Blm 1 Saysal Sistemler ve Bilgi Gsterimi Kitap

Bölüm 1 – Sayısal Sistemler ve Bilgi Gösterimi Kitap: Logic and Computer Design Fundamentals Charles Kime & Thomas Kaminski © 2008 Pearson Education

Genel Bakış § § § Dijital sistemler, bilgisayarlar ve ötesi Bilgi gösterimi Sayı sistemleri [binary, octal ve hexadecimal] Aritmetik operasyonlar Taban (base) çevrimleri Ondalık (decimal) kodlar [BCD (binary coded decimal)] § Alfanümerik kodlar § Eşlik (parity) biti § Gray Kodlar 2

SAYISAL & BİLGİSAYAR SİSTEMLERİSayısal Sistem § Ayrık (discrete) bilgi 0 ve 1’lerden oluşur, dijitaldir. § Bir dizi ayrık bilgi ‘girdi’ olarak gelir, içeride de sistem ayrık bilgi içeren bir durumdadır ve bir dizi ayrık bilgi ‘çıktı’ olarak üretilir. Girdi Ayrık/Dijital Bilgi İşlem Sistemi Çıktı Sistem Durumu (System State) 3

Sayısal Sistem Tipleri § Durum (state) kaydı tutmayanlar • Tümleşik (combinational) lojik devre • Output = Function(Input) § Durum kaydı tutma • Zamanı geldikçe sistem durumu güncellenir => Senkron/eşzamanlı (synchronous) sıralı sistem • Herhangi bir an sistem durumu güncellenir =>Eşzamansız (asynchronous) sıralı sistem • State = Function (State, Input) • Output = Function (State) or Function (State, Input) 4

Sayısal Sistem Örneği: Bir sayısal sayaç (örn: odometer): Arttır Sıfırla 0 0 1 3 5 6 4 Girdiler: Arttır, Sıfırla Çıktılar: Sayıları gösteren ekran Durum: Sayılarla tutulan ‘Değer’ Senkron mu? Asenkron mu? 5

Dijital Bilgisayar Örneği Bellek Kontrol ünitesi CPU Girdiler: Klavye, fare, kablosuz ağ, mikrofon Veri hattı Giriş / Çıkış Çıktılar: Led ekran, kablosuz ağ, hoparlörler Senkron mu? Asenkron mu? 6

Daha Ötesi – Gömülü Sistemler § Başka ürünler içindeki bilgisayar § Gömülü sistemlere örnekler • Mikro bilgisayarlar • Mikro kontrolcüler • Dijital sinyal işlemcileri • Sensörler § Ardunio (~100 TL) 7

Gömülü Sistemler § Gömülü sistem uygulamalarına örnekler • Mobil telefonlar • Otomobiller • Video oyunları • Fotokopi makineleri • Bulaşık makineleri • Tüm düz panel televizyonlar • GPS cihazları 8

BİLGİ GÖSTERİMİ - Sinyaller § Fiziksel (elektriksel) değerlerle temsil edilen bilgi değişkenleri vardır. § Sayısal sistemler için, ayrık değerler taşıyan değişkenler kullanılır. § Sayısal Sistemler de en yaygını iki seviyedir (sıfırlarbirler) yani ikili (binary) kodlama. § Binary değerleri nasıl isimlendirebiliriz ? : • • 0 – 1 sayıları Yanlış – Doğru (False/True) kelimeleri (sembol olarak: F-T) Düşük – Yüksek (Low/High) kelimeleri (sembol olarak: L-H) Açık – Kapalı (On/Off) kelimeleri. § Binary değerler fiziksel aralık değerleriyle de gösterilebilirler. 9

Sinyal Örneği – Fiziksel Değer: Voltaj Eşik Alanı 10

Zaman ve Sinyal Örneği Zaman Analog Dijital Asenkron Örn: USB Senkron Değer ve zaman sürekli Değer ayrık, zamanda sürekli Değer ve zaman ayrık 11

Binary Değerler: Diğer Fiziksel Kayıtlar § 0 ve 1’ı her ortamda farklı saklarız • CPU Voltaj • Disk Manyetik Alanın Yönü • CD Yüzey Delikleri • Dynamic RAM Elektriksel Şarj 12

