BI TON TI U T HP Ni dung

BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔ HỢP

Nội dung • 1. Phát biểu bài toán • 2. Duyệt toàn bộ • 3. Thuật toán nhánh cận

1. Phát biểu bài toán • • 1. 1. Bài toán tổng quát 1. 2. Bài toán người du lịch 1. 3. Bài toán cái túi 1. 4. Bài toán đóng thùng

• Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng thực tế của tổ hợp, các cấu hình tổ hợp được gán cho một giá trị bằng số đánh giá trị sử dụng của cấu hình đối với mục đích sử dụng cụ thể nào đó. Khi đó xuất hiện bài toán: Hãy lựa chọn trong số các cấu hình tổ hợp chấp nhận được cấu hình có giá trị sử dụng tốt nhất. Các bài toán như vậy chúng ta sẽ gọi là bài toán tối ưu tổ hợp.

Phát biểu bài toán • D íid¹ng tæng qu¸t bµi to¸n tèi utæ hîp cã thÓ ph¸t biÓu nh sau: T×m cùc tiÓu (hay cùc ®¹i) cña phiÕm hµm f(x) min (max), víi ®iÒu kiÖn x D, trong ®ã D lµ tËp h÷u h¹n phÇn tö.

Các thuật ngữ • • f(x) - hàm mục tiêu của bài toán, x D - phương án D - tập các phương án của bài toán. Thông ưưthường tập D được mô tả như là tập các cấu hình tổ hợp thoả mãn một số tính chất cho trước nào đó. • Phương án x* D đem lại giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) cho hàm mục tiêu đưược gọi là phương án tối ưu, khi đó giá trị f* = f(x*) đưược gọi là giá trị tối ưu của bài toán.

1. Phát biểu bài toán • • 1. 1. Bài toán tổng quát 1. 2. Bài toán người du lịch 1. 3. Bài toán cái túi 1. 4. Bài toán đóng thùng

Bµi to¸n ng êi du lÞch (Traveling Salesman Problem – TSP) • Một người du lịch muốn đi tham quan n thành phố T 1, T 2, . . . , Tn. • Hành trỡnh là cỏch đi xuất phát từ một thành phố nào đó đi qua tất cả các thành phố còn lại, mỗi thành phố đúng một lần, rồi quay trở lại thành phố xuất phát. • Biết cij là chi phí đi từ thành phố Ti đến thành phố Tj (i, j = 1, 2, . . . , n), • Tìm hành trình với tổng chi phí là nhỏ nhất.

Sơ lược về lịch sử • The origins of the TSP are obscure. In the 1920's, the mathematician and economist Karl Menger publicized it among his colleagues in Vienna. • In the 1930's, the problem reappeared in the mathematical circles of Princeton. • In the 1940's, it was studied by statisticians (Mahalanobis (1940), Jessen (1942), Gosh (1948), Marks (1948)) in connection with an agricultural application and the mathematician Merill Flood popularized it among his colleagues at the RAND Corporation. Eventually, the TSP gained notoriety as the prototype of a hard problem in combinatorial optimization: examining the tours one by one is out of the question because of their large number, and no other idea was on the horizon for a long time. • New history with George Dantzig, Ray Fulkerson, and Selmer Johnson's 1954 breakthrough.

• Khi đó bài toán người du lịch có thể phát biểu dưới dạng bài toán tối ưu tổ hợp sau: • min { f( ) : }. • Có thể thấy rằng tổng số hành trình của người du lịch là n!, trong đó chỉ có (n-1)! hành trình thực sự khác nhau (bởi vì có thể xuất phát từ một thành phố bất kỳ, nên có thể cố định một thành phố nào đó là thành phố xuất phát).

