Blm 2 Hareket Bir Boyutta Hareket Terminoloji Klasik

Bölüm 2: Hareket: Bir Boyutta Hareket

Terminoloji • Klasik Mekanik = Hareket eden cisimlerin incelenmesi. – Mekanik iki kısma ayrılır. • Kinematik = Cisimlerin NASIL hareket ettiğinin tarifi. – Bölüm 2 & 4 (Bölüm 3 çoğunlukla matematik!) • Dinamik = Cisimler NEDEN hareket eder. – KUVVET kavramına giriş. – Hareketin nedeni, Newton Yasaları – Bir süre, kütleleri noktasal kabul edeceğiz. – Daha sonra, cismler normal alınacak.

Dersin Kısaca Gözden Geçirilmesi “Noktasal” Parçacıklar & Büyük Kütleler • Öteleme Hareketi= Doğru boyunca hareket. – Bölümler 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Dönme Hareketi= Bir daire boyunca hareket. – Bölüm 5, 6, 10, 11 • Titreşim Hareketi = Aynı yörüngede ileri ve geri hareket etme (titreşim). – Bölüm 15 Sürekli Ortam • Dalgalar, Ses – Bölüm 15, 16 • Akışkanlar= Sıvılar & Gazlar – Bölüm 13 Korunum Yasaları: Enerji, Momentum, Açısal Momentum

Bölüm 2 Konular • Referans Sistemi& Yer Değiştirme • Ortalama Hız • Ani Hız • İvme • Sabit İvmeli Hareket • Problem Çözümleri • Serbest Düşen Cisimler

Referans Sistemi & Yer Değiştirme • Her ölçüm referans sistemi göre yapılmalıdır. Ekseriya, sürat yere göre olur. • Örneğin, trende oturursanız ve birisi koridorda yürürse, şahsın trene göre sürati birkaç km/saat olacaktır. Kişinin yere göre sürati daha yüksek olacaktır. • Özellikle, Şahıs trenin ön tarafına doğru 5 km/sa süratle (tren tabanına göre) koşarsa, & trende yere göre 80 km/sa süratle hareket ederse, Kişinin sürati yere göre sürati 85 km/sa olur.

Koordinat Eksenleri • Ekseriya, standart bir koordinat eksenleri kullanarak referans sistemi tanımlarız. (Fakat referans sisteminin seçim, keyfi ve daha sonra göreceğimiz gibi bize göredir!) • 2 Boyut (x, y) • Not, Uygun olursa, + & - tersine çevireceğiz ! xy nin standart seti (Kartezyen or dik) Koordinat eksenleri - , + -, - +, + +, -

Koordinat Eksenleri • 3 Boyutta (x, y, z) ilk Sekizlik kısım • Bunları kullanarak doğrultuları tanımlarız.

Yerdeğiştirme & Uzaklık cismin aldığı yol Cismin yerdeğiştirmesi! Şekilde Uzaklık = 100 m. Yerdeğiştirme = 40 m Doğu. • Yerdeğiştirme Cismin konumundaki değişim. • Yerdeğiştirme bir vektördür (büyüklüğü & doğrultusu). • Uzaklık skalerdir (büyüklük).

Yerdeğiştirme t 1 t 2 zaman x 1 = 10 m, x 2 = 30 m Yerdeğiştirme ∆x = x 2 - x 1 = 20 m ∆ “delta” yunan alfabesi anlamı değişim

Şekil 2 -6 Yerdeğiştirme x=x 2 -x 1=10, 0 m-30, 0 m için, yerdeğiştirme vektörü sola doğrudur. x 1 = 30 m, x 2 = 10 m Yerdeğiştirme ∆x = x 2 - x 1 = - 20 m Yerdeğiştirme VEKTÖR dür.

Vektör ve Skaler • Fizikte yerdeğiştirme gibi bir çok niceliklerin büyüklüğü ve doğrultusu vardır. Böyle niceliklere VEKTÖR adı verilir – Vektör olan diğer nicelikler hız, ivme, kuvvet, momentum, … • Fizikte uzaklık gibi bir çok niceliklerin sadece büyüklüğü vardır. Böyle niceliklere SKALER adı verilir. – Skaler olan diğer nicelikler sürat, sıcaklık, kütle, hacim, . . . dir.

• Kitaplarda vektörleri göstermek için harfler KOYU kullanılır. • Ekseriya kitaplarda vektörleri göstermek için harfin üzerine ok işareti konur. • Bir boyutta, oku kaldırabiliriz ve a + işareti vektör sağa doğru ve a – işareti vektörün sola doğru olduğu anlamına geldiğini hatırlayınız.

