Biomatematika s informatika Elad Esztelecki Pter Kszlt Dr

Biomatematika és informatika Előadó: Esztelecki Péter Készült Dr. Hufnagel Levente prezentációja alapján

5. Téma A populációk közötti kölcsönhatások: versengés, kölcsönösségszimbiózis, zsákmányolás, élősködés

Kölcsönhatások �Biológia kölcsönhatások alatt értjük a közösségen belüli élőlények egymásra való hatásait. �A természetes világban semelyik élőlény sincsen teljes elszigeteltségben. Minden élőlény kölcsönhatásban van a környezetével, és a többi élőlénnyel. Az élőlények a túlélés miatt vannak kölcsönhatásban a környezetükkel, és így tudják kialakítani az ökoszisztéma egészét. �Intraspecifikus kölcsönhatás – azonos fajú egyedek között �Interspecifikus kölcsönhatás – eltérő fajú egyedek között

Interspecifikus kölcsönhatások típusai Első faj /Második faj + - 0 + Kölcsönösségmutualizmus (gyenge), Élősködés (gyenge), Kommenzalizmus (asztalközösség) Szimbiózis (erős) - 0 Zsákmányoláspredáció (erős) Versengés, Környezet degradálása Amenzalizmus Neutralizmus (? !)

Mutualizmus (kölcsönösség) (+, +) �A mutualizmus két (vagy több) populáció egyedeinek kölcsönösen előnyös együttélése. � 1) Alliancia: két populáció között kialakuló laza, alkalomszerű, mindkét fél számára nélkülözhető mutualizmus � Tipikus példája az együtt legelő struccok és zebrák riasztó kölcsönössége. A zebrák kiválóan hallanak, a struccoknak viszont a látásuk elsőrangú. Mindkét csoport állít őrszemet, és ha bármelyikük is veszélyt jelez, azonnal együtt menekülnek. � A) Az alliancia egyik formája a tisztogató kölcsönösség: amikor a pásztorgémek az orrszarvúak bőrrepedéseiből szedik ki a külső élősködőket. � B) Az alliancia másik formája a rejtegető kölcsönösség: tengeri rák kültakaróján telepszenek meg moszatok, amelyektől a rák nem is akar megszabadulni, mert az algabevonat miatt szinte felismerhetetlenné válik a sekély parti vízben

� 2) Virágmegporzás valamennyi formája: A megporzást végző egyed számára csupán a táplálékfelvétel egyik formáját jelenti, elmaradása azonban a növény számára az ivaros szaporodását teszi lehetetlenné. � 3) Szimfília: Ebben az esetben az egyik populáció a másik testváladékait fogyasztja, cserébe gondoskodik a számára kedvező külső feltételek biztosításáról. �Ilyen a hangyák és a termeszek számos más rovarcsoporttal kialakuló kölcsönhatása.

Mutualizmus (kölcsönösség) (+, +) � 4) Szimbiózis (együttélés): Ebben az esetben a két populáció között már tartós, szoros kapcsolat áll fenn. �A pillangósvirágúak gyökérzetében a növényi sejtekkel szoros kapcsolatban nitrogéngyűjtő Rhizobium baktériumfajok tenyésznek a jellegzetes alakú gyökérgümőkben. Ezek nemcsak a gazdanövény nitrogénigényét fedezik a légköri nitrogén megkötésével, hanem még a talaj nitrogéntartalmát is gazdagítják. �A szarvasgomba olyan élősködő, amely a különböző fák (tölgy, gyertyán, erdei fenyő, vagy mogyoró) gyökereihez társulva szimbiózisban él a gazdanövénnyel

A mutualizmus (kölcsönösség) modellezése Nt= Nt-1* f(T)*R (1 -(N/K)) Ahol, K=K 0*a Nmutual K 0 az a K mutuális partner nélkül Ha Nmutual=0 , Az eredeti K-t kapjuk vissza.