1. Phát biểu bài toán • • 1. 1. Bài toán tổng quát 1. 2. Bài toán người du lịch 1. 3. Bài toán cái túi 1. 4. Bài toán đóng thùng

Bài toán cái túi (Knapsack Problem) • Một nhà thám hiểm cần đem theo một cái túi có trọng lượng không quá b. • Có n đồ vật có thể đem theo. Đồ vật thứ j có – trọng lượng là aj và – giá trị sử dụng là cj (j = 1, 2, . . . , n). • Hỏi rằng nhà thám hiểm cần đem theo các đồ vật nào để cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật đem theo là lớn nhất?

Phát biểu bài toán • Một phương án đem đồ của nhà thám hiểm có thể biểu diễn bởi vectơ nhị phân độ dài n: x = (x 1, x 2, . . . , xn), trong đó xj = 1 nếu đồ vật thứ j được đem theo và xj = 0 nếu trái lại. • Với phương án x, giá trị đồ vật đem theo là • tổng trọng lượng đồ vật đem theo là

Bài toán cái túi • Bài toán cái túi có thể phát biểu dưới dạng bài toán tối ưu tổ hợp sau: • Trong số các vectơ nhị phân độ dài n thoả mãn điều kiện g(x) b, hãy tìm vectơ x* cho giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu f(x): max { f(x): x Bn, g(x) b }.

1. Phát biểu bài toán • • 1. 1. Bài toán tổng quát 1. 2. Bài toán người du lịch 1. 3. Bài toán cái túi 1. 4. Bài toán đóng thùng

Bµi to¸n ®ãng thïng (Bin Packing) • Có n đồ vật với trọng lượng là w 1, w 2, . . . , wn. Cần tìm cách xếp các đồ vật này vào các cái thùng có cùng dung lượng là b sao cho số thùng cần sử dụng là nhỏ nhất có thể được.

Phát biểu bài toán • Ta có thể giả thiết là wi b, i = 1, 2, . . , n. • Do đó số thùng cần sử dụng để chứa tất cả các đồ vật là không quá n. Vấn đề là cần số thùng ít nhất. Ta sẽ mở sẵn n cái thùng. Bài toán đặt ra là hãy xác định xem mỗi một trong số n đồ vật cần được xếp vào cái thùng nào trong số n cái thùng đã mở để cho số thùng chứa đồ là ít nhất.

Bài toán đóng thùng • Đưa vào biến Bun xij = 1, nếu đồ vật i được xếp vào thùng j, 0, nếu trái lại. Khi đó bài toán đóng thùng có thể phát biểu dưới dạng:

2. DUYỆT TOÀN BỘ

NỘI DUNG 2. 1. Mô tả phương pháp 2. 2. Ví dụ áp dụng: Bài toán cái túi

Mô tả phương pháp • Một trong những phương pháp hiển nhiên nhất để giải bài toán tối ưu tổ hợp đặt ra là: Trên cơ sở các thuật toán liệt kê tổ hợp ta tiến hành duyệt từng phương án của bài toán, đối với mỗi phương án ta đều tính giá trị hàm mục tiêu tại nó, sau đó so sánh giá trị hàm mục tiêu tại tất cả các phương án được liệt kê để tìm ra phương án tối ưu. • Phương pháp xây dựng theo nguyên tắc như vậy có tên gọi là phương pháp duyệt toàn bộ.

NỘI DUNG 2. 1. Mô tả phương pháp 2. 2. Ví dụ áp dụng: Bài toán cái túi

Ví dụ: Giải bài toán cái túi • Xét bài toán cái túi: Ø cj , wj, b là các số nguyên dương, j=1, 2, …, n. Ø CÇn D cã thuËt to¸n liÖt kª c¸c phÇn tö cña

Thuật toán quay lui liệt kê các phương án chất đồ • Xây dựng Sk: S 1={ 0, t 1 }, với t 1=1 nếu b w 1; t 1 = 0, nếu trái lại • Giả sử đã có phương án (x 1, …, xk-1). Khi đó Dung lượng còn lại là: bk-1= b - w 1 x 1 - …-wk-1 xk-1 Giá trị của các đồ vật chất vào túi là fk-1= c 1 x 1 + … + ck-1 xk-1 Do đó: Sk = {0, tk}, với tk=1 nếu bk-1 wk; tk = 0, nếu trái lại • Mô tả Sk? For y : = 0 to tk do