Ortalama Hız Ortalama Sürat (Alınan Yol)/(Zaman) Skalerdir! Ortalama Hız (Yerdeğiştirme)/(Zaman) Vektördür! • Hız: Cismin ne kadar hızla hareket ettiğini gösteren büyüklük ve doğrultu. Hız bir VEKTÖR dür. (Yerdeğiştirme gibi). • Sürat: Cismin ne kadar süratle hareket ettiğini gösteren sadece büyüklük. SKALER. (Uzaklık gibi) Birim: uzaklık/zaman = m/s

Ortalama Hız, Ortalama Sürat • Daha önceden yerdeğiştirme. 70 s yürüyünüz. • Ortalama Sürat= (100 m)/(70 s) = 1. 4 m/s • Ortalama hız= (40 m)/(70 s) = 0. 57 m/s

• Genelde: t 1 t 2 times ∆x = x 2 - x 1 = yerdeğiştirme ∆t = t 2 - t 1 = zaman Ortalama Hız: (x 2 - x 1)/(t 2 - t 1) Çubuk ortalamayı gösteriyor

Örnek Bir kişi x 1 = 50. 0 m den x 2 = 30. 5 m ye ∆t = 3. 0 s de koşuyor. ∆x = -19. 5 m. Ortalama hız (∆x)/(∆t) = -(19. 5 m)/(3. 0 s) = -6. 5 m/s Negatif işareti, negatif x doğrultusunu gösterir.

Ani Hız Zamanın herhangi bir anındaki hız Çok kısa zamandaki ortalama hız • Matematiksel olarak, anlık hız ile tanımlanır. çok küçük oran ∆t çok aralık sizi türeve götürür. Anlık Hız v ≡ yerdeğitirmenin zaman göre türevi x

Ani hız = ortalama hız Bu grafikler (a) Sabit hız gösteriyor and Ani hız ortalama hız (b) değişen hız gösteriyor

Ani hız, zamanın çok kısa zaman aralığında ortalama hızın limitidir. İdeal olarak, araba kadranı anlık hızı gösterir; Hatta, çok kısa zaman aralığında ortalama hızı da ölçer.

Parçacığın konum-zaman grafiği üzerinde, anlık hız eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimi ile bulunur.

Örnek: x, konumun t, zamana göre fonksiyonu veriliyor Yandaki şekilde görüldüğü gibi, bir jet motoru, deneysel ray boyunca hareket ediyor (x ekseni). Motoru bir parçacık gibi varsayınız. Konumun zamana göre fonksiyonu x = At 2 + B ile veriliyor , burada A = 2, 10 m/s 2 ve B = 2, 80 m. (a) t 1 = 3, 0 s den t 2 = 5, 0 s zaman aralığında motorun yerdeğiştirmesini bulunuz. (b) Bu zaman aralığında ortalama hızı bulunuz. (c) t = 5, 0 s de anlık hızın büyüklüğünü bulunuz. Ev ödevi!

İvme • Hız zamanla değişebilir. Cismin hızı zamanla değişirse buna ivme adı verilir. • Tanım: Ortalama ivme = hızdaki değişim oranı. a= (v 2 - v 1)/(t 2 - t 1) a İvme vektörel bir niceliktir. • Anlık İvme – a – • Birimi: hız/zaman = uzaklık/(zaman)2 = m/s 2

Örnek: Ortalama ivme A Bir araba düzgün bir yolda durgun halden 5. 0 s de 90 km/sa hıza ulaşıyor. Ortalama ivmesinin büyüklüğünü bulunuz. Note: 90 km/h = 25 m/s a= =(25 m/s – 0 m/s)/5 s = 5 m/s 2

Kavramsal Sorular 1. Hız & ivme her ikisi de vektördür. Hız ve ivme daima aynı doğrultuda olur mu?

Kavramsal Sorular 1. Hız & ivme her ikisi de vektördür. Hız ve ivme daima aynı doğrultuda olur mu? HAYIR!! Cisim yavaşlarsa, ivme vektörü hız vektörüne zıt doğrultudadır!

Örnek: Arabanın yavaşlaması Bir araba otobanda bir doğru boyunca hareket ediyor. (pozitif x-ekseni). Sürücü frene basıyor. Başlangıç hızı (sürücü frene bastığı zaman), v 1 = 15. 0 m/s. dir. Hızını 5. 0 s de v 2 = 5. 0 m/s ye düşürüyor. Arabanın ortalama ivmesini a= =(v 2 – v 1)/(t 2 – t 1) = (5 m/s – 15 m/s)/(5 s – 0 s) a = - 2. 0 m/s 2

Yavaşlama Aynı araba bu kez sağdan sola doğru hareket ediyor. pozitif x in sağ tarafta olduğunu varsayınız. Araba yavaşlıyor ve başlangıç ve son hızları aynıdır. Ortalama ivmesini hesaplayınız. • “Yavaşlama”: pozitif & negatif ivme hakkında konuşacağız.

Kavramsal Soru 2. Hız & ivme her ikisi de vektördür. Bir cismin ivmesinin sıfır olması ve sıfırdan farklı hızda olması mümkün mü?

Kavramsal Soru 2. Hız & ivme her ikisi de vektördür. Bir cismin ivmesinin sıfır olması ve sıfırdan farklı hızda olması mümkün mü? EVET!! Bir cisim sabit hızda hareket ederse, ivme vektörü sıfır olur!

Kavramsal Soru 3. Hız & ivme her ikisi de vektördür. Bir cismin hızı sıfır olması ve sıfırdan farklı ivme olması mümkün mü?

