Blaski i cienie formalizmw w rachunku prawdopodobiestwa Andrzej

Blaski i cienie formalizmów w rachunku prawdopodobieństwa Andrzej Dąbrowski Wrocław

Po co uczyć rachunku prawdopodobieństwa • W przekazie publicznym dominuje język prawdopodobieństwa, ryzyka, prognozy (wypadki, ubezpieczenia) • Komunikacja polityczna opiera się na języku sondaży i porównań, opartych o dane • Doniesienia naukowe z dziedziny biologii i medycyny zawierają pierwiastek probabilistyczny – skuteczność diagnostyki, ostrzeżenia terapeutyczne (szanse zachorowania na …, wpływ czynników: wiek, palenie, … na zachorowanie…) • Najbardziej istotnym wydarzeniem w fizyce XX w. było odkrycie, że świat nie jest deterministyczny 2

Czy uczyć, używając jakiegoś formalizmu. Problemy • Brak intuicji Engel: Teoria prawdopodobieństwa wymaga intuicji, które są , w przeciwieństwie do innych działów matematyki, bardziej nienaturalne (intuicja geometryczna – losowość) • „Łatwa dydaktyka matematyczna” Ciąg technologiczny: definicje – twierdzenia – wzory - rachunki • Prawdopodobieństwo = część matematyki Niejednokrotnie diagram, tabelka czy prezentacja danych jest punktem wyjścia do rozmowy o czysto matematycznych pojęciach np. : przedstawienie danych na diagramie słupowym jest okazją do ćwiczenia rachunku pamięciowego oraz algorytmów działań… pozwala na wykonanie dużej ilości różnych rachunków, obliczeń procentowych, na ćwiczenie algorytmów, przeliczanie jednostek, kreślenie figur, obliczanie rozwartości kątów itp (http: //www. awans. net/strony/matematyka/wieczorek 1. html) • Probabilistyka to inny sposób myślenia (OOOO? ) 3

Czy uczyć, używając jakiegoś formalizmu Formalizm • • Formalizm w rachunku prawdopodobieństwa i bourbakistowskiej rewolucji w geometrii w tym samym momencie (Dubrownik 1960, Budapeszt 1962, Polska: podręcznik Szlenka (1970, 23 wydania) ) Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa miało pokazać siłę teorii mnogości. . ukrywało jednak liczne zastosowania rachunku ograniczając się do gier. Przez wielu nauczycieli traktowany jako poboczny dział matematyki, co prowadziło do redukcji jego nauczania (Batanero) W 1997 - 70% programów preferowało podejście formalistyczne, 60% programów to kombinatoryka przebrana za rachunek prawdopodobieństwa (Batanero) … (celem nauczania jest) uświadomienie uczniowi niektórych aspektów matematyzacji. Efektem matematyzacji jest idea abaku probabilistycznego (!!! AD). Powodem wprowadzenia teorii prawdopodobieństwa w szkole jest fakt, że po geometrii jest to kolejny przykład teorii aksjomatycznej (Płocki) Ludzkość radziła sobie z niepewnością, nie oczekując porad matematyków, zarówno przed jak i po 1654 (Freudenthal) 4

Jakie pojęcia są ważne Podczas sympozjum Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa w nauczaniu początkowym (Warszawa, 1975) krytykowano formalne ujęcie, wyłączne oparcie się na klasycznym modelu. (Płocki) We Francji, która była w czołówce krajów z aksjomatycznym nauczaniem prawdopodobieństwa w latach 80. XX w. , prawdopodobieństwo w szkole znacznie straciło na znaczeniu. W 1991 wprowadzono podejście częstościowe. Programy nauczania od 2000 są oparte na obserwowaniu częstości, a prawdopodobieństwo jest wprowadzane na końcu nauczania jako „częstość teoretyczna” (Parzysz, 2003). Wzrastające zainteresowanie komputerami (sztuczna inteligencja, medycyna) powoduje konieczność poznania metod statystyki. Prawdopodobieństwo wprowadzane jako efekt stabilizacji częstości, obserwowanych w próbkach statystycznych występuje w wielu podstawach programowych, np. Common Core State Standards in Mathematics [CCSSI] 2010; Ministerio de Educación, Cultura y Deporte [MECD] 2014; and the National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] 2000). W szkole podstawowej preferowane jest rozwijanie intuicji związanych z pojęciem przypadku 20. 10. Światowy Dzień Statystyki 5