Versengés (Kompetíció) (-, -) �Versengés alatt a más szervezet számára is fontos környezeti tényező (táplálékforrás, víz, fény) elvonását, illetve hasznosítását értjük akkor is, ha ez felismerhető agresszivitás nélkül történik. A résztvevő populációk mindegyike hátrányt szenved a kapcsolatban. �A versengésben elmaradó egyedek asszimilációja előbb-utóbb a kompenzációs szint alá süllyed, ami pusztulásukhoz vezet. �A Gauze-elv kimondja, hogy két azonos környezeti igényű faj nem élhet tartósan ugyanazon az élőhelyen. �Azok a fajok, amelyek kevésbé bizonyulnak jónak az erőforrásokért folytatott harcban vagy adaptálódnak vagy kihalnak. Ez nagy szerepet játszik a természetes kiválogatódásban. �Intraspecifikus versengés – azonos fajú egyedek között �Interspecifikus versengés – eltérő fajú egyedek között

Intraspecifikus verseny �Azonos fajú egyedek közötti verseny. �A verseny az azonos forrás birtoklásáért folyik. �A jelenségnek számos vetületét lehet megfigyelni a mezőgazdasági és ezen belül kertészeti kultúrákban, ahol a kártevő rovarok elszaporodása egy adott ültetvényben az azonos forrásért való versengés alapján történik. �Amennyiben a források bőven állnak rendelkezésre, nincs verseny, szemben azok hiánya esetében.

Intraspecifikus verseny �Például: a füstösszárnyú körtelevélbolha (Psylla pyri) felszaporodása körteültetvényekben. �A forrás (körtefák lombozata) kezdetben bőségesen áll valamennyi egyed rendelkezésére. Az egyre nagyobb egyedszámú populációban egy adott esetben a rendelkezésre álló fitomassza egyre kisebb mennyiségben lesz jelen a fokozatos táplálkozás miatt. �Ennek következtében egyes egyedek kizárólagosan fogják használni a forrást, míg másoknak egyre kevesebb táplálék jut. Az első csoport fitness-e (rátermettsége) nőni fog.

Interspecifikus verseny �Különböző fajú egyedek közötti verseny. �Akkor alakul ki, ha valamilyen készlet mennyisége nem elég az azt használó eltérő fajú populációk számára. Ez lehet: � 1) Exploitatív (kizsákmányoló): versengésnél a két populáció egyedei nem kerülnek fizikai összeütközésbe. Kertészeti kártevők esetében az azonos kultúrnövényt fogyasztó fajok, melyek közül az egyik éjszaka aktív a másik pedig nappal. � 2) Interferencia (átfedéses): közvetlen kontaktusok alakulhatnak ki, ahol a nagyobb kompetíciós képesség fizikai fölényt jelenthet. Például almaültetvényeken az azonos zsákmányra vadászó futóbogarak és holyvák közül a futóbogarak a kompetensebbek a jóval nagyobb testméret miatt. – Egymás zavarása a táplálékszerzésben � 3) Látszólagos versengés: egy ragadozó fogyaszt két zsákmánypopulációt. Az egyes prédát fogyasztva annak csökken az egyedszáma, ami növeli saját populációnagyságát. Ennek következtében tudja vadászni a másik prédát is, így annak egyedszáma is csökken. �Az interspecifikus versengés során a természetben általában stabil együttélés (koegzisztencia) alakul ki.

Versengés modellezése Nt= Nt-1* f(T)*R (1 -(N+a*Ncompetitor/K)) Ahol, „a” egy „egység-átalakító” Ha a=0: nincs versengés Ha a=1: teljesen egyenlő verseny Ha a>1: Az interspecifikus effektus erősebb, mint az intraspecifikus. Ha 0<a<1: általános eset, részleges átfedés.

Zsákmányolás (predáció), élősködés (+, -) � 1) Predáció (zsákmányolás): Az egyik élőlény (préda) elfogyasztása a másik által (predátor) abban az esetben, amikor a támadás pillanatában a préda még él. Sok, rövid időtartamú kapcsolat. Ez egy antagonisztikus (ellentétes) kölcsönhatás �Például: oroszlán és antilop vagy katicabogár és levéltetvek �Ábrázolás: Lotka-Volterra féle modell � 2) Parazitoid állat: életciklusa jelentős részét egy gazdaegyedben tölti, abból táplálkozik, és kifejlődése során szükségszerűen megöli azt. � 3) Parazita (élősködő): életciklusa jelentős részét egy gazdaegyedben/gazdaegyeden éli, abból táplálkozik, csökkenti annak túlélési és szaporodási esélyeit, esetleg betegségeket is okozhat. Rendszerint nem ölik meg a gazdát.