Kavramsal Soru 3. Hız & ivme her ikisi de vektördür. Bir cismin hızı sıfır olması ve sıfırdan farklı ivme olması mümkün mü? EVET!! Bir cisim ani olarak durgun (v = 0) olursa, fakat hem başlangıç sınırına hareket eder hem de dönüyor ve doğrultusunu değiştiriyorsa, hız sıfır olur fakat ivme sıfır değildir!

Daha önce belirtildiği gibi, ani ivme zaman aralığı çok küçük olduğundaki ortalama hızın limitidir. Hızın zamana göre grafiğindeki eğrinin herhangi bir noktadaki teğetin eğimi ani ivmedir.

Example : Verilen x(t) nin zamana göre değişimi. Bir parçacık doğru hat boyunca hareket ediyor bunun konumu x = (2. 10 m/s 2)t 2 + (2. 80 m) ile veriliyor. (a) t 1 = 3 s ve t 2 = 5 s zaman aralığındaki ortalama ivmeyi; & (b) zamanın fonksiyonu olarak ani ivmeyi hesaplayınız. Bu durumda, konum Hızın zamana göre İvme burada sabittir! zaman grafiği paraboldur grafiği doğrudur Konum zaman eğrisi hız zaman eğrisi ivme zaman eğrisi Hız v(t) = konumun zamana göre türevi x(t): v(t) = = (4. 2)t. İvme a(t) = Hızın zamana göre türevi v(t): a(t) = = 4. 2 m/s 2. Buna göre, cevap (b): 4. 2 m/s 2 (Not: Konumun zamana göre ikinci türevi!) Çözüm (a): At t 1 = 3 s , v 1 = (4. 2)(3) = 12. 6 m/s. t 2 = 5 s , v 2 = (4. 2)(5) = 21 m/s. Buna göre, ortalama ivme a= = (21 m/s – 12. 6 m/s)/(5 s – 3 s) = 4. 2 m/s 2. Ortalama ve ani ivme aynıdır çünkü ivme sabittir!

Kavramsal Örnek: Grafik analizi: Şekil, iki arabanın hız v(t) zaman eğrisini gösteriyor, her ikisi 0 dan 100 km/sa ye 10. 0 s de ivmeleniyor. (a) ortalama ivmesini; (b) ani ivmesini; & (c) iki arabanın aldığı toplam yolu karşılaştırınız. . Çözüm: (a) Orta. ivme: a = Both have the same ∆v ve ∆t aynıdır buna göre a da aynıdır. (b) Ani ivme: a = = v vs t teğetin eğimi. İlki yaklaşık 4 s de, A eğrisi B eğrisi den daha diktir buna göre, t = 0 to t = 4 s aralığında A’nın ivmesi B den daha büyüktür. B eğrisi A eğrisinde daha diktir, buna göre yaklaşık t = 4 s de B arabasının ivmesi A arabasından daha büyüktür. (c) Toplam uzaklık: t = 0 & t = 10 s hariç, A arabası B arabasından daha hızlıdır. Buna göre, aynı zamanda A arabası B den daha uzağa gider.

Örnek (Ödev!) : Ortalama hız ve sürati hesaplama Problem: (A) & (F) konumları arasındaki arabanın yer değiştirmesini ve ortalama hızını bulmak için şekil ve tabloyu kullanınız.

Örnek (Ödev!) : Ortalama & Ani Hız Problem: Bir parçacık x-ekseni boyunca hareket ediyor. x = -4 t + 2 t 2 zamana bağlı olarak değişiyor burada x metre & t saniyedir. Bu hareket için konum zaman grafiği şekildedir. a) (A to B & B to D) t = 0 to t = 1 s & t = 1 s to t = 3 s zaman aralıklarındaki yerdeğiştirmeyi hesaplayınız. b) (A to B & B to D) t = 0 to t = 1 s & t = 1 s to t = 3 s zaman aralıklarındaki ortalama hızını hesaplayınız c) t = 2. 5 s (C noktasında) parçacığını ani hızını hesaplayınız. .

Örnek (Ödev!) : x, v, & a arasındaki grafiksel bağıntılar Problem: Grafikte olduğu gibi x-ekseni boyunca hareket eden bir cismin konumu zamanla değişiyor. Cismin hız zaman grafiğini ve ivme zaman grafiklerini çiziniz.

Örnek (Ödev!) : Ortalama & Ani İvme Problem: x- ekseni boyunca hareket eden bir parçacığın hızının zamana göre denklemi v = (44 - 10 t 2) dir, burada t saniyedir. a) t = 0 to t = 2. 0 s zaman aralığında ortalama ivmeyi hesaplayınız. b) t = 2. 0 s de ivmeyi hesaplayınız.

Sabit İvmeli Hareket

Sabit İvme • Bir çok pratik durumlarda: – İvmenin büyüklüğü düzgündür (sabittir) – Hareket bir doğru hat üzerinedir • Bazı denklemleri SADECE bu özel duruma uygulayarak türetmek yararlıdır!!! – Bir boyutta sabit (düzgün) ivme için kinematik denklemler.