Jakie pojęcia są ważne Jeśli prawdopodobieństwo nie będzie rozważane w kontekście diagnoz medycznych, ryzyka wypadków, prognozy pogody i innych przykładów z życia, wprowadzanie prawdopodobieństwa do programów szkolnych nie jest warte wysiłku. (Jones, Exploring Probability in School Challenges for Teaching and Learning Mathematics) English National Curriculum zaleca się aby każdy projekt z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki był rozważany w cyklu: sprecyzuj problem - zbierz dane -opracuj dane i zilustruj – sformułuj wnioski W NCTM Standards (USA i Kanada) związek pomiędzy danymi rzeczywistymi i prawdopodobieństwem pokazywany jest na przykładach tabel z danymi, z których szacuje się prawdopodobieństwa i wprowadza się pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego i niezależności Bardzo wyważony program nauczania prawdopodobieństwa jest przygotowany prze ministerstwo edukacji w Nowej Zelandii (są ciekawe materiały): https: //nzmaths. co. nz/probability-units-work 6

Podstawa programowa 2017 Najważniejsze umiejętności rozwijane w ramach kształcenia ogólnego w szkole podstawowej to: 2) sprawne wykorzystywanie narzędzi matematyki w życiu codziennym, a także kształcenie myślenia matematycznego; 3) poszukiwanie, porządkowanie, krytyczna analiza oraz wykorzystanie informacji z różnych źródeł; 4) kreatywne rozwiązywanie problemów z różnych dziedzin ze świadomym wykorzystaniem metod i narzędzi wywodzących się z informatyki, w tym programowanie; Na I etapie edukacyjnym nauczanie matematyki powinno być organizowane w taki sposób, by uczniowie koncentrowali się na odniesieniach do znanej sobie rzeczywistości, a stosowane pojęcia i metody powinny być powiązane z obiektami, występującymi w znanym środowisku. 7

Podstawa programowa 2017 Cel kształcenia -wymagania ogólne II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Odczytywanie i interpretowanie danych przedstawionych w różnej formie oraz ich przetwarzanie. 2. Interpretowanie i tworzenie tekstów o charakterze matematycznym oraz graficzne przedstawianie danych. 3. Używanie języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. 2. Dobieranie modelu matematycznego do prostej sytuacji oraz budowanie go w różnych kontekstach, także w kontekście praktycznym. 8

Podstawa programowa 2017 kl. IV-VI XIII. Elementy statystyki opisowej. Uczeń: 1) gromadzi i porządkuje dane; 2) odczytuje i interpretuje dane przedstawione w tekstach, tabelach, na diagramach i na wykresach, na przykład: wartości z wykresu, wartość największą, najmniejszą, opisuje przedstawione w tekstach, tabelach, na diagramach i na wykresach zjawiska przez określenie przebiegu zmiany wartości danych, na przykład z użyciem określenia „wartości rosną”, „wartości maleją”, „wartości są takie same” („przyjmowana wartość jest stała”). 9

Podstawa programowa 2017 kl. VII-VIII XII. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 1) wyznacza zbiory obiektów, analizuje i oblicza, ile jest obiektów, mających daną własność, w przypadkach niewymagających stosowania reguł mnożenia i dodawania; 2) przeprowadza proste doświadczenia losowe, polegające na rzucie monetą, rzucie sześcienną kostką do gry, rzucie kostką wielościenną lub losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje je i oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych. XIII. Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowej. Uczeń: 1) interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów, w tym także wykresów w układzie współrzędnych; 2) tworzy diagramy słupkowe i kołowe oraz wykresy liniowe na podstawie zebranych przez siebie danych lub danych pochodzących z różnych źródeł; 3) oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb. 10

