Biomechanika przepyww WYKAD 7 Przepyw krwi C D
Biomechanika przepływów WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ;
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Krew jest mieszaniną osocza i krwinek Testy wykonane na krwi za pomocą wiskometru, którego wymiar charakterystyczny szczeliny pomiarowej jest dużo większy od wymiaru charakterystycznego krwinek pozwalają na wysunięcie następującego wniosku: W dużych naczyniach krwionośnych dla których wymiar charakterystyczny (średnica) jest dużo większy niż charakterystyczny wymiar krwinek, krew może być traktowana jak płyn jednorodny. Właściwości mechaniczne krwi traktowanej jako płyn jednorodny można ująć definiując odpowiednie równanie konstytutywne.
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Zakładamy że jednorodny płyn który przybliża nam zachowanie krwi ma dwie podstawowe cechy: A) B) A) jest izotropowy B) jest nieściśliwy bazujemy na założeniu że przy braku naprężeń odkształcenie w płynie zanika i krwinki nie mają żadnego preferowanego kierunku w przestrzeni; wykorzystujemy fakt iż przy ciśnieniach panujących w organizmie człowieka ( normalne warunki fizjologiczne)nie wykazano wpływu ciśnienia na gęstość krwi;
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Z obserwacji danych prezentowanych na poprzednim wykładzie można wysnuć wniosek , że reologia krwi różni się od reologii płynu Newtonowskiego zmienna wartością lepkości. Dla płynu Newtonowskiego równanie konstytutywne wygląda następująco: (9. 1) tensor naprężeń lepkość płynu tensor odkształceń składowe prędkości
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Krew nie spełnia równania (9. 1) ponieważ μ nie jest stałą a zmienia się wraz ze zmianą wartości naprężeń. Równanie (9. 1) spełnia natomiast osocze krwi pozbawione krwinek. Można więc stwierdzić , że nie – Newtonowska natura krwi bierze się z obecności krwinek zawieszonych w krwi. Postaramy się teraz zmodyfikować równanie (9. 1) tak aby opisywało zachowanie się krwi: Jednym z podstawowych założeń mechaniki ośrodków ciągłych jest to że równania opisujące ich dynamikę muszą być zgodne z algebrą tensorów tzn. każdy element musi być tensorem tego samego rzędu. Jeżeli decydujemy się aby równanie (9. 1) opisywało zachowanie krwi z założeniem o izotropowości zachowań mechanicznych to μ musi być skalarną funkcją tensora odkształceń Vij jest symetrycznym tensorem rzędu 2 w przestrzeni trójwymiarowej
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Vij ma trzy niezmienniki:
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Założyliśmy, że krew jest płynem nieściśliwym więc I 1 = 0, I 2 przyjmie więc wartości mniejsze od 0. Korzystniej jest wprowadzić więc nowy niezmiennik zdefiniowany następująco: (9. 2) A więc lepkość μ musi być funkcją J 2 i I 3 Z równania definiującego J 2 widać że jest on funkcją odkształcenia, z doświadczeń widać że lepkość krwi zależy od szybkości ścinania a więc można stwierdzić że lepkość krwi jest funkcją J 2 Można zaproponować następujące równanie konstytutywne dla przepływu krwi: (**)
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; szybkość ścinania: (9. 3) w tym przypadku wszystkie inne elementy tensora Vij wynoszą 0 więc niezmiennik J 2 przyjmuje postać:
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; a więc z równania na szybkość ścinania (9. 3) wynika : podczas gdy z równania konstytutywnego postaci (**) wynika: (9. 4) Na poprzednim wykładzie przedstawiono dane doświadczalne które spełniały równanie Cassona , które można przedstawić w postaci: (9. 5)
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; z porównania równań (9. 4) i (9. 5) wynika że lepkość krwi może być przedstawiona w postaci zależności: Pozwala to nam zdefiniować równanie konstytutywne dla krwi w przepływie w postaci: (9. 6)