Sabit İvme • Kitaptaki formüllerin çıkarılması. Kısmen bir sonraki slaytta olacak! • Formüllerin çıkarılmasında, birazcık notasyon değiştirmek yararlı olur. • Not: Tercih ettiğim notasyon kitapdakinden birazcık farklı olacak t 1 0 = hareketin başladığı an x 1 x 0 = ilk konum (t 1 = 0 de, çoğu kez x 0 = 0) (t 1 = 0) de v 1 v 0 = ilk hız t 2 t = diğer niceliği bilmeyi istediğimiz an x 2 x , t anındaki konum v 2 v , t anındaki hız a ivme = sabit (ortalama & ani ivmeler eşit)

• Tanımdan: – Ortalama hız: v = (x - x 0)/t – İvme (ortalama = ani): a = (v - v 0)/t – Ortalama hız (diğer formu): v = (½)(v + v 0) elde ederiz. (1) (2) (3)

Sabit ivmeli denklemler • Tekrar Not: Tercih ettiğim notasyon kitapdakinden birazcık farklı olacak!! • Sonuçlar (sadece bir boyutta!): v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t + (½)a t 2 v 2 = (v 0)2 + 2 a (x - x 0) v = (½) (v + v 0) (1) (2) (3) (4) a = SABİT değilse, yukarıdaki formüller GEÇERLİ DEĞİL!!! Çoğu kez, x 0 = 0. Bazen v 0 = 0

Kinematik Denklemler – özet (Kitapdaki notasyun ile) Section 2. 6

Fizik & Denklemler ÖNEMLİ!!! – Bu denklemler ve uygulamaları önemli olmasına rağmen, fizik formüller topluluğunu ezberlemek ve onları körüne uygulamak değildir! – Fizik FİZİKSEL İLKELERİN bir takımıdır. – Bir problemi çözecek denklemi körüne araştırmak TEHLİKELİDİR!!!

Bir boyutlu sabit ivmeli problemlerde ihtiyacımız olan tüm formüller: a = SABİT!!!

Problem Çözme Stratejileri 1. Tüm problemi okuyunuz. Anladığınızdan emin olunuz. Anlamadıysanız tekrar okuyunuz. 2. Problemdeki cisimlerin ne olduğuna ve zaman aralığının ne olduğuna karar veriniz. 3. Gereken diagramları çiziniz ve koordinat eksenlerini seçiniz. 4. Bilinen (verilen) nicelikleri ve gereken bilinmeyen nicelikleri yazınız. 5. Fizikte neye uygulanır? Çözüme yaklaşımı planlayınız. 6. Bilinen ve bilinmeyen nicelikler arasında hangi denklemler bağlantılıdır? Bu durumda bu denklemler geçerli mi? Bilinmeyen nicelikleri cebirsel olarak çözünüz ve sonuçların mantıklı (doğru boyutlarda) olduğunu kontrol ediniz. 7. Sonuçları hesaplayınız, uygun sayılara yuvarlayınız. 8. Sonuçlara bakınız - Mantıklı mı? Kaba tahmininize uygun mu? 9. Birimleri tekrar kontrol ediniz.

Altı Çizilmiş ifade: DÜŞÜN! KÖRÜNE FORMÜLLERİ UYGULAMAYINIZ!!!!

Örnek: Havalimanı Pisti Bir havalimanı dizayn ediyorsunuz. Bu havalimanını kullanacak uçak vmin = 100 km/sa (27. 8 m/s) sürate ulaşmalıdır. a = 2 m/s 2 ye ivmelenebilir. (a) Pist x = 150 m uzunlukta olursa, uçak pistin bitiminde havalanmadan önce sürati ne olabilir? (b) Pist x = 150 m uzunlukta değilse, pist için gereken minimum uzunluk ne olmalıdır? Çözüm: Bilinenlerin ve Bilinmeyenlerin Tablosu (a) Denk. (3) ü kullanınız: v 2 = (v 0)2 + 2 a(x – x 0) v 2 = 0 + 2(2. 0)(150 – 0) = 600 m/s 2 So v = (600)½ = 24. 5 m/s (b) v = vmin = 27. 8 m/s yi alarak tekrar Denk. (3) ü kullanınız v = vmin = 27. 8 m/s. Çözüm (1) (2) (3) x – x 0 = [v 2 – (v 0)2]/(2 a) x = [(27. 8)2 – 0]/[2(2. 0)] x = 193 m. Havalimanı pistinin emniyetli olması için 200 m uzunluğunda olmalıdır! (4)

Örnek: Arabanın ivmesi Başlangıçta durgun olan bir araba yeşil ışık yanar yanmaz gaza basarak sabit 2. 0 m/s 2 lik bir ivmeyle kalkıyor ve 30 m yol alıyor. Bu yolu ne kadar zamanda alır? Bilinen: x 0 = 0, x = 30 m, v 0 = 0, a = 2. 0 m/s 2 İstenen: t. x = x 0 + v 0 t + (½)at 2 = 0 + (½)at 2 t = (2 x/a)½ = 5. 48 s