Chương trình trên Pascal type arrint= array[1. . 20] of integer; var x, xopt, c, w: arrint; n, b, bk, fopt: integer; procedure Nhapdl; var i: integer; begin {Nhập vào n, c, w, b} end; procedure Inkq; var j; begin {Phương án tối ưu: xopt; Giá trị tối ưu: fopt } end;

procedure KP(i: integer); BEGIN {Main program} var j, t: integer; Nhapdl; begin bk: =b; if bk>=w[i] then t: =1 else t: =0; fk: = 0; for j : = t downto 0 do begin fopt: = 0; x[i] : = j; bk: = bk-w[i]*x[i]; KP(1); fk: = fk + c[i]*x[i]; In. Kq if i = n then begin END. if fk>fopt then begin xopt: =x; fopt: =fk; end else KP(i+1); bk: = bk+w[i]*x[i]; fk: = fk - c[i]*x[i]; end;

Bình luận • Duyệt toàn bộ là khó có thể thực hiện được ngay cả trên những máy tính điện tử hiện đại nhất. Ví dụ để liệt kê hết 15! = 1 307 674 368 000 hoán vị trên máy tính điện tử với tốc độ tính toán 1 tỷ phép tính một giây, nếu để liệt kê một hoán vị cần phải làm 100 phép tính, thì ta cần một khoảng thời gian là 130767 giây > 36 tiếng đồng hồ! • 20! ===> 7645 năm

• Vì vậy cần phải có những biện pháp nhằm hạn chế việc tìm kiếm thì mới có hy vọng giải được các bài toán tối ưu tổ hợp thực tế. Tất nhiên để có thể đề ra những biện pháp như vậy cần phải nghiên cứu kỹ tính chất của bài toán tối ưu tổ hợp cụ thể. • Nhờ những nghiên cứu như vậy, trong một số trường hợp cụ thể ta có thể xây dựng những thuật toán hiệu quả để giải bài toán đặt ra.

• Tuy nhiên phải nhấn mạnh rằng trong nhiều trường hợp (ví dụ trong các bài toán người du lịch, bài toán cái túi, bài toán đóng thùng) chúng ta chưa thể xây dựng được phương pháp hữu hiệu nào khác ngoài phương pháp duyệt toàn bộ.

• Khi đó, một vấn đề đặt ra là trong quá trình liệt kê lời giải ta cần tận dụng các thông tin đã tìm được để loại bỏ những phương án chắc chắn không phải là tối ưu. • Trong mục tiếp theo chúng ta sẽ xét một sơ đồ tìm kiếm như vậy để giải các bài toán tối ưu tổ hợp mà trong tài liệu tham khảo được biết đến với tên gọi: thuật toán nhánh cận.

3. THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN (Branch and Bound Algorithm)

NỘI DUNG • 3. 1. Sơ đồ chung • 3. 2. Bài toán cái túi • 3. 3. Bài toán người du lịch

Sơ đồ chung • Thuật toán bao gồm hai thủ tục: – Phân nhánh (Branching Procedure) – Tính cận (Bounding Procedure) • Phân nhánh: Quá trình phân hoạch tập các phương án ra thành các tập con với kích thước càng ngày càng nhỏ cho đến khi thu được phân hoạch tập các phương án ra thành các tập con một phần tử • Tính cận: Cần đưa ra cách tính cận cho giá trị hàm mục tiêu của bài toán trên mỗi tập con A trong phân hoạch của tập các phương án.

Sơ đồ chung • Ta sẽ mô tả tư tưởng của thuật toán trên mô hình bài toán tối ưu tổ hợp tổng quát sau • min { f(x) : x D }, • trong đó D là tập hữu hạn phần tử. • Giả thiết rằng tập D được mô tả như sau • D = {x = (x 1, x 2, . . . , xn) A 1 A 2 . . . An: • x thoả mãn tính chất P}, • với A 1, A 2, . . . , An là các tập hữu hạn, còn P là tính chất cho trên tích Đề cac A 1 A 2 . . . An.