SAYI SİSTEMLERİ – Gösterimler § Tabanlar pozitif ve konuma bağlı anlamı var § r tabanlı bir sayı şu şekilde karakter dizisi ile gösterilir: An - 1 An - 2 … A 1 A 0. A- 1 A- 2 … A- m + 1 A- m burada 0 £ Ai < r ve ‘nokta’ dönüm noktasıdır. § Karakter dizisi aşağıdaki seriyi ifade eder: (å i=n-1 (Sayı)r = i=0 Ai r )+( å j=-1 i j=-m Aj r) j (Tamsayı Kısmı) + (Kesir Kısmı) 13

SAYI SİSTEMLERİ – Örnekler Taban (base) Sayılar 0 1 2 3 Tabanın 4 Kuvvetleri 5 -1 -2 -3 -4 -5 Genel Ondalık Binary r 10 2 0 => r - 1 0 => 9 0 => 1 r 0 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r -1 r -2 r -3 r -4 r -5 1 10 1000 10, 000 100, 000 0. 1 0. 001 0. 00001 1 2 4 8 16 32 0. 5 0. 25 0. 125 0. 0625 0. 03125 14

2’nin Özel Katları § 210 (1024) Kilo, "K" § 220 (1, 048, 576) Mega, "M" § 230 (1, 073, 741, 824) Giga, "G" § 240 (1, 099, 511, 627, 776 ) Tera, “T" 15

2’nin Özel Katları § Örnek: 224 bilgisayar sistemlerinde hangi sayıya denk gelir? • 224 = 24+20 = 24 x 220 = 16 MB § Örnek: 384 KB en az kaç bitlik binary sayı ile ifade edilebilir? • 384 x 210 < 512 x 210 = 29 x 210 = 219 • Veya log 2(384 x 1024) = 18, 58 < 19 • En az 19 bit ile. 16

ARİTMETİK OPERASYONLAR - Göstereceğimiz Binary Aritmetikleri § Eldeli (carry) Tek Bit Toplama § Çok Bitli Toplama § Alacaklı (borrow) Tek Bit Çıkartma § Çok Bitli Çıkartma § Çarpma § BCD Toplama 17

Eldeli (carry) Tek Bit Toplama 18

Çok Bitli Toplama § Bunu iki adet çok bitli binary sayıda da aynen uygulayabiliriz: Eldeler 0 0 Verilen 01100 10110 Eklenecek +10001 +10111 Toplam § Not: Verilen elde hep en sağ / en az önemli (least significant) bite eklenir. 19

Alacaklı (borrow) Tek Bit Çıkartma § (X, Y) olarak iki sayı, (Z) ile de alacak rakamı veriliyor. Fark (S) ve alacak (B)’leri biz hesaplayalım: Z 0 0 0 § Alacak X 0 0 1 (Z) 0 iken: -Y -0 -0 -1 BS 00 11 01 Z 1 1 1 § Alacak X 0 0 1 (Z) 1 iken: -Y -0 -0 -1 BS 11 10 00 0 1 -1 00 1 1 -1 11 20

Çok Bitli Çıkartma § Çok bitli iki sayının çıkartılması: Alacaklar Verilen Çıkartılacak Fark 0 0 10110 - 10011 § Not: Alacak ta en sağa yazılır. Eğer Çıkartılacak > Verilen ise yerleri değiştirilip. Sonucun başına eksi konulur 21

İkili Çarpma 22

SAYI ÇEVRİMLERİ 23

TEMEL ÇEVRİMLERİ – 2’nin Pozitif Katları § Çevrim için yararlı bir tablo Üst 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Değer 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Üst 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Değer 2, 048 4, 096 8, 192 16, 384 32, 768 65, 536 131, 072 262, 144 524, 288 1, 048, 576 2, 097, 152 24

En Sık Kullanılan Tabanlar İsim Taban Rakamlar Binary 2 0, 1 Sekizlik-Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Onluk-Decimal 10 Onaltılık -Hexadecimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F § Onluk yapıya 6 harf eklenerek hexadecimal yapı elde edilmiştir. 25

Farklı Tabanlarda Sayılar § Akılda tutulması gereken bir tablo Decimal (Base 10) 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 Binary (Base 2) 000001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 Octal (Base 8) 00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Hexadecimal (Base 16) 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 A 0 B 0 C 0 D 0 E 0 F 10 26