Örnek: Hava Yastığı 100 km/h = 28 m/s (60 mph) süratle giden bir araba beton duvara çarptığında sürücüyü koruyabilecek bir hava yastığı dizayn etmek istiyorsunuz. Etkili bir şekilde sürücüyü koruyacak hava yastığının hangi hızda şişmesi gerektiğini tahmin ediniz. Emniyet kemerinin kullanımı sürücüye nasıl yardım eder? Bilinen: x 0 da v 0 = 28 m/s Çarpışma sona erdiği zaman, araba durur! v=0 İstenen bilinmeyen: t. Fakat, hem a ivmesini x uzaklığını bilmiyoruz! x = 1. 0 m alınız. Bu problem 2 adımda olmalıdır! İlkönce, a: çözmek için 0 = (v 0)2 + 2 a(x – 0) (3) kullanınız, buna göre a = - (v 0)2∕(2 x) = - (28)2 ∕(2) = - 390 m/s 2 Bu çok büyük bir ivmedir!! (1) (2) (3) (4)

Örnek: Hava Yastığı 100 km/h = 28 m/s (60 mph) süratle giden bir araba beton duvara çarptığında sürücüyü koruyabilecek bir hava yastığı dizayn etmek istiyorsunuz. Etkili bir şekilde sürücüyü koruyacak hava yastığının hangi hızda şişmesi gerektiğini tahmin ediniz. Emniyet kemerinin kullanımı sürücüye nasıl yardım eder? Bilinen: x 0 da v 0 = 28 m/s Çarpışma sona erdiği zaman, araba durur! v=0 İstenen bilinmeyen: t. Fakat, hem a ivmesini x uzaklığını bilmiyoruz! x = 1. 0 m alınız. Bu problem 2 adımda olmalıdır! İlkönce, a: çözmek için 0 = (v 0)2 + 2 a(x – 0) (3) kullanınız, buna göre a = - (v 0)2∕(2 x) = - (28)2 ∕(2) = - 390 m/s 2 Şimdi, t yi çözmek için 0 = v 0 + at (1) Denklemden, t = (v 0) ∕a = 0. 07 s !!! (1) (2) (3) (4)

Örnek: Fren mesafesini hesaplama v = v 0 = sabit = 14 m/s t = 0. 50 s, a = 0 Not: The 2. zaman aralığı, araba yavaşlamaya başladığı ve durduğu zaman, gerçek fren zamanıdır. Durma uzaklığı, 1) Sürücünü tepki zamanına, 2) sürücünün başlangıç süratine , 3) arabanın ivmesine bağlıdır. a = - 6. 0 m/s 2 v, 14 m/s den sıfıra düşüyor

Örnek: Fren mesafesini hesaplama v = v 0 = sabit = 14 m/s t = 0. 50 s, a = 0, x = v 0 t = 7 m Not: The 2. zaman aralığı, araba yavaşlamaya başladığı ve durduğu zaman, gerçek fren zamanıdır. Durma uzaklığı, 1) Sürücünü tepki zamanına, 2) sürücünün başlangıç süratine , 3) arabanın ivmesine bağlıdır. a = - 6. 0 m/s 2 v, 14 m/s den sıfıra düşüyor

Örnek: Fren mesafesini hesaplama v = v 0 = sabit = 14 m/s t = 0. 50 s, a = 0, x = v 0 t = 7 m a = - 6. 0 m/s 2, x 0 = 7 m v, 14 m/s den zero düşüyor v 0 = 14 m/s, v = 0 Not: The 2. zaman aralığı, araba 2 = (v )2 + 2 a(x – x ) v 0 0 yavaşlamaya başladığı ve durduğu x = x 0 + [v 2 - (v 0)2]/(2 a) zaman, gerçek fren zamanıdır. x = 7 m + 16 m = 23 m Durma uzaklığı, 1) Sürücünü tepki zamanına, 2) sürücünün başlangıç süratine , 3) arabanın ivmesine bağlıdır.

Örnek: Fren mesafesi probleminin devamı v = sbt. Bu durum için Grafikler: v = v 0 + at v(t) Hız-zaman v(t) x = x 0 + v 0 t + (½)at 2 Konum-zaman x(t) x = v 0 t

Örnek: En hızlı top Bilinen: x 0 = 0, x = 3. 5 m, v 0 = 0, v = 44 m/s İstenen: a

Örnek: En hızlı top Bilinen: x 0 = 0, x = 3. 5 m, v 0 = 0, v = 44 m/s İstenen: a v 2 = (v 0)2 + 2 a (x - x 0) denklemi kullanınız. a = (½)[v 2 - (v 0)2]/(x - x 0) = 280 m/s 2 !

Örnek: 2 Hareket eden cisimler: Polis & Sürat yapan sürücü v 0 S = 150 km/sa (42 m/s) de süratlenen bir araba, duran polis arabasını (v 0 P = 0) geçiyor ve polis arabası derhal (ivmelenerek) sıcak takibe başlıyor. Sürat yapan sürücü sabit v 0 S = 42 m/s hızda (aynı zamanda polis arabasının a. P ivmesi) olduğu basit tahminleri kullanarak, polis arabası sürat yapan sürücüyü ne kadar zamanda solladığını HESAPLAYINIZ. Daha sonra, o andaki polis arabasının hızını HESAPLAYINIZ ve tahminlerin mantıklı olup olmadığına karar veriniz.