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Równanie (9. 6) jest słuszne dla J 2 różnego od 0 i przyjmującego małe wartości. Jeżeli J 2 przyjmuje duże wartości wyniki eksperymentalne redukują się do prostej zależności μ=const. i wtedy równanie (9. 1) może być stosowane do opisu przepływu krwi. Punkt przejścia pomiędzy zachowaniem Newtonowskim rów. (9. 1) a nie Niewtonowskim rów. (9. 6) zależy od wartości Hematokrytu. Hematokryt – objętość czerwonych krwinek do całkowitej objętości. Dla normalnej krwi z małą wartością Hematokrytu H= 8. 25 % lepkość jest wartością stałą w szerokim zakresie naprężeń ścinających od 0. 1 to 10000 s-1. Dla wartości Hematokrytu H=18 % krew zachowuje się jak płyn Newtonowski kiedy γ>600 s-1 dla mniejszych wartości naprężeń spełnione jest równanie (9. 6)
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; W przypadku ustania przepływu kiedy Vij=0 równanie konstytutywne (9. 6) musi być zastąpione nową relacją naprężenia- odkształcenia. Dla takiego zachowania krwi posiadamy bardzo mało danych, więc tylko hipotetyczne równania konstytutywne mogą być zaproponowane. Rozważmy teraz bardzo prosty przypadek laminarnego przepływu krwi przewodem kołowym. Zakładamy : przewód jest długi a przepływ jest ustalony
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Najlepiej rozpatrywać problem we współrzędnych cylindrycznych. 1) Przepływ spełnia równanie bilansu naprężeń dla płynów nieściśliwych. Na ściankach przyjmujemy warunek brzegowy zerowania się prędkości krwi. Przepływ jest symetryczny , tylko współrzędna u(r) nie zanika. u(r) jest funkcją tylko r. Rozpatrzmy cylinder o średnicy r i jednostkowej długości wycięty z przepływu. Doznaje on działania ciśnienia p 1 i p 2 oraz naprężeń τ na powierzchni bocznej walca. działa na powierzchnię
WYKŁAD 7: Przepływ krwi C. D. ; natomiast τ działa na powierzchnię 1*2πr W stanie ustalonym równanie równowagi sił wygląda następująco: lub (Stokes, 1851) Teraz musimy wprowadzić równanie konstytutywne wiążące naprężenia z odkształceniem
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; płyn Newtonowski przy naszych założeniach dp/dx musi być wartością stałą a wiec po scałkowaniu: stałą B można wyznaczyć z warunku brzegowego: (paraboliczny profil prędkości)
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Strumień może być obliczony przez scałkowanie: i średnia prędkość przepływu:
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; krew z Lepkością opisaną równaniem Cassona: równanie jest ważne dla każdego rodzaju płynu brak przepływu Naprężenia ścinające działające na powierzchnię cylindryczną są funkcją promienia r. W tej strefie bez przepływu jeżeli zachodzi ruch to tak jak dla bryły sztywnej. profil prędkości zależy więc od wartości τy i τw ścianka granica płynięcia
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; jeżeli nie mamy przepływu
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; i profil prędkości musi wyglądać następująco: dla r<rc profil jest płaski. Dla r>rc i r<a równanie Cassona jest spełnione. rozwiązując względem γ stąd możemy wyznaczyć profil prędkości:
WYKŁAD 7: Przepływ krwi C. D. ; dla r=rc prędkość przyjmuje wartość
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Możemy teraz wyznaczyć wartość strumienia : Co po odpowiednim podstawieniu i dla znanej wartość gradientu ciśnienia daje nam wzór: Jeżeli dp/dx > (2τy/a) Jeżeli -dp/dx < (2τy/a)
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Wprowadźmy nową notację I teraz wyrażenie na Q można zapisać następująco: (10. 1) Gdzie :
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Równanie (10. 1) jest podobne do znanego równania Poseuillea, różni się tylko o czynnik F W 1965 S. Oka podał zależność na F w Postaci przedstawionej na rysunku. Jak widać natężenie przepływu krwi Maleje dość znacznie wraz ze wzrostem ξ. A dla ξ > 1 przepływ ustaje. Jeżeli przedstawić na wykresie zależność pierwiastka z Q od pierwiastka ze spadku ciśnienia to otrzymana zależność przypomina zależność przepływu od naprężenia dla płynów plastycznych Binghama
WYKŁAD 7 : Przepływ krwi C. D. ; Równania przedstawione wcześniej w pełni opisują laminarny przepływ krwi w przewodzie cylindrycznym. Zastanówmy się co jest przyczyną takiego a nie innego zachowania się krwi w przepływie? Wiemy już, że plazma krwi zachowuje się jak zwykły płyn Newtonowski i nie –Newtonowskie zachowanie się krwi musi być spowodowane obecnością krwinek. Jak krwinki zachowują się podczas przepływu ? Czy oddziaływają ze sobą ?
- Slides: 24