Tabanlar Arası Çevrim § Bir tabandan diğerine çevrim için: 1) Tamsayı kısmını çevirin 2) Kesir kısmını çevirin 3) İki parçayı bir nokta ile birleştirin 27

Çevrim Detayları § Tamsayı kısmını çevirmek için: Tamsayı kısmını sürekli yeni tabana bölerek kalanları kaydedin. Bulduğunuz kalanları ters sıralı olarak yazınız. Eğer yeni taban > 10 ise, kalan > 10 olduğunda A, B, C kullanın. § Kesir kısmını çevirmek için: Kesir kısmını sürekli yeni tabanla çarparak tamsayı kısımları kaydedin. Kesir kısmını yeni işlemde kullanın. Bulduğunuz tamsayıları noktadan sonra sıralı olarak yazınız. Eğer yeni taban > 10 ise, tamsayı > 10 olduğunda A, B, C kullanın. 28

Ondalık – Binary Çevrimi § Metod 1 (Tamsayı kısmı) • Sayıdan küçük 2 nin en büyük katını verilen sayıdan çıkartın, elinizde pozitif bir sayı kalmalı. Kullandığınız 2 nin katını kaydedin. • İşlemi kalan sıfır olana dek tekrarlayın. • Bulduğunuz 2 nin katlarını ifade eden pozisyonlara 1, diğer pozisyonlara sıfır koyun. 29

Ondalık – Binary Çevrimi § Örnek: 62510 N 2 çevirin § 512 (kalan: 113) + 64 (49) + 32 (17) + 16 + 1 § Sonuç: 9 625 – 512 = 113 => 2 9’uncu pozisyon 6 113 – 64 = 49 => 2 5 49 – 32 = 17 => 2 4 17 – 16 = 1 => 2 0 1 – 1 = 0 => 2 Bulunan pozisyonlara 1’ler, gerisine 0’lar konulur. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 30

Ondalık – Binary Çevrimi § Metod 2 (Tamsayı kısmı) • Ondalık sayı sürekli 2’ye bölünür ve en son 1 değerine gelince işlem biter ve bu 1 ile, kalan sayılar tersten yazılarak binary değer elde edilir. 625 | 2 § Örnek: 62510 N 2 çevirin § Sonuç: 10011100012 § Tersten yazıldığını unutmayın… 624 312 | 2 1 312 156 | 2 0 156 78 | 2 0 78 39 | 2 0 38 19 | 2 1 18 9 | 2 1 8 4|2 1 4 2|2 0 2 1 0 31

Ondalık – Binary Çevrimi § Metod 3 (Kesir kısmı) • Ondalık sayı sürekli 2 ile çarpılır, virgülden öncesi kaydedilir ve sıfırlanır, en son 1 değerine gelince işlem biter. • Bulunan sayılar aynı sırada yazılarak binary değer elde edilir. • 0. 6875 Taban 2’ye çevrilir. = 0. 10112 0. 6875*2 = 1. 375 1 0. 375*2 = 0. 75 0 0. 75*2 = 1. 5 1 0. 5*2 = 1 1 32

Ek Durumlar- Kesir Kısımları § Kesir kısmı tekrarlı çarpılırken 0 olabilir. § Genelde sıfır oluşmaz bir sürü rakam kaydederiz ama işlem hiç bitmez. § Örnek Problem: 0. 6510 N 2 çevirelim • 0. 65 = 0. 1010011001 … • Kesir kısmı her 4 adımda bir 1001 verir, hem de sonsuza dek! § Çözüm: Noktadan sonra belli bir adette rakam elde edilince ya kesilir, ya da yuvarlanır. 33

Örnek: 46. 687510 Taban 2 § Yöntem • 46 Taban 2’ye çevrilir. = 1011102 4610 = 46(32) + 14(8) + 6(4) + 2(2) + 0 • 0. 6875 Taban 2’ye çevrilir. = 0. 10112 § 2 önceki slaytta bulmuştuk. • Sonuçlar nokta ile birleştirilir. 46. 687510 = 101110. 10112 34

Çevrimi Test Etmek § Önceki 46. 687510 çevriminin testi tersten çevrimdir: 1011102 = 1· 32 + 0· 16 +1· 8 +1· 4 + 1· 2 +0· 1 = 32 + 8 + 4 + 2 = 46 0. 10112 = 1/2 + 1/8 + 1/16 = 0. 5000 + 0. 1250 + 0. 0625 = 0. 6875 35