Örnek: 2 Hareket eden cisimler: Polis & Sürat yapan sürücü v 0 S = 150 km/sa (42 m/s) de süratlenen bir araba, duran polis arabasını (v 0 P = 0) geçiyor ve polis arabası derhal (ivmelenerek) sıcak takibe başlıyor. Sürat yapan sürücü sabit v 0 S = 42 m/s hızda (aynı zamanda polis arabasının a. P ivmesi) olduğu basit tahminleri kullanarak, polis arabası sürat yapan sürücüyü ne kadar zamanda solladığını HESAPLAYINIZ. Daha sonra, o andaki polis arabasının hızını HESAPLAYINIZ ve tahminlerin mantıklı olup olmadığına karar veriniz. Not! Problemi çözmeden önce, polis arabasının a. P ivmesinin bir tahminini verecek diğer problemi çözmeye ihtiyacımız var. Bunu yapmak için, polis arabasının özelliklerini bilmek zorundayız. Polis arabası durgun halden süratini 5. 0 s de 100 km/h (28 m/s) çıkarıyor. v = v 0 + a. Pt kullanarak 28 = 0 + a. P(5) yada a. P = 5. 6 m/s 2 dır. Buna göre, polis arabasının sürat yapan sürücüyü yakalama problemini çözmek için, a. P ivmesi için bu hesaplamayı kullanınız.

Problem şimdi tekrar ele alınıyor: v 0 S = 150 km/sa (42 m/s) de süratlenen bir araba, duran polis arabasını (v 0 P = 0) geçiyor ve polis arabası derhal (ivmelenerek) sıcak takibe başlıyor. Assume that sürat yapan sürücünün sabit süratte v 0 S = 42 m/s yoluna devam ettiğini ve a. P = 5. 6 m/s 2 olduğunu varsayınız. Polis arabası sürat yapan sürücüyü ne kadar zamanda solladığını HESAPLAYINIZ. Daha sonra, bu andaki polisin hızını HESAPLAYINIZ ve tahminlerin mantıklı olup olmadığına karar veriniz. . Çözüm: Sürat yapan sürücü moves at sabit süratte v 0 S = 42 m/s hareket ediyor, daha sonra t anında x. S = v 0 St uzaklığına hareket etmektedir. t aynı zamanda polis arabası x. P = (½)a. Pt 2 uzaklığına hareket etmektedir. Polis arabası sürat yapan sürücüyü yakaladığı zaman, bu iki uzaklık aynı olmalıdır. Buna göre, onları eşitliyoruz ve t yi çözüyoruz : x. S = v 0 St = x. P = (½)a. Pt 2. Bu ikinci dereceden denklemin çözümünden; Çözüm; t = 0 ve t = 15 s buluyoruz.

Aynı zamanda Problem sürati soruyor: (t = 15 s) de polis arabasının süratini HESAPLAYINIZ & tahminlerin mantıklı olup olmadığına karar veriniz. v. P = v 0 P + a. Pt denklemini kullanınız.

Aynı zamanda Problem sürati soruyor: (t = 15 s) de polis arabasının süratini HESAPLAYINIZ & tahminlerin mantıklı olup olmadığına karar veriniz. v. P = v 0 P + a. Pt denklemini kullanınız v. P = 84 m/s (300 km/h ≈ 190 mph!) verir. Bu mantıklı değil aynı zamanda çok tehlikelidir! Tahminler için, x, i t ye karşı grafiğini çizeriz. & v nin t ye karşı grafiği: Daha mantıklı v nin t karşı grafiği: ye

Örnek: Uçak Gemisi Bir jet v 0 = 140 km/h (63 m/s) hızla uçak gemisine konuyor. a) Uçak gemisinde jeti yavaşlatıp durduran kablolar yüzünden jet t = 2. 0 s durursa, (sabit kabul ediniz) ivmesini hesaplayınız. b) Jet x 0 = 0 konumunda uçak gemisinin pistine dokunursa, son konumunu hesaplayınız.

Örnek: Uçak Gemisi Bir jet v 0 = 140 km/h (63 m/s) hızla uçak gemisine konuyor. a) Uçak gemisinde jeti yavaşlatıp durduran kablolar yüzünden jet t = 2. 0 s durursa, (sabit kabul ediniz) ivmesini hesaplayınız. b) Jet, x 0 = 0 konumunda uçak gemisinin pistine dokunursa, son konumunu hesaplayınız Çözüm a) v 0 = 63 m/s, t = 2. 0 s = durma zamanı. Durduğu zaman, v = 0. v = v 0 + at = 0 denklemini kullanınız a = - (v 0/t) = - (63/2) = -31. 5 m/s 2

Örnek: Uçak Gemisi Bir jet v 0 = 140 km/h (63 m/s) hızla uçak gemisine konuyor. a) Uçak gemisinde jeti yavaşlatıp durduran kablolar yüzünden jet t = 2. 0 s durursa, (sabit kabul ediniz) ivmesini hesaplayınız. b) Jet, x 0 = 0 konumunda uçak gemisinin pistine dokunursa, son konumunu hesaplayınız. Çözüm a) v 0 = 63 m/s, t = 2. 0 s = durma zamanı. Durduğu zaman, v = 0. v = v 0 + at = 0 denklemini kullanınız a = - (v 0/t) = - (63/2) = -31. 5 m/s 2 b) x = x 0 + v 0 t + (½)at 2 denklemini kullanınız x = x 0 + v 0 t + (½)at 2 = 0 + (63)(2) + (½)(-31. 5)(2)2 x = 63 m bulunur.