Zsákmányolás

Zsákmányolás -példa

Zsákmányolás modellezése „Predátor - Predator”: Nt= Nt-1* f(T)*R (1 -(N/K)) K=a*Npréda „Préda - Prey”: Nt= Nt-1* f(T)*R (1 -(N/K))*(1 -(Predátor/Nt)) Ahol, „a” egy „egység-átalakító”, b egy paraméter

Kommenzalizmusasztalközösség (+, 0) �Az állatok együttélésének az a formája, amelyben valamely állat egy másiknak a testén vagy a testében úgy élősködik, hogy annak nem okoz semmiféle kárt �Tipikus kommenzalista kapcsolat a nagyobb ragadozók és a körülöttük élő, azok táplálkozási maradékait fogyasztó populációk. �Afrikában például az oroszlánok zsákmánymaradványait („asztalról lehullott maradék”) különböző keselyű- és sakálfajok, a foltos hiéna, marabu stb. fogyasztják el.

Amenzalizmus (-, 0) �Az egyik populáció egyedei számára közömbös, míg a másikra nézve hátrányos kapcsolat. �Egyes baktériumok és gombák az anyagcseréjük során olyan szerves anyagokat is termelnek, melyek számukra nem is szükségesek, de nem is károsak. Ha azonban ezeket a környezetükbe leadják, ott más populáció egyedeit elpusztítják vagy gátolják azok növekedését, szaporodását. �Megj: Az ilyen anyagcseretermékek az antibiotikumok.

Neutralizmus (0, 0) �Két faj közötti kapcsolatot ír le, melyek kapcsolatban vannak egymással, de nincsenek egymásra hatással – a populációk egymás számára közömbösek. �Nagyon kevés az igazi neutralista kapcsolat. �Modellezésnél nem vesszük figyelembe.

5. Téma Szimulációs kísérlet [Lab 5]

�Lab 5. xlsx hibás �Szimulációk: http: //home. messiah. edu/~deroos/CSC 171/Pred. Prey/PRED. htm http: //www. eduweb. com/portfolio/studyworks/predators 8 a. html

6. Téma Fenológia (fejlődési szakaszok), életciklusok

Fenológia �A növények és az állatok egyedfejlődésében az egymás után bekövetkező szakaszokat figyeli meg. Az egyes szakaszok időpontját és időtartamát rögzítve készül a fenológiai naptár, majd a megfigyeléseket a környezeti tényezőkkel összevetve, a ható okokra lehet következtetni. �A növekedési és fejlődési ciklusok a környezetre jellemző módon alakulnak, az életritmus azonban a növények örökletes tulajdonsága. �Carl von Linné szerint, a növény fejlődése különböző szakaszokra bontható és valamennyi szakasz kezdetét új szerv megjelenése jelzi. Az új szerv jól azonosítható, pl. a virágzás kezdete, az új szárcsomó képződése, stb. �Az új növényi szerv megjelenésének ideje az egyedfejlődést, és a fejlődési ciklusokat is jól jellemezi.

Fenológia, mint a klímaváltozás mutatója �Mivel az ilyen jelenségek nagyon érzékenyek az apróbb változásokra, főként a hőmérsékletre, a fenológiai feljegyzések hasznosak lehetnek a klímaváltozások és globális felmelegedések elemzésénél. � Abu-Asab és munkatársai (2001) a virágzás első időpontjainak változásait vizsgálták egy 21 éves időszakban (1970 és 1990 között), eredményeik rámutatnak, hogy 44 zárvatermő család 100 faját tekintve a fák többsége 3 -5 nappal korábban virágzott az időszak végén, mint az elején. � Sherry et al (2007) kutatásai viszont arra is rámutatnak, hogy csak azoknak a fajoknak a virágzása tolódik előbbre, amik a nyári hőség tetőzése előtt virágzanak, a későbbiek virágzása kifejezetten késik. �Látható, hogy az ökológiai alapjelenségek közül a klímaváltozás legerőteljesebben az egyes fajok fenológiai viszonyait formálja át.

Fenológia �A fenológiai fázisok tartamának hosszában a különböző meteorológiai elemek, így a hőmérséklet, a csapadék és a napsugárzás játszanak kiemelt szerepet �A vegetációs periódus alatt az 5 o. C fokos napi átlaghőmérséklet feletti időszakot tekintik. A vegetációs időszak hossza Magyarországon 220 -260 nap, amely az ország déli, délkeleti területein kezdődik a legkorábban (március 10. -15. ) és az ország északi, északkeleti területein tart a legtovább (október 20. -30. ).

