Bivariate Statistik M Kresken 1 Wertepaare Punktwolke M

Bivariate Statistik M. Kresken 1

Wertepaare, Punktwolke M. Kresken 2

Wertepaare, Punktwolke Werden an mehreren Beobachtungseinheiten je zwei stetige Merkmale gemessen, so lässt sich jedes Wertepaar durch einen Punkt in einem Koordinatensystem darstellen (Punktwolke) Messwerte Merkmal 2 • Messwerte Merkmal 1 M. Kresken 3

Regression von y auf x M. Kresken 4

Zusammenhang zwischen n Wertepaaren (xj, yj) y y x M. Kresken x 5

Regression von y auf x • • • Das Problem einer Regression von y auf x liegt vor, wenn für das Merkmal x fest vorgegebene Werte xj (z. B. Dosen oder Zeitpunkte) und für das Merkmal y zugehörige yj (z. B. Serumkonzentration eines Arzneistoffes) erhoben werden. Häufig kann eine graphisch erkennbare Beziehung zwischen zwei Merkmalen (x und y) näherungsweise durch eine Gerade „gut“ beschrieben werden. Aber was bedeutet „gut“ ? M. Kresken 6

Regression von y auf x • • Berechnung einer Geraden, die sich aus der Summe der quadrierten Abstände ermittelt wird Methode der kleinsten Quadrate y x M. Kresken 7

Regression von y auf x • Die so aus den Abständen der einzelnen Messpunkte (xj, yj) zu der Geraden parallel zur y-Achse eindeutig bestimmte Gerade heißt Regressionsgerade von y auf x: y = byxx + ayx • byx wird Regressionskoeffizient genannt und beschreibt den Anstieg der Regressionsgeraden. Der Regressionskoeffizient gibt an, um wie viel sich y im Durchschnitt ändert, wenn x um eine Einheit erhöht wird. Der Parameter ayx bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse. • • M. Kresken 8

Regression von y auf x • byx und ayx ergeben sich aus folgenden Formeln: byx ayx syx = sxx , falls sxx = 0 _ _ = y – byx x syx = sxy 1 = n-1 n = ( j=1 _ _ ( xj - x ) ( yj - y ) n n ) 1 ( xjyj ) _ 1 ( xj ) ( yj ) n j=1 n - 1 j=1 n __ 1 _ = ( xjyj ) n x y n - 1 j=1 ( M. Kresken n ) 9

Regression von y auf x sxx = sx = 1 n-1 2 n j=1 1 ( = n-1 _2 ( xj - x ) n ( M. Kresken j=1 _ xj 2 ) - n x ) 2 10

Regression von y auf x • • • Die Größe sxy heißt Kovarianz und beschreibt die gemeinsame Streuung der x- und y-Werte, d. h. die Ausdehnung _ der _ Punktwolke. Der Punkt (x, y) heißt Schwerpunkt der Punktwolke und ist ein Lagemaß für das Zentrum der Wertepaare. In manschen Situationen lässt sich eine lineare Beziehung erst nach Transformation der x- oder y-Werte erkennen. Folgen z. B. die (x, y)-Werte einem exponentiellen Verlauf (y = ex), so wird sich nach Logarithmierung der y-Werte ein linearer Zusammenhang ergeben. Mit den transformierten Werten wird dann eine Regressionsrechnung durchgeführt. M. Kresken 11

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber Zeit nach Adrenalingabe [min] Adrenalin [mg/l] 1 6 30, 2 2 18 9, 8 3 30 4, 7 4 42 1, 8 5 54 0, 8 Nr. M. Kresken 12

Adrenalin (mg/100 ml) Zusammenhang des Abbaus der Adrenalinkonzentration in der Leber über die Zeit [min] M. Kresken 13

Regression von y auf x • • • Es liegt die Vermutung nahe, dass die Adrenalinwerte mit der Zeit exponentiell abfallen. Wegen der graphisch erkennbaren Beziehung werden deshalb statt der Werte selbst die Logarithmen für die Regressionsrechnung verwendet, wobei die logarithmierten Werte mit y bezeichnet werden. Bei der Berechnung werden also nicht die ursprünglichen Messwerte (Zeit, Adrenalin), sondern die transformierten Messwerte (Zeit, log(Adrenalin)) = (x, y) benutzt. M. Kresken 14

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber (Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte) Zeit nach Adrenalingabe [min] Adrenalin [mg/l] 1 6 30, 2 2 18 9, 8 3 30 4, 7 4 42 1, 8 5 54 0, 8 Nr. M. Kresken log (Adrenalin) 15

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber (Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte) Zeit nach Adrenalingabe [min] Adrenalin [mg/l] log (Adrenalin) 1 6 30, 2 1, 48 2 18 9, 8 0, 99 3 30 4, 7 0, 67 4 42 1, 8 0, 26 5 54 0, 8 -0, 10 Nr. M. Kresken 16

log Adrenalin (mg/100 ml) Punktwolke und Regressionsgerade für den Abbau der logarithmischen Adrenalinkonzentration über die Zeit [min] y = byxx + ayx M. Kresken 17

Punktwolke und Regressionsgerade für den Abbau der logarithmischen Adrenalinkonzentration über die Zeit y = byxx + ayx • Benötigte Formeln M. Kresken 18