Hız limitine dikkat ediniz! Problem: Büyüklüğü 41. 4 m/s sabit hızda hareket eden bir araba reklam levhasının arkasına gizlenen bir motorsikletli eyalet polisini geçiyor. Süratlenen araba reklam levhasını geçtikten bir saniye sonra, eyalet polisi arabayı yakalamak için 3. 90 m/s 2 sabit ivmeyle yola koyuluyor. Eyalet polisi arabayı ne kadar zamanda sollar?

Analizden İntegral Hesaplamaları • Yerdeğiştirme hız zaman eğrisi altında kalana eşittir. • Toplamın limit belirli integraldir

Kinematik Denklemler Genel Matematik Formu

Kinematik Denklemler – Sabit ivmeli Matematik Formu • nin integral formu verir. • verir. nin integral formu,

Serbest Düşen Cisimler

Serbest Düşen Cisimler • Düzgün hızlanan hareketin yaygın özel durumu : “SERBEST DÜŞME” Yerçekimin etkisiyle düşen cisimler. Hava sürtünmesini ihmal ediniz. Bir boyutlu düzgün ivmelenen hareketin denklemleri (göreceğimiz gibi, notasyonda bazı değişiklikler ile)

Yeryüzüne yakın, tüm cisimler yerçekiminden dolayı yaklaşık olarak aynı ivmeye maruz kalır. Bu, sabit ivmeli harekete en yaygın örneklerden birisidir. Bu, hava direncinin olduğu bir çevrede deneme ile anlatmak aldatıcı olabilmesine rağmen, hava sürtünmesinin yokluğunda, tüm cisimler aynı ivme ile düşerler.

• Deney: Düşen Cisimler – Top & hafif kağıt parçası aynı anda bırakılıyor. Deney buruşturulmuş kağıt ile tekrarlanıyor.

• Deney: – Kaya & tüy havada aynı anda bıraklıyor. Deneyi vakumda tekrarlayınız. Yeryüzünde yerçekiminden dolayı ivme Yaklaşık 9. 80 m/s 2 dir. Yeryüzündeki bir bölgede ve hava sürtünmesinin olmadığı yerde, tüm cisimler aynı sabit ivme ile düşerler.

• Deney düşen cisimlerin ivmesini (hava sürtünmesi ihmal edilecek) daima yaklaşık olarak aynıdır ağır yada hafif olması mesele değil. • Yerçekiminden dolayı ivmenin büyüklüğü, a g g = 9. 8 m/s 2 (yaklaşık olarak!)

• Düşen cisimlerin ivmesi daima aynıdır, hafif yada ağır olması önemli değil. • Yerçekimi ivmesi, g = 9. 8 m/s 2 • İlk kez Galileo Galilei ispat etmiştir Bir efsane: O, cismi eğik piza kulesinden cisimleri bıraktı.

• Yer çekimi ivmesini büyüklüğü: g = 9. 8 m/s 2 (yaklaşık olarak!) • Yerçekimi ivmesi dünya üzerinde enlem ve boylama göre azıcık değişir:

Yaygın bir yanlış yorum!

Bir boyutlu vektör Yerçekimsel İvmenin Kinematik Denklemlerde Cebirsel işaret (+ yada - ? ) • Not: İşlemimiz diğer kitaplarda çok az farklıdır fakat eşdeğerdir! • Düşen cisimlerin hareketi ile işlem yapmak için, daha önce çıkardığımız aynı denklemleri kullanacağız fakat notasyonları birazcık değiştireceğiz: a yerine g = 9. 8 m FAKAT denklemlerde önüne +a yada -a işareti koyacağız! • Ekseriya, düşey hareketlerde y doğrultusunu dikkate alacağız ve & buna göre x yerine y ve x 0 yerine y 0 (çoğu kez y 0 = 0) alacağız

NOT!!! Her ne zaman g sembolünü yazalım, g sembolü DAİMA POSİTİF sayısal değeri 9. 8 m/s 2 anlamına gelir!! ASLA negatif değildir!!! Bir boyutlu yerçekimsel ivme VEKTÖRün (+ yada -) işareti Denklemlerde dikkate alınır.

1 boyutlu denklemlerde g nin İşareti • g = 9. 8 m/s 2 nin büyüklüğü (ölçüsü) (POSİTİF!) – Fakat, ivme (1 boyutlu) a dır 2 mümkün boyutlu VEKTÖR. – Bunlara + ve - deyiniz – Bunun yanında, + ve – yönü KEYFİ ve BİZE GÖREDİR! – + y yukarı ve - y aşağı olması doğal gözükebilir fakat biz bunların tersini de istediğimiz gibi seçebiliriz. Buna göre, denklemlerde g seçimimize göre a nın önüne +a yada -a – işareti koyabiliriz.