Életciklus �Az életciklus (life cycle) egy időszak, amely magába foglalja a faj összes különböző generációit, melyek egymást követik a szaporodás által, akár ivaros vagy ivartalan szaporodásról van szó. �Az életciklus-élettörténet (life history): A kulcsesemények sorrendje és időtartama a természetes kiválogatódás által van kialakítva annak érdekében, hogy minél több túlélő utódot hozzanak a világra. Ezek az események, főként a fiatalkori fejlődés, nemi érettség, az első reprodukció, utódok száma, szülői erőbefektetés, öregedés, elhalálozás a szervezet fizikai és ökológiai környezetétől függnek. �Például a csendes óceáni lazac több ezer ikrát rak le egyszerre majd utána elpusztul. Ellenben az emberrel, aki csak pár utódot hoz a világra.

Példa: alma életszakaszai A kezdeti növekedés időszaka: a telepítéstől a termőrefordulásig terjedő időszakot öleli fel. Ebben az időszakban a teherbíró korona kialakítása, valamint az alakító időszak lerövidítése az elsődleges cél. A növekedési időszak az alanytól, a fajtától, a koronaformától és a termesztés intenzitásától függően 2 -5 évig tart. � A termő időszak: a vegetatív növekedés csökkenő mértékű és fokozatosan a generatív jelleg érvényesül. Az ágak, a hajtások erőteljesen nőnek még, a termésmennyiség emelkedik. � A termőegyensúly időszaka: Az ültetvény leghosszabb életszakasza amelyben a vegetatív növekedés és a terméshozás összhangban van. A termőegyensúly időszaka az alanytól, a fajtától, a koronaformától és a termesztés intenzitásától függően a 4 -6 és a 12 -30 éves kor közötti időszak. � A csökkenő termés időszaka: A csökkenő termés időszakában a növekedés egyre kisebb mértékű, melynek következtében a generatív teljesítőképesség is egyre csökken. Ezt követően a fa fokozatosan elöregszik majd elhal. GATE Kertészeti Tanszék honlapjáról származó információk

Példa: alma évi biológiai ciklusa � A vegetációs időszak fontosabb fenológiai szakaszai: � kihajtás (rügyduzzadástól a levelesedésig), � virágzás (termőrügyduzzadástól a sziromhullásig), � gyümölcsnövekedés (3 jól elkülöníthető fejlődési szakasz), � gyümölcshullás (termékenyüléstől az érésig), � gyümölcsérés (színeződés kezdetétől a túlérésig), � rügydifferenciálódás (termőrügyek kialakulásától a mikro- és makrosporogenezisig), � hajtásnövekedés és � lombhullás fenológiai szakaszai is több, ú. n. fenológiai fázisra bonthatók. � A nyugalmi időszak fenofázisai: � Mélynyugalom (lombhullástól körülbelül január közepéig) � Kényszernyugalom (januártól rügyfakadásig) GATE Kertészeti Tanszék honlapjáról származó információk

Zöldbab életciklusa

Lepke életciklusa

Béka életciklusa

Fenológiai szakaszok

Fenológiai naptárok

Egyszerű fenológiai modell �A hőösszeg számítását de Candolle az 1860 -as években vezette be �BT (Base Temperature): Bázishőmérséklet: Ha a hőmérséklet átlépi ezt az értéket, akkor az életfolyamat kezdetét veszi. (A bázishőmérsékletnél magasabb napi középhőmérsékletű napokat tenyésznapoknak nevezzük) �EHU (Effective Heat Unit): Effektív hőmérséklet-egyég = napi átlaghőmérséklet – bázishőmérséklet. Ha pozitív szám ez az érték, ha negatív, akkor az értéke 0. �EDD (Effective Degree-Days): Effektív hő = EHU-k összege a kezdőnaptól. �Kezdőnap: Az a nap az év folyamán, amikor a hőmérséklet túllép egy meghatározott értéket. �Indikátor EDD érték: egy érték, ami a specifikus fenológiai szakasz bekövetkezését jelöli (ez mit takar, mit jelent? )

Egyszerű fenológiai modell �Az élőlény biológiai órája nem a valós idő, hanem az effektív hőösszegek skálája mentén működik. Vagyis például a cseresznyefa akkor kezdi el a virágzást, amikor a 10 fok feletti effektív hőösszeg elér egy bizonyos értéket (mondjuk 250 -et). Ez az érték az indikátor. EDD. Ha melegebb van, akkor gyorsabban jár a biológiai óra, ha hidegebb van akkor lassabban, ezt modellezzük ezzel a hőösszegszámításos eljárással.

Termesztett növények báziskhőmérsékletei

EHU = IF( Daily Mean Temperature – Base Temperature >0; Daily Mean Temperature – Base Temperature ; 0) Starting. D =IF(EHU>Starting. T; 1; IF(Starting. Dt-1> 0; 1; 0)) Real. EHU =EHU*Starting. D EDD =SUM(1 st. Real. EHU: actual. Real. EHU) Phase =IF(EDD>ind. EDD; 2; 1)

6. Téma Szimulációs kísérlet [Lab 6]

Fenológiai modulba ágyazott növekedési modell

EHU =HA(B 3 -$Q$9>0; B 3 -$Q$9; 0) Starting. D =HA(D 3>$Q$15; 1; HA(E 2>0; 1; 0)) Real. EHU =D 3*E 3 EDD =SZUM($F$3: F 3) Phase =HA(G 3>$Q$12; 2; 1)

Fenológiai modulba ágyazott növekedési modell A bázishőmérséklet értéke 283, ezt vonjuk ki az aktuális hőmérsékletből, és ha ez az érték nagyobb, mint 15, akkor elkezdjük a hőmérsékletkülönbségeket összegezni, és ha ez átlépi az 500 -at, akkor másik fázisba lépünk át.

7. Téma Paraméterbecslés: felület a megfigyelt adatok és a szimuláció közt

Stratégiai modelltől a taktikai modellig �Ismétlés: � a) taktikai (prediktív): ha a modellezés célja valamilyen gyakorlati jellegű probléma megoldása kapcsán predikciók (megalapozott jóslatok, prognózisok, előrejelzések) készítése. �b) stratégiai (demonstratív): ha a modell célja valamilyen jelenség összefüggéseinek demonstrációja, tudományos kutatási vagy oktatási esetleg álláspontkifejtési célból.

Stratégiai modelltől a taktikai modellig �Ha már van egy stratégiai determinisztikus szimulációs modellünk a vizsgált ökoszisztémáról, felhasználhatjuk az elméleti lehetőségek megállapítására, de nem tudjuk felhasználni a valós ökoszisztéma megjóslására, előjelzésére. �Ebben az esetben át kell alakítanunk a stratégiai modellünket taktikaivá. �A modellünket az igazi megfigyelt adatokhoz kell igazítanunk, a modell paramétereinek becslésével és hozzáigazításával. �Ha ez a szabályozott (hozzáigazított) modellünk alkalmas valós idejű sorozatok leírására, akkor a modellünket érvényesíthetjük (validálhatjuk) további adatokkal vagy kísérletekkel, és érdemes elemezni a modell karakterisztikáit. �Az illesztett, beállított, validált és jól ismert modellünk alkalmas lesz gyakorlati célokra (valós jóslás, előjelzés)

A modell terepadatokhoz igazításának fontosabb lépései � 1) A szakértői becslés alapján megbecsüljük a modell paramétereit (irodalomra, általános tudásra vagy előző kísérletekre alapozva, esetleg saját tapasztalat alapján). � 2) Megfelelő időn keresztül megfigyeljük a modellünk bemeneti és kimeneti értékeit. � 3) Megtaláljuk a szükséges indikátort, ami számbelileg kifejezhető, ez tulajdonképpen a modell előrejelzése és a megfigyelt adatok közti különbség (például négyzetösszegek, euklideszi távolság) � 4) Optimalizációs algoritmus segítségével (pl: MS Solver) hozzáillesztjük a modellünket az empirikus (megfigyelt) idősorokhoz a paraméterek (bizonyos határok közötti) beállításával – ezeket becsültük meg az első lépésben. A célfüggvényünk lesz az indikátor (négyzetekösszegek), melynek célja, hogy csökkentse az értékét a módosítható paraméterek változtatásával az adott feltételek mentén. � Megj: A célcellában van a célfüggvény, ami jelen esetben a modell és a valóság közötti eltérésnégyzetösszeg. A modell általunk kijelölt paramétereit a Solver az általunk meghatározott intervallumokon belül fogja változtatni mindaddig ameddig a célfüggvény értéke minimális nem lesz. Ha már bármelyik paraméter bármilyen változtatása csak ront a dolgon, akkor az algoritmus leáll, mert megtalálta az optimumot.