Binary – Ondalık Çevrimi § S (rakam × 2 nin ilgili katı) formu kullanılır. § Örnek: 110102 N 10 çevirin: (16+8+2 = 26) 36

Neden Tekrarlı Bölme ve Çarpma Yaptık? § Slayt 13’deki seri açılımın tamsayı kısmını r temeline bölelim. Bölmeden kalan A 0 olacaktır. § Kalanı sayı dizisinin sonundan silip, işlemi tekrarlarsak kalan A 1 olacaktır… § Slayt 13’deki seri açılımın kesir kısmını r temeli ile çarpalım. Çarpımın tamsayı kısmı A-1 olacaktır. § Tamsayı kısmı silip, işlemleri tekrarlarsak tamsayı kısmı A-2 olacaktır… § Bu r >1 olan tüm tabanlarda geçerlidir. 37

Sekizlik (Onaltılık) Binary ve Tersi § Sekizlik (Onaltılık) Binary : • Noktanın her iki yanında da sekizlikten bir rakam alınır 3 binary rakam (onaltılıktan bir rakam alınır 4 binary rakam) yazılır. Bu işlem tekrarlanır § Binary Sekizlik (Onaltılık) : • Noktanın her iki yanında da binary rakamlar üçlü (veya dörtlü) bit gruplarına ayrılır gerekirse başa/sona sıfırlar eklenir. • Her üçlü bit grubu sekizlik (octal) tabana (dörtlü bit grubu onaltılık (hexadecimal) tabana) çevrilir. 38

Binary Yardımıyla Sekizlik Onaltılık Çevrimi § Sekizlik (octal) binary çevrilir. § Bitler dörtlü gruplara ayrılır ve gruplar onaltılık sayıya çevrilir. § Örnek: Octal Binary Hexadecimal (6 (sola ekle) 3 5. 1 7 7)8 110 | 011 | 101. 001 | 111 0001 | 1101. 0011 | 1111 | 1000 (sağa ekle) (1 9 D. 3 F 8 ) 16 § Çok kolay oluyor değil mi? 39

Çevrimlerle İlgili Son Notlar § Dikkat 268 binary çevriminde 2’ye bölerek yapılan yöntem hatalı sonuç verir. § Çünkü 268 = 2*8+6 = 2210 ‘dur aslında. § Örnek (10)8 / (2)10 = (4) 8 = 5 değil ! § Ondalığa çevirilince 2’ye bölme yöntemi çalışır. § Zaten… (28 : 0102 ve 68 : 1102) daha kolay değil mi? Birleştirince: 268 = 010 1102 § Niye 2’ye bölme yöntemine yöneliyorsunuz ki? • İnat etmeyin… 40

Çevrimlerle İlgili Son Notlar § Dikkatli olursanız bu aritmetik işlemi diğer tabanlarda da kullanabilirsiniz: § Örnek: Binary aritmetik aracılığıyla 1011102 Base 10 çevrimi : Adım 1 101110 / 1010 = 100 kalan 0110 Adım 2 100 / 1010 = 0 kalan 0100 Bulunan rakamlar 01002 | 01102 veya 4 6 10 41

Binary Sayılar ve Binary Kodlama § Gösterim esnekliği • Aşağıdaki kısıtlar dahilinde, herhangi bir binary kombinasyonunu (kod kelimesi olarak anılır) herbir bireyi ayrı kodlanabilen bir veri setine atanabilir. § Bilgi tipleri • Nümerik § İhtiyaç olunan veri aralığını temsil eder. § Üzerinde kolay aritmetik işlemler tanımlanabilir. § Binary sayılarla sıkı ilişkisi vardır. • Nümerik olmayan § Üzerinde tanımlı aritmetik işlemler olmadığından daha esnek bir yapıdır. § Binary sayılara bağlı değildir. 42

Nümerik Olmayan Binary Kodlar § Verilen n binary rakamla (bitler olarak anılır), bir binary kod 2 n sayısına kadar elemanı temsil edebilir. § Örneğin: Binary Sayı Renk 000 Kırmızı Gökkuşağının 001 Turuncu yedi rengi için 010 Sarı binary kodlar 011 Yeşil § Kod 100 101 Mavi 110 Çivit kullanılmamış Mor 111 43

