 değerlerini hesaplayınız. 30, 42, 56, 61, 68, 79, 82, 88, 90, 98 (n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası (10+1)/4 = 2, 75’dir. Q 1= 42 + 0, 75. (56 - 42) = 52, 5 , 3(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası 3(10+1)/4 = 8, 25’dir. Q 3= 88 + 0, 25. (90 - 88) = 88, 5 ‘dir. 45

Veri seti aşağıdaki gibi verilseydi, 30, 42, 56, 61, 68, 79, 82, 88, 90 (n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası (9+1)/4 = 2, 5’dir. Q 1= 42 + 0, 5. (56 - 42) = 49 , 3(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası 3(9+1)/4 = 7, 5’dir. Q 3= 82 + 0, 5. (88 - 82) = 85 , olarak hesaplanacaktı.

Gruplanmış Veriler İçin Kartiller • Gruplanmış verilerde kartiller hesaplanırken veri setinin ilk çeyrek ve son çeyrek kısmını tam olarak ifade etmek amacıyla birikimli frekans sütünü oluşturulur. • Gruplanmış verilerde örnek hacminin tek veya çift olduğuna bakılmaksızın n/4 ncü eleman 1. Kartil (Q 1), 3 n/4 ncü eleman ise 3. Kartil (Q 3), olarak ifade edilir. 47

Örnek: Bir un fabrikasının satış mağazasında bir gün içinde satılan un paketlerinin gramajlarına göre satış adetleri aşağıda verilmiştir. Buna göre veri seti için Q 1 ve Q 3 nedir? Kg 1 2 3 Satış adedi 5 12 35 Birikimli Frekans ( ∑f ) 5 17 52 4 5 6 14 8 6 66 74 80 • n/4 ncü ( 20 nci ) sıra numarasına karşılık gelen gözlem 3 olduğundan; 1. kartil 3, 3 n/4 ncü ( 60 ncı ) sıra numarasına karşılık gelen gözlem 4 olduğundan; 3. kartil 4’tür.

Sınıflanmış Veriler İçin Kartiller • Sınıflanmış verilerde kartiller hesaplanırken ilk olarak birikimli frekans sütunu oluşturularak kartil sınıfları belirlenir. • Kartil sınıfları belirlenirken gruplanmış verilerde olduğu gibi n/4 ve (3 n)/4 ncü sıralardaki elemanların hangi sınıflara ait iseler o sınıflar kartil sınıfları olur. • Kartil sınıfları belirlendikten sonra bu sınıflardan bir önceki sınıfın birikimli frekansı ve mevcut sınıf frekansı dikkate alınarak kartil değerleri hesaplanır. 49

1. Kartil 2. Kartil 3. Kartil 50

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek kaydedilmiştir. Öğrencilerin boylarının birinci ve üçüncü kartillerini hesaplayınız. Q 1 sınıfı Q 3 sınıfı 51

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri • Bir veri setini tanımak yada iki farklı veri setini birbirinden ayırt etmek için her zaman yalnızca yer ölçüleri yeterli olmayabilir. • Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan ve genellikle aritmetik ortalama etrafındaki değişimi dikkate alarak hesaplanan istatistiklere yayılma (değişkenlik) ölçüleri adı verilir. 52

Aşağıdaki iki grafik n = 1500 hacimli iki farklı örnek doğrultusunda oluşturulan histogramlardır. Her iki örnek ortalaması yaklaşık olarak 100 olduğuna göre iki örneğin aynı anakütleden alındığı söylenebilir mi? 53

• Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan yayılım ölçüleri aritmetik ortalama etrafındaki değişimleri dikkate alan tanımlayıcı istatistiklerdir. • Bir veri setinde aritmetik ortalamalardan her bir gözlemin farkı alınıp bu değerlerin tümü toplandığında sonucun 0 olduğu görülür. 54

• Örnek: 4, 8, 9, 13, 16 şeklinde verilen bir basit veri için; • Bu örnekten görüleceği üzere gözlemlerin aritmetik ortalamadan uzaklığı alıp toplandığında 0 elde edildiğinden dolayı bu problem mutlak değer kullanarak veya karesel uzaklık alınarak ortadan kaldırılır. 55