7. Téma Szimulációs kísérlet [Lab 7]

A modell igazítása MS Solver segítségével � 1) Van egy ökoszisztémánk, mint a 3 -as példában

A modell igazítása MS Solver segítségével � 2) Hozzáadjuk a megfigyelt adatokat (D oszlop)

A modell igazítása MS Solver segítségével � 3) Kiszámoljuk a négyzetes különbséget, és a négyzetes összegeket (E oszlop és K 2 cella)

A modell igazítása MS Solver segítségével � 3) Kiszámoljuk a négyzetes különbséget, és a négyzetes összegeket (E oszlop és K 2 cella)

A modell igazítása MS Solver segítségével � 4) Meghatározzuk a változó modellparamétereket, és megbecsüljük a lehetséges intervallumokat, mint korlátozó feltételt. Paraméter Eredeti érték Minimális érték Maximális érték r 1. 1 1. 01 2. 5 K 1000000 100000 3000000 Topt 298 K 295 K 300 K

A modell igazítása MS Solver segítségével � 5) MS Solver beállítása (Data / Solver opció)

A modell igazítása MS Solver segítségével � 6) Elvégezzük az optimalizációt a MS Solver segítségével

8. Téma Ökológiai kockázatanalízis

Kockázat �A kockázat valamilyen folyamat, tevékenység, aktivitás esetén a veszteség vagy veszély esélyét jelenti. �A kockázat kétféleképp definiálható: � 1) Annak az esélye, hogy valami történik megszorozva a költséggel (Kockázat = valószínűség * kár) � 2) A valószínűsége vagy fenyegetettsége a számszerűsíthető kárnak, sérülésnek, veszteségnek vagy bármilyen más negatív eseménynek, amit külső vagy belső biztonsági rések okoznak. Ezek akár megelőzhetőek megelőző intézkedésekkel (Kockázat = kár valószínűsége)

Ökológiai kockázatanalízis (kockázatelemzés) � 1) Azonosítjuk a folyamat lehetséges kimeneteit � 2) Számszerűsítjük minden lehetséges kimenet értékét (kár értéke) � 3) Megbecsüljük minden lehetséges kimenet valószínűségét (hogy milyen valószínűséggel következnek be) �Sztochasztikus szimulációs modelleket használhatunk: � a lehetséges kimenetek azonosítására � a bekövetkező károk számszerűsítésére � valószínűségek becslésére �A sztochasztikus szimuláció alkalmazását a kockázatelemzésben Monte Carlo módszernek nevezzük.

Hogyan tudunk sztochasztikus ökoszisztémamodellt kialakítani, és hogyan tudjuk használni? � 1) Szükségünk van egy validált (érvényesített), tesztelt, jól működő determinisztikus szimulációs modellre. � 2) Megbecsülhetjük a bizonytalanság fokát a bemeneti adatok esetében (modell paraméterei). � 3) Minden bemenő adathoz vagy paraméterhez egy-egy véletlenszámfüggvényt rendelünk, ami megfelel a bizonytalanság fokának. � 4) Több szimulációs kísérletet végzünk különböző sorozatokkal, és elemezzük az eredményeket.

Véletlenszám a MS Excelben �Az Excel függvények között található egy véletlenszámokat előállító függvény, amely 0 és 1 közti számokat ad eredményül egyenletes eloszlásban. �A szintakszisa: =RAND() vagy =RND() vagy VÉL(). Ez változó az Excel nyelvi beállításai alapján. �A véletlenszámot két érték közé szeretnénk szoritani, akkor a RANDBETWEEN-nel tehetjük meg (pl 1és 10 között): =RANDBETWEEN(1, 10) �Vagy használhatjuk ezt a formáját is: (4*RAND()-2). �Léteznek további bővítmények, amivel más eloszlású véletlenszámokat is tudunk generálni (pl. Kutools)

8. Téma Szimulációs kísérlet [Lab 8]

Sztochasztikus szimuláció véletlenszámokkal �A 3 -as gyakorlatban ismertetett modellt fogjuk használni. �A hőmérsékletet generáló részt az alábbi résszel egészítjük ki: T(t)= a*sin(b*t+c)+d +(RAND()-0. 5)

Sztochasztikus szimuláció véletlenszámokkal

Sztochasztikus szimuláció véletlenszámokkal �Az F 9 billentyű lenyomásával bármikor újra tudjuk generálni a véletlenszámokat. Ilyen különböző idősorokat tudunk kapni:

Sztochasztikus szimuláció véletlenszámokkal �És ilyen különböző eredményeket: