Biostatistique et Introduction la Sant Publique Probabilits conditionnelles

Biostatistique et Introduction à la Santé Publique Probabilités conditionnelles Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 1

Probabilité conditionnelle • Notion très courante en médecine, en particulier pour exprimer la probabilité de maladie en fonction de la présence ou de l’absence d’un signe. • Notation Pr(A|B) : probabilité de l’événement B conditionnellement à la réalisation de l’événement A. • Autre notation : Pr(A si B) • Formule Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 2

Probabilité conditionnelle Formule : E E B A A et B B A A|B Réversibilité : Pr(A et B) = Pr(A|B). Pr(B) = Pr(B|A). Pr(A) Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 3

Probabilité conditionnelle. Exemple. • 99% des sujets atteint d’une maladie M sont positifs à un test de dépistage ; • La maladie M touche 10% de la population • Quelle est la fraction de la population correspondant aux sujets malades positifs au test de dépistage ? • Pr(M)=0, 1 Pr(T|M)=0, 99 • Donc Pr(T et M) = Pr(T|M). P(M) = 0, 99 x 0, 1 = 0, 099 = 9, 9% Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 4

Indépendance de deux événements • Deux événements sont indépendants si la connaissance de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. • Si A et B sont indépendants, alors : • Ou encore : Deux événements A et B (de probabilité non nulle) sont indépendants si Pr(A et B) = Pr(A). Pr(B) Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 5

Théorème de Bayes • Partant de la formule des probabilités conditionnelles, • On modifie l’expression du numérateur : Pr(A et B) = Pr(B|A). Pr(A) • Pour aboutir à la première expression du théorème de Bayes : Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 6

Théorème de Bayes • Généralement on ne connaît pas Pr(B), mais on peut écrire que : • De même, on peut écrire : • D’où la 2 e expression du théorème de Bayes : Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 7

Application des probabilités conditionnelles à l’évaluation d’un examen diagnostique • On cherche à chiffrer les performances de l’examen par son aptitude à donner le plus souvent possible : – un résultat positif chez les malades – un résultat négatif chez les non-malades • Dans une population de taille N, ou dans un échantillon représentatif, on classe les résultats de l’examen en fonction de la présence de la maladie. Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 8

Evaluation d’un examen diagnostique Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 9

Sensibilité et spécificité d’un examen diagnostique • La sensibilité est la probabilité que le signe soit présent si le patient est malade. • Se = Pr(S+ | M+) = • Un test d’autant plus sensible que les sujets malades ont plus souvent le signe (peu de faux négatifs). • La spécificité est la probabilité que le signe soit absent si le patient n’est pas malade. • Sp = Pr(S | M ) = • Un test d’autant plus spécifique les sujets non malades ont plus rarement le signe (peu de faux négatifs). Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 10

Valeurs prédictives d’un examen diagnostique • La valeur prédictive positive est la probabilité que le patient soit malade si le signe est présent. • VPP = Pr(M+ | S+) = • La valeur prédictive négative est la probabilité que le patient ne soit pas malade si le signe est absent. • VPN = Pr(M | S ) = Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 11

Valeurs prédictives d’un examen diagnostique application du théorème de Bayes • On peut déterminer les valeurs prédictives en fonction de la sensibilité, de la spécificité et de la prévalence p de la maladie. • VPP = Pr(M+|S+) = • VPP = • VPN = Pr(M |S ) = • VPN = Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 12

Valeurs prédictives : exercice 1 Madame Q. , âgée de 60 ans, souffre d'insuffisance cardiaque et suit pour cette raison un traitement digitalique depuis plusieurs mois. Le traitement digitalique est parfois à l'origine d'une complication grave l'intoxication digitalique dont le diagnostic exact peut être difficile à affirmer. Madame Q. se plaint de fatigue générale et est admise à l'hôpital. Un électrocardiogramme est pratiqué et montre des extrasystoles ventriculaires qui font évoquer la possibilité d'une intoxication digitalique. Le dosage de la digoxinémie : concentration des digitaliques dans le sérum, est un test d'aide au diagnostic de l'intoxication digitalique. Le test positif si la digoxinémie est supérieure à 1, 7 ng/ml. Selon des études effectuées chez des patients d'un type comparable à Mme Q. - le test positif chez 58 % des patients souffrant d'une intoxication digitalique authentifiée (sensibilité du test) - le test négatif chez 85% des patients indemnes d'intoxication digitalique (spécificité) On sait par ailleurs que seulement 60 % des patients sous traitement digitalique, chez lesquels le tableau clinique et électrocardiographique évoquent une intoxication digitalique en souffrent réellement (probabilité de la maladie a priori). Déterminer les probabilités de maladie a posteriori. Discuter l’intérêt de l’examen. Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 13

Valeurs prédictives : exercice 1 On note M l’intoxication digitalique, S la positivité du test. On retrouve dans les données la prévalence de l’intoxication digitalique, probabilité a priori : Pr(M) = 0, 6 La sensibilité du test : Se=P(S+|M+)=0, 58 et la spécificité : Sp=P(S-|M-)=0, 85 probabilité a posteriori de l’intoxication digitalique si le test positif P(M+ | S+) = = 0, 85 probabilité a posteriori de l’intoxication digitalique si le test négatif P(M+ | S-) = 1 P(M-|S-) = = 0, 43 Valeur informationnelle : les probabilités a posteriori sont nettement différentes de la probabilité a priori. Valeur décisionnelle : faible. La valeur prédictive négative proche de 0, 5 de même que la faible sensibilité doivent faire douter fortement de la signification d’un résultat négatif. Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 14

Valeurs prédictives : exercice 2 Le test immunologique ELISA de l'infection par le virus de l'immunodéficience humaine (VIH, virus du SIDA) possède une spécificité égale à 0, 995 et une sensibilité égale à 0, 983. Un test diagnostique positif définit la séropositivité. La mise en œuvre d'un dépistage systématique à l'aide de ce test a été envisagée par les autorités sanitaires afin d'enrayer la propagation de l'épidémie d'infection à VIH. 1) La prévalence de l'infection par le VIH en France est égale à 0, 005. Calculer la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative du test ELISA lorsque le dépistage est appliqué à la population française. 2) Dans certains groupes à risque, la prévalence de l'infection par le VIH est égale à 10 %. Calculer la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative du test ELISA lorsque le dépistage est appliqué à la population à risque. Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 15

Valeurs prédictives : exercice 2 1) Dans la population générale où la prévalence de l’infection à VIH est faible : VPP=0, 497 VPN=0, 9991 2) Dans une population à risque où la prévalence est élevée : VPP=0, 9562 VPN=0, 9981 Examinées globalement, les valeurs prédictives sont plus satisfaisantes dans une population à risque. En population générale, un test positif sur deux est un faux positif, ce qui entraîne des problèmes : comment annoncer le résultat, quelle stratégie d’examens de confirmation ? Cet exemple permet d’opposer dépistage en population à dépistage ciblé pour une détection efficace des cas. L’attitude est différente quand il s’agit de dépister les dons à risque chez les donneurs de sang : on peut écarter du circuit transfusionnel tous les dons positifs sans que cela pose de problème même avec une VPP faible tandis que la valeur élevée de la VPP est dans ce cas une garantie de sécurité pour les transfusés. Octobre 2005 Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM 2 16