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber (Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte) Nr. Zeit x log Adrenalin (Adrenalin) [mg/l] y 1 6 30, 2 1, 48 2 18 9, 8 0, 99 3 30 4, 7 0, 67 4 42 1, 8 0, 26 5 54 0, 8 -0, 10 xy x 2 y 2 M. Kresken 19

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber (Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte) Nr. Zeit x log Adrenalin (Adrenalin) [mg/l] y xy x 2 y 2 1 6 30, 2 1, 48 8, 88 36 2, 1904 2 18 9, 8 0, 99 17, 82 324 0, 9801 3 30 4, 7 0, 67 20, 10 900 0, 4489 4 42 1, 8 0, 26 10, 92 1764 0, 0676 5 54 0, 8 -0, 10 -5, 40 2916 0, 0100 150 3, 30 52, 32 5940 3, 6970 M. Kresken 20

Zusammenhangsmaße M. Kresken 21

Zusammenhangsmaße • Maßzahlen, mit deren Hilfe sich der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen beschreiben lässt. • Keines der Maße dient dazu, einen sachlogischen oder kausalen Zusammenhang nachzuweisen. M. Kresken 22

Korrelationskoeffizient • Der Korrelationskoeffizient r nach Pearson ist ein quantitatives Maß für die Beziehung zwischen zwei stetigen Merkmalen und beschreibt die lineare Komponente des Zusammenhangs. r= syx sxx · syy , falls sxx = 0 und syy = 0 • Der Korrelationskoeffizient r kann nur Werte von – 1 bis +1 annehmen. • Der Korrelationskoeffizient ist eine einheitslose Größe. M. Kresken 23

Zusammenhang zwischen Punktwolken und Korrelationskoeffizienten M. Kresken 24

Korrelationskoeffizient zwischen der logarithmischen Adrenalinkonzentration und der Zeit ÞBerechnung des Korrelationskoeffizienten r M. Kresken 25

Bestimmtheitsmaß • Im Zusammenhang mit der Regressionsrechnung gibt man häufig statt des Korrelationskoeffizienten das so genannte Bestimmtheitsmaß an. • Das Bestimmtheitsmaß ist gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten. • Es beschreibt, welcher Anteil an der Gesamtvarianz durch das Regressionsmodell bzw. die Regressionsgerade erklärt wird. M. Kresken 26

Rang-Korrelationskoeffizient • Ist ein alternatives Maß, um Zusammenhänge zwischen Merkmalen zu beschreiben (Spearman Rang. Korrelationskoeffizient). • Wird auf der Basis der Ränge der Messwerte berechnet: (R (x 1), R (y 1)), (R (x 2), R (y 2)), . . . , (R (xn), R (yn)). • Der kleinste Messwert erhält den Rang 1, der größte Wert den Rang „n“. • Mit den mittleren Rangzahlen lässt sich analog zum Korrelationskoeffizienten nach Pearson der Rang. Korrelationskoeffizient berechnen. 1 R(X) = n M. Kresken n R(x ) j=1 j 1 R(Y) = n n R(y ) j=1 j 27

Rang-Korrelationskoeffizient • Die Berechnung erfolgt analog zum Korrelationskoeffizienten nach Pearson unter Verwendung der Rangzahlen. r= syx sxx syy M. Kresken 28

Rang-Korrelationskoeffizient • Bei ordinalen Merkmalen beobachtet man häufig die Übereinstimmung der Messergebnisse mehrerer Beobachtungseinheiten. • In solchen Fällen werden übereinstimmenden Messergebnissen mittlere Ränge zugeordnet. • Dass die Originalmessergebnisse nur über ihre Position in den jeweiligen Ranglisten, d. h. indirekt in die Berechnung des Rang-Korrelationskoeffizienten einfließen, bedeutet eine Informationsreduktion. • Auf der anderen Seite können dadurch nichtlineare Zusammenhänge beschrieben werden. • Der Rang-Korrelationskoeffizient liefert Werte von – 1 bis +1. M. Kresken 29

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber (Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte) Nr. Zeit x Ränge R(x) Adrenalin [mg/l] 1 6 30, 2 2 18 9, 8 3 30 4, 7 4 42 1, 8 5 54 0, 8 Ränge R(y) R(x)2 R(y)2 M. Kresken 30

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber (Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte) Zeit x Ränge R(x) Adrenalin [mg/l] Ränge R(y) R(x)2 R(y)2 1 6 1 30, 2 5 5 1 25 2 18 2 9, 8 4 16 3 30 3 4, 7 3 9 9 9 4 42 4 1, 8 2 8 16 4 5 54 5 0, 8 1 5 25 1 35 55 55 Nr. M. Kresken 15 31

Interpretation der Ergebnisse der Regressions- bzw. Korrelationsrechnung 1. Eine Extrapolierung der Regressionsgleichung über den Bereich der Punktwolke hinaus ist nicht zulässig. 2. Ein Korrelationskoeffizient nahe null bedeutet nicht, dass kein Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen besteht. 3. Einzelne extreme Wertepaare können sowohl den Korrelationskoeffizienten als auch die Regressionsgleichung erheblich beeinflussen. 4. Eine beobachtete Korrelation bedeutet nicht ohne weiteres einen sachlogischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen. M. Kresken 32