Ne Kadar Bit Gerekli? § M adet eleman binary kodla ifade edilmek isteniyorsa, şu ilişki kurulursa, minimum n adet bit gereklidir: 2 n ³ M > 2(n – 1) n = log 2 M burada x bir tavan işlemidir ki bu işlem x ‘e eşit veya ondan büyük en küçük tamsayıdır. § Örnek: Onluk sistem için kaç bitlik binary kod gerekir? 44

Temsil Edilen Eleman Sayısı § Taban r ‘de n basamaklı yapı, rn ayrı elemanı temsil edebilir. § Tabi m < rn olan m eleman da olabilir. § Örnekler: • Taban r = 2 ‘de n = 2 basamakla 4 eleman temsil edilebilir: (00, 01, 10, 11). • Aynı 4 elemanı taban r = 2 ‘de n = 4 basamakta: (0001, 0010, 0100, 1000). • Bu ikinci koda "one hot" diyorlarmış. 45

ONDALIK KODLAR- Ondalık Sayılar İçin Binary Kodlar § 4 bitten oluşan 16 binary numaradan 10 farklı eleman seçmenin 8, 000’nin üzerinde yolu var. Bazıları: Ondalık 8, 4, 2, 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 Excess 3 8, 4, -2, -1 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 0000 0111 0110 0101 0100 1011 1010 1001 1000 1111 Gray 0000 0001 0010 0111 0100 1101 46

Binary Coded Decimal (BCD) § § § § BCD kod 8, 4, 2, 1 kodlamadır. 8, 4, 2 ve 1 ağırlıklardır. BCD ağırlıklandırılmış koddur. Basitçe kodların 0’dan 9’a kadar olanı kullanılmış. Bir sayı öncekilerden elde edilebilir. Örnek: 1001 (9) = 1000 (8) + 0001 (1) Kaç hatalı (invalid) kod kelimesi vardır? Hatalı kod kelimesi nedir ki? 47

Excess 3 ve 8, 4, – 2, – 1 Kod Ondalık Excess 3 8, 4, – 2, – 1 0 0011 0000 1 0100 0111 2 0101 0110 3 0110 0101 4 0111 0100 5 1000 1011 6 1001 1010 7 1010 1001 8 1011 1000 9 1100 1111 § İki kodda da ilginç dağılımlar var… 48

Dikkat: Çevrim mi, Kodlama mı? § Ondalık sayının binary’e çevirimiyle aynı sayının BINARY CODE yapılmışını karıştırmayın… § 1310 = 11012 (Bu çevrimdir) § 13 0001|0011 (Bu kodlamadır) 49

BCD Aritmetik § BCD kodlamayla verilen iki sayıyı binary işlemle toplarken: 8 1000 Sekiz +5 +0101 Artı 5 13 1101 13 eder (> 9) § Not: Eğer sonuç 9’dan büyükse, iki basamakta gösterilmelidir. § Düzeltmek için, 6 eklemek gerekir. 8 1000 Sekiz +5 +0101 Artı 5 13 1101 13 eder (> 9) +0110 o halde 6 ekleriz elde = 1 0011 3 kalır + elde 0001 | 0011 Sonuç iki basamak § Eğer toplam > 9 ise sol koda bir eklenir. 50

BCD Toplama Örnekleri § 2905 BCD + 1897 BCD işlemini eldeleri de göstererek yapınız. 0001 1000 1001 + 0010 1001 0000 0 0111 0101 51

ALFANÜMERİK KODLAR - ASCII Karakter Kodları § American Standard Code for Information Interchange (Kitapta Tablo 1 -4) § Bu kod karakter temelli veri gönderimi için en popüler kodlamadır. 7 -biti aktif kullanır: • 94 grafik yazma karakterleri. • 34 yazılamayan karakter. § Bazı yazılamayan karakterler text formatı amaçlı kullanılır • Örn: BS = Backspace, CR = carriage return § Diğer yazılamayan karakterler de özel amaçlarla kullanılır. 52