Nhận xét • Nhận thấy rằng, các bài toán vừa trình bày ở mục 1 đều có thể mô tả dưới dạng bài toán trên. • Yêu cầu về mô tả của tập D là để có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt kê các phương án của bài toán. • Bài toán max {f(x): x D} là tương đương với bài toán min {g(x): x D}, trong đó g(x) = -f(x) • Do đó ta có thể hạn chế ở việc xét bài toán min.

Ph©n nh¸nh • Quá trình phân nhánh được thực hiện nhờ thuật toán quay lui: ( ) D . . .

Ph©n nh¸nh • Như vậy ta có thể đặt tương ứng mỗi phương án bộ phận (a 1, a 2, . . . , ak) với một tập con các phương án của bài toán: D(a 1, . . . , ak)= { x D: xi = ai , i = 1, . . . , k }. • Ở bước tổng quát của thuật toán quay lui ta sẽ làm việc với phương án bộ phận (a 1, a 2, . . . , ak) và xét cách tiếp tục phát triển phương án này. • Điều đó tương đương với việc phân hoạch tập D ra thành các tập con nhỏ hơn.

Ph©n nh¸nh • Quá trình phân nhánh có thể diễn tả như sau: ( ) D(a 1, …, ak) . . . Ø Ta cã ph©n ho¹ch:

Tính cận • Cần có hµm g x¸c ®Þnh trªn tËp tÊt c¶ c¸c ph ¬ng ¸n bé phËn cña bµi to¸n tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc sau: g(a 1, . . . , ak) min{f(x): x D, xi=ai, i=1, . . . , k} (*) víi mỗi lêi gi¶i bé phËn (a 1, a 2, . . . , ak), vµ víi mäi k = 1, 2, . . .

• Bất đẳng thức (*) có nghĩa là giá trị của hàm g tại phương án bộ phận (a 1, a 2, . . . , ak) là không vượt quá giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu của bài toán trên tập con các phương án • D(a 1, . . . , ak)= { x D: xi = ai , i = 1, . . . , k }, • Hay nói một cách khác, g(a 1, a 2, . . . , ak) là cận dưới của giá trị hàm mục tiêu trên tập D(a 1, a 2, . . . , ak).

Cắt nhánh nhờ sử dụng cận dưới • Giả sử đã có hàm g. Ta xét cách sử dụng hàm này để giảm bớt khối lượng duyệt trong quá trình duyệt tất cả các phương án theo thuật toán quay lui. • Trong quá trình liệt kê các phương án có thể đã thu được một số phương án của bài toán. Gọi x là phương án với giá trị hàm mục tiêu nhỏ nhất trong số các phương án đã tìm được, ký hiệu f = f( x ). • Ta sẽ gọi • x là phương án tốt nhất hiện có, • còn f là kỷ lục.

Cắt nhánh nhờ sử dụng cận dưới • • • Giả sử đã có f , khi đó nếu g(a 1, a 2, . . . , ak) > f , thì từ bất đẳng thức (*) suy ra f < g(a 1, . . . , ak) min{f(x): x D(a 1, . . . , ak)}, Vì thế tập D(a 1, . . . , ak) chắc chắn không chứa phương án tối ưu và cú thể loại bỏ khỏi quỏ trỡnh duyệt.

