Biomechanika przepyww WYKAD 5 RWNANIA KONSTYTUTYWNE C D
Biomechanika przepływów WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Jak już wspomniano na wykładach wcześniejszych : Ciało będące pod działaniem pola sił ulega deformacjom mierzonym jako odkształcenia, które zależą od charakterystyki materiału z którego zbudowane jest dane ciało. Charakterystyka ciała reprezentowana jest przez odpowiednią relację pomiędzy polem naprężeń a odkształceniami, która to nazywana jest - relacją konstytutywną. Na poprzednim wykładzie omawiane były główne znane relacje konstytutywne opisywane za pomocą tensorowych równań konstytutywnych t. j. : Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka. Teraz omówimy ogólniej trzy podstawowe relacje: ciała liniowo elastyczne, ciała nie liniowo elastyczne, oraz ciała liniowo lepko – elastyczne.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Ciało Liniowo Elastyczne Odkształcenie oraz naprężenie, mogą być reprezentowane za pomocą jednowymiarowych macierzy ( o wymiarze 6 x 1 ), ze względu na to iż, symetria powoduje że, jest tylko 6 różnych elementów tensorów odkształcenia i naprężenia: naprężenie: odkształcenie: Liniowe równanie dla materiałów izotropowych ( Prawo Hooka) może być zapisane: (*) Elastic constitutive matrix
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Wykorzystując założenie o izotropowości można wykazać że, C może być przedstawione Za pomocą dwóch stałych materiałowych : modułu Younga E i stałej Poissona ν. E przedstawia współczynnik proporcjonalności dla jednowymiarowego odkształcania: Natomiast ν jest stosunkiem wartości poprzecznego odkształcenia eyy do odkształcenia Wzdłużnego exx kiedy materiał jest obciążany w kierunku x:
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Różne formy stałej C dla różnych warunków fizycznych: Dla ogólnej 3 -wymiarowej deformacji (**)
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Dla przypadków osiowo symetrycznych tj. : Nie zerowe odkształcenia mogą być odniesione do: gdzie: γ – odkształcenie styczne Macież C sprowadza się do pstaci 4 x 4 :
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Dla przypadku płaskiego (a)
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 1: Płaska membrana: Dla płaskiej membrany (płaskiego stanu naprężenia) w płaszczyźnie x-y mamy następujący warunek:
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. również wszystkie styczne naprężenia i odkształcenia w kierunku z są równe 0: stosując równanie (*) i (**) otrzymamy: Po przekształceniach otrzymujemy równanie określające odksztacenie normalne (na grubości membrany):
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. po podstawieniu ezz w prierwszych dwóch równaniach dostajemy:
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. a więc konsekwentnie constytutywna macierz przybiera postać:
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Podobną technikę można użyć do opisu zachowania się powierzchni sferycznej wprowadzamy nowy układ współrzędnych (lokalny: x 1, x 2, x 3) w którym macierz konstytutywna przybiera postać:
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 2: Określenie siły reakcji dla przewodu kołowego pod ciśnieniem Prosta rura przedstawiona na rysunku nie podlega odkształceniom wzdłużnym. Rura znajduje się pod ciśnieniem wewnętrznym p. Grubość rury δ jest mała w porównaniu z promieniem przewodu R. Zakładamy również że, podpory pozwalają na zmianę średnicy przewodu. Można więc przyjąć iż stan naprężenie – odksztacenie jest jednolity dla przewodu.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. niezerowe naprężenia w rurze to: naprężenie wzdłużne naprężenie obwodowe z warunków równowagi można wyprowadzić relację: (siły na jednostkę długości)
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. poprzez istnienie wzdłużnych podpór, wzdłużne odksztacenie rury jest zerowe. korzystając z otrzymamy: oraz macierzy konstytutywnej:
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. odkształcenie obwodowe przyjmuje postać: po podstawieniu do: otrzymamy Siły reakcji na podporach wynoszą:
- Slides: 16