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II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1. 1. Kombinatorische Formeln 1. 2. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2. 1. Der diskrete Fall 2. 2. Der stetige Fall 2. 3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3. 1. Grundbegriffe 3. 2. Erwartungswert und Varianz 3. 3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3. 4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz 4. Markov-Ketten
Urnenmodelle
Wahrscheinlichkeitsräume
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)
Wahrscheinlichkeitsräume
Die Poisson-Verteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation
Die Binomialverteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation
Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:
Die hypergeometrische Verteilung Notation
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Wahrscheinlichkeitsräume
A. N. Kolmogorov 1903 - 1987 Kolmogorov wurde (mehr zufällig, seine Mutter war auf der Durchreise) in Tambov, Russland, geboren. Nach der Schule arbeitete er zunächst als Eisenbahnschaffner. Nebenbei schrieb er eine Abhandlung über die Newtonsche Mechanik. Bald ging er aber an die Moskauer Universität, und seine Entwicklung zu einem der bedeutendsten Mathematiker des vergangenen Jahrhunderts begann. Eine seiner großen Leistungen auf dem Gebiet der Stochastik besteht in der Schaffung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie in seiner Arbeit Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (in deutsch!) aus dem Jahre 1933.
Wahrscheinlichkeitsdichten
Die Exponential-Verteilung
Die Gauß- oder Normalverteilung
Gauß-Bildnis und –Kurve auf 10 DM-Schein
Die Cauchy-Verteilung
Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 0 0 1 0 1 0 0 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : „Oben steht eine 0“ B: „In der Mitte steht eine 0“ C: „Unten steht eine 0“ 1 1 1
Man hat zwar: Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten.
Allgemein definiert man:
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
Also haben wir: Allgemein definiert man:
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