Thuật toán nhánh cận procedure Branch(k); (* Phát triển phương án bộ phận (x 1, x 2, . . . , xk-1) *) begin for ak Ak do if ak Sk then begin xk : = ak; if (k = n) then < Cập nhật kỷ lục> else if g(x 1, . . . , xk) f then Branch(k+1) end;

Thuật toán nhánh cận procedure Branch. And. Bound; begin f : = + ; (* Nếu biết p/án x nào đó thì đặt f = f( x ) *) Branch(1); if f < + then < f là giá trị tối ưu, x là p/án tối ưu > else < bài toán không có phương án >; end;

Chú ý: Sơ đồ duyệt toàn bộ • Chú ý rằng nếu trong thủ tục Branch ta thay câu lệnh if (k = n) then < Cập nhật kỷ lục> else if g(a 1, . . . , ak) f then Branch(k+1) • bởi if (k = n) then < Cập nhật kỷ lục> else Branch(k+1) • thì ta thu được thuật toán duyệt toàn bộ.

Chú ý: • Việc xây dựng hàm g phụ thuộc vào từng bài toán tối ưu tổ hợp cụ thể. Thông thường ta cố gắng xây dựng nó sao cho: – Việc tính giá trị của g phải đơn giản hơn việc giải bài toán tối ưu tổ hợp ở vế phải của (*). – Giá trị của g(a 1, . . . , ak) phải sát với giá trị của vế phải của (*). • Rất tiếc là hai yêu cầu này trong thực tế thường đối lập nhau.

NỘI DUNG • 3. 1. Sơ đồ chung • 3. 2. Bài toán cái túi • 3. 3. Bài toán người du lịch

Bài toán cái túi • Có n loại đồ vật. • Đồ vật loại j có – trọng lượng aj và – giá trị sử dụng là cj (j = 1, 2, . . . , n). • Cần chất các đồ vật này vào một cái túi có trọng lượng là b sao cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật chất trong túi là lớn nhất.

Bài toán cái túi (KP) • Đưa vào biến số xj – số lượng đồ vật loại j được chất vào túi, j=1, 2, . . . , n • Mô hình toán học của bài toán có dạng sau: Tìm trong ®ã Z+ lµ tËp c¸c sè nguyªn kh «ng ©m.

• Ký hiệu D là tập các phương án của bài toán: • Giả thiết rằng các đồ vật được đánh số sao cho bất đẳng thức sau được thoả mãn • c 1 /a 1 c 2 / a 2 . . . cn / an. • (cú nghĩa là cỏc đồ vật được xếp theo thứ tự khụng tăng của giỏ trị một đơn vị trọng lượng)

Xây dựng hàm cận trên • Để xây dựng hàm tính cận trờn, cùng với bài toán cái túi (KP) ta xét bài toán cái túi biến liên tục (KPC) sau đây: Tìm • Mệnh đề. Phương án tối ưu của bài toán KPC là vectơ x = ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) với các thành phần được xác định bởi công thức: • x 1 = b / a 1 , x 2 = x 3 =. . . = xn = 0. • và giá trị tối ưu là g* = c 1 b /a 1.

• Chứng minh. Xét x = (x 1, . . . , xn) là một phương án tuỳ ý của bài toán KPC. Khi đó • cj (c 1 / a 1 ) aj , j = 1, 2, . . . , n • do xj 0, ta suy ra • cj xj (c 1 / a 1 ) aj xj , j = 1, 2, . . . , n • Từ đú ta cú • Mệnh đề được chứng minh.

• Bây giờ, giả sử ta có phương án bộ phận cấp k: (u 1, u 2, . . . , uk). • Khi đó giá trị sử dụng của các đồ vật đang có trong túi là k = c 1 u 1 + c 2 u 2 +. . . + ckuk • và trọng lượng còn lại của cái túi là bk = b – (a 1 u 1 + a 2 u 2 +. . . + akuk).

Tính cận trên • Ta cã • Vậy ta có thể tính cận trên cho phương án bộ phận (u 1, u 2, . . . , uk) bởi công thức g(u 1, u 2, . . . , uk) = k + ck+1 bk / ak+1.

• Chú ý: Khi tiếp tục xây dựng thành phần thứ k+1 của lời giải, các ứng cử viờn cho xk+1 sẽ là 0, 1, . . . , [bk / ak+1 ]. • Do có kết quả của mệnh đề, khi chọn giá trị cho xk+1 ta sẽ duyệt các ứng cử viờn theo thứ tự giảm dần.