7) Range (Değişim Aralığı) • Veri setindeki yayılımı ifade etmede kullanılan en basit ölçü, değişim aralığıdır. Genel olarak az sayıda veri için kullanılır. • En büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri arasındaki fark değişim aralığını verir. • Range, veri setindeki tek bir gözlemin aşırı derecede küçük veya büyük olmasından etkilendiği için bir başka ifadeyle örnekte yer alan sadece iki veri kullanılarak hesaplanmasından dolayı tüm veri setinin değişkenliğini açıklamak için yetersiz kalmaktadır. 56

Değişim Aralığı 57

Kartiller Arası Fark • Diğer değişkenlik 1. ve 3. kartiller arasındaki farka dikkat çeker. Çeyrek aralık olarak adlandırılan bu fark, Q 3 -Q 1, veri setinin yarısını içeren genişliği verir. 58

8) Ortalama Mutlak Sapma(OMS) • Veri setindeki her bir gözlem değerinin mutlak değerce aritmetik ortalamadan farklarının toplamının, örnek hacmine bölünmesiyle elde edilir. • Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan faklarının toplamı 0 olacağından bu problemi ortadan kaldırmak için mutlak değer ifadesi kullanılır. Basit veriler için: Gruplanmış veriler için: Sınıflanmış veriler için : 59

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için ortalama mutlak sapma değerini hesaplayınız. 30, 41, 53, 61, 68, 79, 82, 88, 90, 98 60

Sınıflanmış Veriler İçin Ortalama Mutlak Sapma Örneği 61

Yayılma Ölçülerinin Gerekliliği 62

9) Varyans Ortalama mutlak sapmada kullanılan mutlak değerli ifadeler ile işlem yapmanın zor hatta bazı durumlarda imkansız olması sebebiyle yeni değişkenlik ölçüsüne ihtiyaç bulunmaktadır. • • Mutlak değer ifadesindeki zorluk aritmetik ortalamadan farkların karelerinin alınmasıyla ortadan kalkmaktadır. • Veri setindeki her bir gözlem değerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının örnek hacminin bir eksiğine bölünmesinden elde edilen yayılım ölçüsüne örnek varyansı adı verilir. 63

Basit veriler İçin: Anakütle Varyansı: : Anakütle Ortalaması N : Anakütle Hacmi Örnek Varyansı : Gruplanmış veriler için: Sınıflanmış veriler için : 64

ifadesi istatistikte bir çok formülde kullanılır ve kareler toplamı olarak adlandırılır. • Matematiksel olarak hesaplama kolaylığı sağlaması açısından formüllerde kareler toplamının açılımı olan aşağıdaki eşitlik kullanılabilir. 65

Basit Veriler İçin: Gruplanmış Veriler İçin: Sınıflanmış Veriler İçin : 66

Örnek: Bir un fabrikasının satış mağazasında bir gün içinde satılan un paketlerinin gramajlarına göre satış adetleri aşağıda verilmiştir. Buna göre veri seti için varyans değerlerini hesaplayınız. Kg Satış adedi xi. fi x 2 i. fi 1 5 5 5 2 12 24 48 3 35 105 315 4 14 56 224 5 8 40 200 6 6 36 216 toplam 80 266 1008

Sınıflanmış Veriler İçin Ortalama Varyans Örneği 68

10) Standart Sapma • Varyans hesaplanırken kullanılan verilerin kareleri alındığında mevcut ölçü biriminin de karesi alınmış olur. • Örnek: kg 2, cm 2 gibi. • Bu nitelendirme veriler açısından bir anlam taşımayacağından varyans yerine ortalama etrafındaki değişimin bir ölçüsü olarak onun pozitif karekökü olan standart sapma kullanılır. 69

Basit Veriler İçin: Populasyon Standart Sapması: : Populasyon Standart Sapması N : Populasyon Hacmi Örnek Standart Sapması : Gruplanmış Veriler İçin: Sınıflanmış Veriler İçin : 70

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize notları için varyans ve standart sapmayı hesaplayınız. 30, 41, 53, 61, 68, 79, 82, 88, 90, 98 → İstatistik I vizesinden alınan notların ortalama etrafında yaklaşık olarak 22 puan değiştiği görülmektedir. 71

