Binmio de Newton n Desenvolvimento de x y

Binômio de Newton n Desenvolvimento de (x + y) Termo geral Coeficientes Expoentes

Desenvolvimento de (x + y)n Observando as identidades (x + y)0 = 1(x + y)1 = 1. x + 1. y (x + y)2 = 1. x 2 + 2. xy + 1. y 2 (x + y)3 = 1. x 3 + 3. x 2 y + 3. xy 2 + 1. Y 3 nota-se que, nas parcelas de cada desenvolvimento: a) as potências de x aparecem com expoentes em ordem decrescente; b) as potências de y aparecem com expoentes em ordem crescente; c) os coeficientes numéricos coincidem com os elementos das linhas do Triângulo de Pascal.

Teorema do Binômio de Newton a) Sendo x e y dois números reais e n um número natural, demonstra-se que: b) Utilizando o símbolo de somatório, pode-se também escrever: c) Número de parcelas: o desenvolvimento de (x + y)n tem n + 1 parcelas.

c) Observando que (x – y)n = [x + (– y)n] e que (– y)0 = y 0, (– y)1 = – y 1, (– y)2 = y 2, – y)3 = – y 3 etc. , temos: (

Termo geral Podemos concluir que o termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n feito segundo os expoentes decrescentes de x, é: É importante observar que, no desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo expoentes crescentes de x, o termo de ordem k + 1 é:

Soma dos coeficientes A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (ax + by)n, com a e b constantes, obtém-se fazendo x = y = 1. A soma vale, portanto, (a. 1 + b. 1) n, ou seja, (a + b)n. Exercícios Resolvidos 1. quarto termo do desenvolvimento de (2 x + y)8, feito segundo os expoentes decrescentes de x, é igual a: a) 56 x 5 y 3 Resolução b)36 x 3 y 5 c) 1792 x 5 y 3 1792 x 3 y 5 2240 x 4 y 4

a) o termo médio. b) o termo independente de x. Resolução a) Como o desenvolvimento tem 10 + 1 = 11 termos, o termo médio é o sexto.

Exercícios Propostos Nas questões de 1 a 9, desenvolver:

11) Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x + 2 y)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x. Solução Solução: