Bijekcija funkcije Prole kolske godine Ana Ivana i

Bijekcija funkcije

Prošle školske godine Ana, Ivana i Petar bili su redom na natjecanje iz matematike, fizike i kemije! A m f I P k

Možemo poopćiti: • Ako je svakom elementu x iz skupa A pridružen po jedan element y iz skupa B onda kažemo da je zadana funkcija f iz skupa A u skup B i pišemo f: A B f y=f(x) x y Y je SLIKA od x B A Domena (područje definicije funkcije) Kodomena (područje vrijednosti funkcije)

Promotrimo slijedeći slučaj! Svakom elementu skupa A pridružen je točno određeni element iz skupa B! A B Funkcija f : A B je INJEKCIJA ako ona različite elemente iz skupa A preslikava u različite elemente iz skupa B. tj. odnosno f: A B je injekcija kada vrijedi

Neka je s : N N funkcija koja svakom prirodnom broju n pridružuje njegov slijedbenik. 4 3 3 2 2 1 1 N N • Vidimo da za svaka 2 prirodna broja postoji slijedbenik! Funkcija s: N N je INJEKCIJA

Da li je slijedeće pridruživanje injekcija? A NE!! B Stoga jer su različiti elementi iz skupa A preslikani u iste elemente iz skupa B

Promotrimo slijedeću ilustraciju! A Surjektivno preslikavanje B Funkcija f : A B je SURJEKCIJA sa A u B ako za svaki element y iz skupa B postoji barem jedan element x iz skupa A takav da je

Da li je slijedeće pridruživanje surjekcija? A NE!! B Funkcija nije surjekcije budući da nije svakom elementu y iz skupa B pridružen jedan elemenat x iz skupa A.

Promotrimo ponovo ilustraciju s početka ! A m f I k P Ukoliko preslikavanje f : A B ima oba svojstva tj. ako za funkciju vrijedi da je i injekcija i surjekcija tada kažemo da je funkcija BIJEKCIJA

Pogledajmo slijedeće preslikavanje f : N M 2 n-1 n 5 3 3 2 1 1 M N Skup prirodnih brojeva Skup neparnih prirodnih brojeva • Oba skupa imaju jednako elemenata! Različiti elementi iz N preslikani su u različite elemente skupa M ! Za svaki elemenat iz skupa M postoji barem jedan elemenat iz skupa N ! Funkcija je bijekcija!!

ZAKLJUČIMO! • Funkcija f : A B je BIJEKCIJA ako je injekcija i surjekcija

• Zadatak 1: Funkcija f : N a) b) c) N zadana je formulom f(x)=2 x-1 Je li f injekcija? Je li f surjekcija? Je li f bijekcija?

c) Je li f injekcija? Kako je , tj. povlači Funkcija je injekcija! d) Je li f surjekcija? Neka je y iz skupa N, takav da vrijedi tada je i pišemo: , a Funkcija surjekcija! e) Kako je funkcija i injekcija i surjekcija , onda je funkcija bijekcija!

Zadaci za vježbu i domaći rad: 1. Funkcija f : Q->Q zadana je formulom f(x)= x+5 a) Je li funkcija injekcija? b) Je li funkcija surjekcija? c) Je li funkcija bijekcija? 2. Funkcija f : Q->Q zadana je formulom f(x)= 2 x a) Je li funkcija injekcija? b) Je li funkcija surjekcija? c) Je li funkcija bijekcija? 3. Funkcija f : Q->Q zadana je formulom f(x)= -2 x+1 a) Je li funkcija injekcija? b) Je li funkcija surjekcija? c) Je li funkcija bijekcija?