Hızın ve İvmenin doğrultusu • Serbest düşen cisimler DAİMA ivmesi AŞAĞI YÖNDE dir. • Başlangıç v 0 hızı ile yukarı doğru fırlatılan cisimler için aynı denklemleri kullanırız. • Bir cisim yukarıda bir noktada duruncaya kadar yükselir ve daha sonra tekrar geri döner. İvme vektörü g daima aşağı yöndedir. Uçuşun ilk yarısında, hız YUKARI yöndedir. Uçuşun ilk kısmında, hız & ivme zıt yöndedir!

HIZ & İVME AYNI DOĞRULTUDA OLMASINA GEREK YOKTUR!

Serbest düşmede Denklemler • + y “yukarı” yazarak v = v 0 - gt (1) y = y 0 + v 0 t - (½)gt 2 (2) (v)2 = (v 0)2 - 2 g(y - y 0) (3) vort = (½)(v + v 0) (4) g = 9. 8 m/s 2 Çoğu kez, y 0 = 0. Bazen v 0 = 0

Serbest düşmede Denklemler • - y “aşağı” yazarak v = v 0 + gt (1) y = y 0 + v 0 t + (½)gt 2 (2) (v)2 = (v 0)2 + 2 g(y - y 0) (3) vort = (½)(v + v 0) (4) g = 9. 8 m/s 2 Çoğu kez, y 0 = 0. Bazen v 0 = 0

Serbest Düşmeye Örnekler

Örnek Bir kuleden düşme (v 0 = 0) Not! AŞAĞI YÖNÜ y positif alınız! v = at y = (½)at 2 a = g = 9. 8 m/s 2

Örnek: Bir kuleden aşağıya fırlatma Bir top v 0 = 3. 0 m/s başlangıç hızıyla aşağıya doğru fırlatılıyor (a) t = 1. 0 s & 2. 0 s sonra konum? y = v 0 t + (½)at 2 t = 1. 0 s; y = (3)(1) + (½)(9. 8)(1)2 = 7. 9 m t = 2. 0 s ; y = (3)(2) + (½)(9. 8)(2)2 = 25. 6 m Eğik Piza kulesi

Örnek: Bir kuleden aşağıya fırlatma Bir top v 0 = 3. 0 m/s başlangıç hızıyla aşağıya doğru fırlatılıyor (a) t = 1. 0 s & 2. 0 s sonra konum? y = v 0 t + (½)at 2 t = 1. 0 s; y = (3)(1) + (½)(9. 8)(1)2 = 7. 9 m t = 2. 0 s ; y = (3)(2) + (½)(9. 8)(2)2 = 25. 6 m (b) t = 1. 0 s & 2. 0 s sonra sürat? v = v 0 + at t = 1. 0 s; v = 3 + (9. 8)(1) = 12. 8 m/s Eğik Piza kulesi t = 2. 0 s ; v = 3 + (9. 8)(2) = 22. 6 m/s Serbest bırakılan topun süratleri kıyaslayın.

Yararlı, Ayrıntılı Örnek Burada v = 0 fakat a = -g Bir kişi v 0 = 15. 0 m/s başlangıç hızıyla topu yukarı doğru fırlatıyor Sorular: Topun zamanı = (½) dönüş Zamanı a. Topun zamanı? b. Dönüş zamanı? c. Maksimum yükseklik? d. Başlangıç noktasına geri geldiği zaman hızı nedir? e. y = 8. 0 m yüksekliği çıkış zamanı? v. C = -v. A (= -v 0) v. A = v 0 = 15 m/s choose y as positive upward a = -g = - 9. 8 m/s 2

Örnek: Top yukarı doğru fırlatılıyor; ikinci derece denklem. Top v 0 = 15. 0 m/s başlangıç sürati ile fırlatılıyor, kişinin elinin üzerinde y = 8. 0 m bir noktadan t geçme süresini hesaplayınız.

Örnek: Bir top yamacın kenarından yukarıya doğru fırlatılıyor Bir top v 0 = 15. 0 m/s başlangıç hızıyla yukarı fırlatılıyor, kişi yamacın kenarında duruyor, yamacın yerden yüksekliği 50. 0 m dir. Hesaplama: a. Topun yamacın tabanına ulaşması için geçen süre nedir? b. Topun toplam aldığı yol ne kadardır?

Örnek: Acemi için kötü bir atış değil! Bir taş binanın tepesinden A noktasından v 0 = 19. 2 m/s başlangıç hızıyla yukarı doğru fırlatılıyor. Şekilde görüldüğü gibi, binanın yüksekliği H = 49. 8 m dir, & taş çatının kenarını sıyırarak aşağıya doğru hareket ediyor. Hesaplayınız: a) Taşın maksimum yüksekliğe çıkış zamanı nedir? . b) Çatının tepesinden itibaren maksimum yükseklik nedir? c) Taşın kişinin eline düşmesi için geçen süre nedir? d) Taşın kişine eline döndüğü zamanki hızı nedir? e) t = 5 s deki hızı ve konumu nedir?