Aynı soru kareler ortalamasının açılımı kullanılarak çözüldüğünde aynı sonuçları verecektir. 30, 41, 53, 61, 68, 79, 82, 88, 90, 98 72

CHEBYSHEV TEOREMİ Herhangi bir veri setinde, verilerin ortalamadan K standart sapma uzakta bulunma oranı 1 -1/K 2 dır. Burada K, birden büyük pozitif sayıdır. K=2 ve K=3 için; • Verilerin en az 3/4’ ü (%75) ortalamanın 2 standart sapma uzağında bulunur. • Verilerin en az 8/9’ u (%89) ortalamanın 3 standart sapma uzağında bulunur. 73

• Örnek: X değişkeni bir sınıftaki İstatistik I dersinin başarı notlarını göstermek üzere; örnek ortalamasının 60, varyansının 100 olduğu bilindiğine göre, verilerin ¾ ‘ü hagi aralıkta değişir? 74

Standart Sapmanın Yorumlanması 75

76

Ampirik Kural 77

Ampirik Kural 78

Ampirik Kural 79

11) z Skoru Verilen bir gözlem değerinin ortalamanın kaç standart sapma uzağında olduğunu ölçer. Örneklem x x z= s Anakütle x µ z= 2 ondalık basamağa yuvarlanır. 80

z- skorunun Yorumlanması Bir veri ortalamadan küçük olursa z-skoru değeri negatif olur. Olağan Veriler : z skoru – 2 ve 2 s. s arasında Olağandışı Veriler: z skoru < -2 veya z skoru > 2 s. s 81

82

• Örnek: 200 çelik işçisinin yıllık gelirleri incelenmiş ve ortalaması = 24. 000$ ve standart sapması s= 2. 000$ olarak bulunmuştur. Yıllık geliri 22. 000$ olan Joe Smith’in z-skoru kaçtır? 18. 000$ 22. 000$ 24. 000$ Joe Smith’in geliri 30. 000$ 83

84

12) Değişkenlik(Varyasyon) Katsayısı • İki veya daha fazla populasyon üzerinde aynı şans değişkenleri için yapılan araştırmalarda değişkenliklerin karşılaştırılması için kullanılan bir ölçüdür. Varyasyon Katsayısı: • Standart sapmayı ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade eden ve iki veya daha fazla populasyondaki varyasyonu (değişkenliği) karşılaştırmada kullanılan ölçüye varyasyon(değişkenlik) katsayısı denir. • Örnek: İstanbul’da ve Ankara’da yaşayan ailelerin aylık gelirlerinin değişkenliklerinin karşılaştırılması 85

Örnek: A, B ve C hisse senetlerinin kapanış fiyatlarına ilişkin yapılan bir araştırmada, hisse senetlerinin kapanış fiyatlarının ortalamaları ve standart sapmaları hesaplanmış ve aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre hisse senetlerini kapanış fiyatlarının değişkenlikleri açısından karşılaştırınız ve hangi hisse senedinin fiyatındaki değişkenlik daha fazladır ifade ediniz. s A 8 2 B 5 1 C 15 3 Üç hisse senedinin kapanış fiyatlarının değişkenlikleri karşılaştırıldığında en büyük standart sapma değeri C hisse senedinde olmasına rağmen en büyük varyasyon katsayısına sahip olduğundan en fazla değişkenliğin A hisse senedinde olduğu görülür. 86

Tanımlamalar v Simetrik Veriler Eğer veri simetrik ise verinin histogramının sağ tarafı ve sol tarafı eşit büyüklüktedir v Çarpık Veriler Eğer veri çarpık ise (simetrik değilse), verinin histogramın bir kısmı diğer kısmından büyüktür veya küçüktür. 87

Çarpıklık 88

Çarpıklık (Asimetri) Ölçüleri Anakütleleri birbirinden ayırmak için her zaman yalnızca yer ve yayılım ölçüleri yeterli olmayabilir. Aşağıda iki farklı anakütleden alınmış örnekler için oluşturulan histogramlar verilmiştir. • 89

13) Asimetri Ölçüleri PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ veya Sk. P < 0 →Negatif çarpık(Sola) Sk. P > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa) Sk. P = 0 ise dağılış simetrik BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ Skb < 0 → Negatif çarpık(Sola) Skb > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa) Skb = 0 ise dağılış simetrik 90

Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın kullandığı et miktarının dağılımından elde edilen bazı tanımlayıcı istatistikler verilmiştir. Buna göre pearson ve bowley asimetri ölçülerini hesaplayıp yorumlayınız. Aritmetik Ort. Mod Medyan Q 1 Q 3 s 2 46, 6 45, 4 46, 2 41, 5 51, 9 54, 46 Sağa Çarpık , Pozitif Asimetri 91

Simetrik Dağılım A. O = Med = Mod İki modlu simetrik dağılım Sağa çarpık dağılım Sola çarpık dağılım A. O > Med > Mod A. O < Med < Modu olmayan dağılım Tekdüzen dağılım 92

14) Sapan Gözlemler v. Sapan gözlem, diğer bütün gözlemlerden uzakta bulunan gözlemdir. v Sapan gözlem ortalama üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir. v Sapan gözlem standart sapma üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir. v Sapan gözlem, dağılımın gerçek histogramının ölçeği üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir. 93

15) 5 Sayı Özeti v 5 sayı özeti, bir veri setinde minimum değer, 1. Kartil, 2. Kartil(medyan), 3. Kartil’i ve maksimum değeri içerir. v Kutu grafiği(veya kutu ve bıyık grafiği) bir veri seti için, sınırları maksimum ve minimum değer olmak üzere, içinde 1. Kartil, 2. Kartil(medyan) ve 3. Kartil’i bulunduran kutu şeklindeki grafiktir. 94

Kutu Grafiği 95

Kutu grafiği hazırlama • Q 1: Kutunun sol kenarı • Q 3: Kutunu sağ kenarı • Q 2: Kutunun ortasındaki çizgi • Sapan hariç min. : Sol bıyık • Sapan hariç max. : Sağ bıyık • Sapan değer kontrolu Q 1 – 1. 5(Q 3 – Q 1) Q 3 + 1. 5(Q 3 – Q 1) bu değerleri aşan veriler * ile gösterilir. 96

• Örnek: Yazlık ürünler satan bir mağazada haftalık satılan t-shirt sayıları yandaki tabloda verilmiştir. Verilen tablodan beş sayı özetini bulunuz ve kutu grafiğini çiziniz. 27 22 20 17 18 18 22 21 29 20 32 17 30 19 28 25 20 31 22 23 21 28 22 24 18 18 32 25 18 44 17

• Çözüm: Öncelikle veriler yandaki gibi sıralanırsa; Q 1=(31+1)/4=8. sıraya karşılık gelen veri olur. Q 1=18 Q 3=3(31+1)/4=24. sıraya karşılık gelen veri olur. Q 3=28 Minimum değer=17, Maksimum değer=44 ve Medyan(Q 2)=22 olur. Sapan değerleri kontrol etmek için; Q 1 -1, 5(Q 3 -Q 1)=18 -1, 5(28 -18)=3 Q 3+1, 5(Q 3 -Q 1)=28+1, 5(28 -18)=43 bulunur. Bu durumda elimizdeki 44 değeri sapan değerdir ve * ile gösterilir. . 17 20 25 17 21 27 18 21 28 18 22 29 18 22 30 18 22 31 19 23 32 20 24 32 44

45 * 44 sapan değer 40 35 30 25 Medyan(Q 2)=22 20

Kutu Grafiği Figure 2 -16 100

Kutu Grafiği Figure 2 -17 101

16) Basıklık Ölçüsü Aşağıdaki A ve B dağılımlarının ortalamaları, değişkenlik ölçülerinin aynı olmasından dolayı ve hatta ikisinin de simetrik olmalarından dolayı bu iki dağılışı ayırt etmek için Basıklık Ölçüsü kullanılır. 102

Herhangi bir olasılık fonksiyonunun şekli ile ilgili parametrelerden bir tanesi de basıklık ölçüsüdür. Basıklık Ölçüsü ortalamaya göre dördüncü momentten gidilerek hesaplanır ve 4 olarak gösterilir. Basit Seri İçin 4 = 3 ise Seri Normal 4 < 3 ise Seri Basık 4 > 3 ise Seri Sivri Ya da Yüksek 103