Podstawa programowa 2017 kl. VII-VIII XVI. Zaawansowane metody zliczania. Uczeń: 1) stosuje regułę mnożenia do zliczania par elementów o określonych własnościach; 2) stosuje regułę dodawania i mnożenia do zliczania par elementów w sytuacjach, wymagających rozważenia kilku przypadków, na przykład w zliczaniu liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5 i mających trzy różne cyfry albo jak w zadaniu: W klasie jest 14 dziewczynek i 11 chłopców. Na ile sposobów można z tej klasy wybrać dwuosobową delegację składającą się z jednej dziewczynki i jednego chłopca? XVII. Rachunek prawdopodobieństwa. Uczeń: 1) oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach, polegających na rzucie dwiema kostkami lub losowaniu dwóch elementów ze zwracaniem; 2) oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach, polegających na losowaniu dwóch elementów bez zwracania jak w przykładzie: Z urny zawierającej kule ponumerowane liczbami od 1 do 7 losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma liczb na wylosowanych kulach będzie parzysta. 11

Podstawa programowa 2017 Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa należy poprzedzić zadaniami, w których uczniowie wykonują doświadczenia, na przykład wielokrotne rzuty kostką. Można wówczas wskazać związek pomiędzy częstością zdarzenia a jego prawdopodobieństwem. Szczególną rolę w kształceniu matematycznym odgrywają zadania ze statystyki. Z jednej strony odczytywanie i prezentowanie danych, wiąże matematykę z życiem codziennym i otwiera cały wachlarz zastosowań praktycznych. Wskazane jest, aby znaczna część zadań dotyczyła danych rzeczywistych wraz z podaniem ich weryfikowalnego źródła. Z drugiej strony, na przykład operowanie wykresami zależności pozwala na intuicyjne opanowanie trudnych i abstrakcyjnych pojęć takich jak funkcja, monotoniczność, ekstrema, przy użyciu minimalnej wiedzy matematycznej (nie należy wprowadzać tych pojęć w szkole podstawowej). Stanowi to wstęp do wprowadzenia tych pojęć w szkole ponadpodstawowej. 12

Podstawa programowa 2017 kl. VII-VIII Dla przykładu załączono kilka zadań ze statystyki, z których część może być wykorzystana na zajęciach, bądź w projektach edukacyjnych uczniowskich. 1. We wszystkich trzech klasach VI w pewnej szkole przeprowadzono ankietę „Jaki smak lodów lubisz najbardziej? ”. W ankiecie wzięli udział wszyscy uczniowie z tych klas. Wyniki, jakie otrzymano, były następujące: w klasie VIa – 12 osób wybrało lody … Wykonaj diagram słupkowy przedstawiający wyniki tej ankiety. Odczytaj, które lody cieszą się największą popularnością w klasach VI w tej szkole. 2. Odczytaj z prognozy pogody (podanej w formie meteorogramu), w którym z najbliższych dni prognozowana temperatura będzie największa. Podaj, w jakich godzinach, według prognozy, temperatura powietrza będzie rosła, a w jakich malała. W którym z najbliższych dni pogoda będzie najlepsza do organizacji wycieczki? Odpowiedź uzasadnij. 13

Podstawa programowa 2017 kl. VII-VIII 6. Maciek dostał 10 ocen z matematyki. Oto 9 z nich: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6. Średnia arytmetyczna wszystkich dziesięciu jego ocen jest równa 3, 6. Wyznacz brakującą ocenę. 14

Podstawa programowa 2017 kl. VII - VIII 15

Podstawa programowa 2017 kl. VII - VIII 16

Jakie pojęcia są ważne https: //nzmaths. co. nz/probability-units-work Poziom 1 • Używanie potocznego języka aby mówić o przypadku • Proste gry losowe i opis możliwych wyników Poziom 2 • Uporządkuj proste zdarzenia wg szansy ich pojawiania się • Zauważ, że nie wszystkie zdarzenia są tak samo prawdopodobne • Zauważ, że pewne gry są bardziej sprawiedliwe niż inne • Zmień reguły na bardziej sprawiedliwe 17