Biimsel Diller ve Soyut Makineler 1 Temel Mantk

Biçimsel Diller ve Soyut Makineler 1

Temel Mantık Önerme Doğru yada yanlış değerlerinden ancak ve ancak birini alabilen, aynı anda bu iki değeri birden alamayan ifadelere önerme denir. Bir önermenin doğruluğunu Doğru (True - T) ve yanlışlığını Yanlış (False – F ) ile gösterebiliriz. 2

Temel Mantık Bir önermenin tersi önermenin gösterildiği harfin üzerine ‘ sembolü ile gösterilir. 3 p P’ T F F T

Ve-Veya Eğer iki basit önerme aralarında VE işlemi ile bağlanıyorsa buna iki önermenin kesişimi (conjunction) denir ve p q ile gösterilir. Eğer iki basit önerme aralarında VEYA işlemi ile bağlanıyorsa buna iki önermenin kesişimi (disconjunction) denir ve p q ile gösterilir. 4

Koşullu Önerme p önermesinin q önermesi için yeterli şart ve q önermesinin ise p için gerekli şart olduğu önermeye koşullu önerme denir. Koşullu önerme p→q biçiminde gösterilir. 5 p q p→q T T F F F T T F F T

Çift Yönlü Koşullu Önerme Çift yönlü koşullu önerme p↔q ile gösterilir ve p↔q’ nun doğru olabilmesi için p ve q’ nun ikisinin de aynı doğruluk değerine sahip olması gerekir. Doğruluk tablosu aşağıda gösterilmiştir. 6 p q p↔q T T F F F T

Mantıksal Eşdeğerlilik Aynılık Özelliği: p p p o o Değişme Özelliği: p q q p p→q q→p o o o 7

Mantıksal Eşdeğerlilik Birleşme Özelliği (p q) r p (q r) (p. Vq)Vr p. V(q. Vr) (p→q)→r p→(q→r) o o o Dağılma özelliği p v ( q r) = (p v q) (p v r) p ( q v r) = (p q) v (p r) o o 8

Mantıksal Eşdeğerlilik De Morgan Kuralları p ve q önermeleri için; (p v q)' = p' q' (p Ù q)' = p' v q' o o o 9

Kümeler Küme: Ortak özellikli elemanlar topluluğu 10

Küme Gösterimleri C = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } C = { a, b, …, k } Sonlu (finite)set S = { 2, 4, 6, … } Sonsuz (infinite) set S = { j : j > 0, ve j = 2 k , k>0 } S = { j : j, pozitif ve çift sayıdır } 11

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } U A 6 1 7 2 4 10 Evrensel Küme: 5 9 olası bütün elemanlar U = { 1 , … , 10 } 12 8 3

Küme işlemleri A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3, 4, 5} Birleşim (Union) A U B = { 1, 2, 3, 4, 5 } B A 2 3 1 Kesişim (Intersection) A B = { 2, 3 } 4 2 3 U Venn şeması Fark (Difference) A-B={1} B - 13 A = { 4, 5 } 1 5

Tümleyen Evrensel Küme= {1, …, 7} A = { 1, 2, 3 } 4 A = { 4, 5, 6, 7} A 1 5 A 2 7 A=A 14 6 3

{ çift tamsayılar} = { tek tamsayılar} tamsayılar 1 odd 2 3 15 even 0 4 5 6 7

De. Morgan Kuralları 16 U AUB=A B B=AUB

Boş küme: ={} SU =S S = U S- =S -S= 17 = Evrensel Küme

Alt küme A = { 1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5 } A B U Kapsama: U A B B A 18

Ayrık Kümeler A = { 1, 2, 3 } A 19 U A B = { 5, 6} B= B

Eleman sayısı A = { 12, 15, 17 } |A| = 3 20

Alt kümeler S = { a, b, c } 2 S = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Alt Küme sayısı: | 2 S | = 2|S| 21 ( 8 = 23 )

Kartezyen Çarpım A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 } A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) } |A X B| = |A| |B| AXBX…XZ 22

Fonksiyon domain 4 5 A 1 2 3 range f(1) = a a b f : A -> B 23 B c

Bağıntılar R = {(x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), …} x i R yi e. g. if R = ‘>’: 2 > 1, 3 > 2, 3 > 1 24

Eşdeğer bağıntılar • Reflexive: x. Rx • Symmetric: x. Ry • Transitive: x R y and y R z y. Rx Örnek: R = ‘=‘ • x=x • x=y • x = y and y = z 25 y=x x=z x. Rz

Graflar Yönlü graf e b Düğüm d a kenar c • Düğümler (Vertices) V = { a, b, c, d, e } • Kenarlar E = { (a, b), (b, c), (b, e), (c, a), (c, e), (d, c), (e, b), (e, d) } 26

Etiketli Graflar 2 6 a 27 b 1 5 3 c e 6 2 d

Yol e b d a c Yol (e, d), (d, c), (c, a) 28

Path e b d a c Path: Hiçbir düğümün tekrarlanmadığı alternatif Yol Simple path: hiçbir düğüm ve kenarın tekrarlanmadığı paralel kenarların bulunmadığı yol 29

Döngü (Cycle) base a 3 2 e b 1 d c Cycle: Bir düğümden çıkıp tekrar kendine dönen kenar Simple cycle: sadece taban düğüm tekrarlanır 30

Euler Halkası 8 b 4 a 7 3 6 5 base e 1 2 d c Tüm kenarlardan sadece birkez geçilerek oluşan Başlangıç ve bitiş düğümleri farklı olan Yola Euler yolu denir. Eğer başlangıç be bitiş düğümü farklı ise buna Euler Halkası denir. 31

Hamiltonian Cycle b 4 a 5 3 base e 1 2 d c Bütün düğümleri içeren basit bir döngü 32

33