ASCII Özellikleri § ASCII ‘de bazı enteresan özellikler vardır: § 0 ‘dan 9 ‘a değerler Hexadecimal olarak (30)16 (39)16 § Büyük harfler A-Z (41)16 (5 A)16 § Küçük harfler a-z (61)16 (7 A)16 § İngilizce’de küçük ve büyük harf çevrimi için 32 çıkartmak/toplamak veya 6. ıncı biti tersine çevirmek yeterlidir. § Harf XOR (0010 0000)2 (= XOR 32) 53

EŞLİK (PARITY) BIT : Hata Tespit Kodları § Fazlalık kod (redundancy) ekstra bitlerle yapılır, hataları tespit etmek, bazen de düzelmek için kod kelimesinin bitlerine eşlik ederler. § Fazlalık kodun en basiti parity’dir, kod kelimesinin sonuna eklenen bir bittir. § 0 veya 1 yapılarak kelime içindeki bitlerin tek (odd) veya çift (even) olması sağlanır. • Odd parity, even parity teknikleri. § Parity tüm tek-bit hatalarını tespit ederken, bazı çoklu-bit hatalarını da bulabilir. 54

4 -Bit Parity Kod Örneği § Aşağıdaki tabloyu doldurunuz: Çift Eşlik Mesaj ve Eşlik biti 000 001 010 011 100 101 110 111 - Tek Eşlik Mesaj ve Eşlik biti 000 001 010 011 100 101 110 111 - § Çift eşlik kod kelimesi "1111" ve Tek eşlik kod kelimesi "1110" aslında aynı 3 bitlik bilgiyi kodlarlar. 55

GRAY KOD – Ondalık 8, 4, 2, 1 Gray 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0000 0001 0010 0111 0100 1101 § Peş peşe gelen ondalık sayıların Gray kodlarına dikkat ettiniz mi? • Sadece tek bit değişir 56

Optik Şaft Kodlayıcı § Bu kodlamanın anlamı ne olabilir? § Gray şaftında ani atlamalar yok. 111 000 100 000 B 1 110 001 B 2 010 101 100 011 (a) Binary Code for Positions 0 through 7 101 111 001 G 0 G 1 G 2 011 110 010 (b) Gray Code for Positions 0 through 7 57

Şaft Kodlayıcı (devamı) § Şaft kodlayıcı nasıl çalışır? § Binary 3 ve 4 (011 / 100) arasında bir pozisyonda pek çok dişli değişmez mi? § Bu bir problem oluşturur mu? 58

Şaft Kodlayıcı (devamı) § Gray kodlamada 3 ve 4 (011 / 100) arasında bir pozisyonda ne olur? § Bu bir problem oluşturur mu? § Sekizli kodlamanın tüm durumları için Gray kod düzgün sonuç verir mi? 59

UNICODE § UNICODE , ASCII kodlarını 65, 536 evrensel karakter kodlarına genişletmiştir • Dünya dillerinin karakterlerini içerir • Modern tüm uygulamalar destekler • 2 byte (16 -bit) kod kelimeleri içerir 60

TABAN ÇEVRİM ÖRNEKLERİ 61

Olası Çevrimler § Sadece 2, 8, 10 ve 16 tabanlı bakarsak. § Tümünde ondalık ve kesir kısımları da olsun. 62

2 8 ve 2 16 çevrim tablosu § 0000 – 0 1000 - 8 0001 - 1 1001 - 9 0010 – 2 1010 – a (10) 0011 – 3 1011 - b (11) 0100 – 4 1100 - c (12) 0101 – 5 1101 - d (13) 0110 – 6 1110 - e (14) 0111 – 7 1111 – f (15) § İlk kolon (başında sıfır olmadan) 8’li (octal) için de geçerlidir. 63

2 8 Çevrimi § Sayı (1011. 01011)2 olsun… § (001)(011). (010)(110) altı çizili olanları ekleyerek üçlü olmalarını sağlarız. • Mutlaka virgülden uzak tarafa eklenir • Tamsayı kısımda sola en başa, • Ondalık kısımda sağda en sona § (1)(3). (2)(6) = (13. 26)8 64

2 10 Çevrimi § Sayı (1011. 01011)2 olsun… § (1*23+0*22+1*21+1*20). (0*2 -1+1*2 -2+0*2 -3+1*2 -4+1*2 -5) § Binary sayıları 2 x ’lerden hangilerini alacağımızı belirlemekte kullanırız. § (8+2+1). (1/4+1/16+1/32) = (11. 34375)10 65

2 16 Çevrimi § Sayı (1011. 01011)2 olsun… Bu örnekte solda eke gerek yok. Zaten bir dörtlü grup var § (0000)(1011). (0101)(1000) altı çizili olanları ekleyerek dörtlü olmalarını sağlarız. • Mutlaka virgülden uzak tarafa eklenir • Tamsayı kısımda sola en başa, bunda gereksiz. • Ondalık kısımda sağda en sola § ()(11). (5)(8) = (b. 58)16 66

8 2 Çevrimi § Sayı (72. 53)8 olsun… § Tablodan bakılarak çevrilebilir. § Ya da ezberlenir, 8 rakam sonuçta. § (111)(010). (101)(011) § (11101011)2 67

8 10 Çevrimi § Sayı (72. 53)8 olsun… § (7*81+2*80). (5*8 -1+3*8 -2) § Verilen sekizli sayıları 8 x ’lerden hangilerini alacağımızı belirlemekte kullanırız. § (7*8+2*1). (5/8+3/64) = (58. 671875)10 § Tamsayı kısmı küçülür, ondalık kısmı büyür çünkü taban büyüdü… 68

8 16 Çevrimi § § Sayı (72. 53)8 olsun… Önce binary’e çevrilir, sonra 16 tabanına. (111)(010). (101)(011) idi. (0011)(1010)(1100) altı çizili olanları ekleyerek dörtlü olmalarını sağlarız. • Tamsayı kısımda sola en başa. • Ondalık kısımda sağda en sona § (3)(10)(12) = (3 a. ac)16 69

10 2 Çevrimi § Sayı (102. 87)10 olsun… § Önce tamsayı kısmını çevirelim: • 64 (kalan 38)+32 • 26 + 2 5 + 2 2 + 2 1 • (1100110)2 (kalan 6)+4+2 § Ondalık kısmı sürekli 2 ile çarpılır, virgülden öncekiler alınır. • (. 87*2 = 1. 74), (. 74*2 = 1. 48), (. 48*2 = 0. 96), (. 96*2 = 1. 92), (. 92*2 = 1. 84), (. 84*2 = 1. 68), (. 68*2 = 1. 36), (. 36*2 = 0. 72) = (. 1101111)2 (1100110. 1101111)2 70

10 8 Çevrimi § Sayı (102. 87)10 olsun… § 10 2 sonra da 2 8 çevrim daha kolaydır. = (1100110. 1101111)2 idi. § Üçlü gruplar, tablodan bakarız. =(001)(100)(110)(111)(100)2 § Sonuç: (1)(4)(6). (6)(7)(4)8 = (146. 674)8 § Tamsayı kısmı büyür, ondalık kısmı küçülür çünkü taban küçüldü… 71

10 16 Çevrimi § Sayı (102. 87)10 olsun… § 10 2 sonra da 2 16 çevrim daha kolaydır. = (1100110. 1101111)2 idi. § Dörtlü gruplar, tablodan bakarız. = (0110). (1101)(1110)2 § Sonuç: = (6)(6). (d)(e)8 = (66. de)16 § Tamsayı kısmı küçülür, ondalık kısmı büyür çünkü taban büyüdü… 72

16 2 Çevrimi § Sayı (1 f. a 2)16 olsun… § Tablodan bakılarak çevrilebilir. § Ya da ezberlenir. § (0001)(1111). (1010)(0010) § (00011111. 10100010)2 73

16 8 Çevrimi § Sayı (1 f. a 2)16 olsun… § 16 2 sonra da 2 8 çevrim daha kolaydır. = (00011111. 10100010)2 idi. § Üçlü gruplar, tablodan bakarız. = (011)(111). (101)(000)(100)2 § Sonuç: = (3)(7). (5)(0)(4)8 = (37. 504)8 § Tamsayı kısmı büyür, ondalık kısmı küçülür çünkü taban küçüldü… 74

16 10 Çevrimi § Sayı (1 f. a 2)16 olsun… § (1*161+15*160). (10*16 -1+2*16 -2) § Verilen onaltılı sayıları 16 x ’lerden hangilerini alacağımızı belirlemekte kullanırız. § (16+15). (10/16+2/256) = (31. 6328125)10 § Tamsayı kısmı büyür, ondalık kısmı küçülür çünkü taban küçüldü… 75