Ví dụ • Giải bài toán cái túi sau theo thuật toán nhánh cận vừa trình bày f(x) = 10 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 6 x 4 max, 5 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 8, xj Z+ , j =1, 2, 3, 4. • Chú ý: Trong ví dụ đang xét, các đồ vật đã được xếp theo thứ tự không tăng của giá trị một đơn vị trọng lượng.

• Quá trình giải bài toán được mô tả trong cây tìm kiếm trong hình 1. Thông tin về một phương án bộ phận trên cây được ghi trong các ô trên hình vẽ tương ứng theo thứ tự sau: • các thành phần của phương án, • - giá trị của các đồ vật đang chất trong túi, • w - trọng lượng còn lại của túi • g - cận trên.

f(x) = 10 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 6 x 4 max, 5 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 8, xj Z+ , j =1, 2, 3, 4.

• Kết thúc thuật toán, ta thu được: • Phương án tối ưu: x* = (1, 1, 0, 0), • Giá trị tối ưu: f* = 15.

NỘI DUNG • 3. 1. Sơ đồ chung • 3. 2. Bài toán cái túi • 3. 3. Bài toán người du lịch Sir William Rowan Hamilton 1805 - 1865

• Cố định thành phố xuất phát là T 1, bài toán người du lịch dẫn về bài toán: • Tìm cực tiểu của hàm • f(1, x 2, . . . , xn) = c[1, x 2]+c[x 2, x 3]+. . . +c[xn-1, xn] + c[xn, 1] min, • với điều kiện • (1, x 2, x 3, . . . , xn) là hoán vị của các số 1, 2, . . . , n.

Hàm cận dưới • Ký hiệu • cmin = min { c[i, j] , i, j = 1, 2, . . . , n, i j } là chi phí đi lại nhỏ nhất giữa các thành phố. • Cần đánh giá cận dưới cho phương án bộ phận (1, u 2, . . . , uk) tương ứng với hành trình bộ phận qua k thành phố: • T 1 T(u 2) . . . T(uk-1) T(uk).

Hàm cận dưới • Chi phí phải trả theo hành trình bộ phận này là = c[1, u 2] + c[u 2, u 3] +. . . + c[uk-1, uk]. • Để phát triển thành trình đầy đủ, ta còn phải đi qua n-k+1 đoạn đường nữa, mỗi đoạn có chi phí không ít hơn cmin, nên cận dưới cho phương án bộ phận (1, u 2, . . . , uk) có thể tính theo công thức g(1, u 2, . . . , uk) = + (n-k+1) cmin.

Ví dụ • Giải bài toán người du lịch với ma trận chi phí sau: 0 3 14 18 15 3 0 4 22 20 C = 17 9 0 16 4 9 20 7 0 18 9 15 11 5 0

• Ta có cmin = 3. Quá trình thực hiện thuật toán được mô tả bởi cây tìm kiếm lời giải. • Thông tin được ghi trong các ô trên hình vẽ theo thứ tự sau: • các thành phần của phương án, • là chi phí theo hành trình bộ phận • g - cận dưới.

0 3 14 18 15 C = 3 0 4 22 20 17 9 0 16 4 9 20 7 0 18 9 15 11 5 0

Kết quả • Kết thúc thuật toán, ta thu được phương án tối ưu (1, 2, 3, 5, 4, 1) tương ứng với hành trình T 1 T 2 T 3 T 5 T 4 T 1 , • Chi phí nhỏ nhất là 25.

Kỷ lục về giải bài toán người du lịch

Kỷ lục (Kích thước TSP giải được) 1954 1962 1977 1987 1994 1998 2001 2004 49 33 120 532 666 2392 7397 13509 15112 24978 http: //www. tsp. gatech. edu/index. html

Year Research Team Size of Instance 1954 G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson 49 cities 1971 M. Held and R. M. Karp 64 cities 1975 P. M. Camerini, L. Fratta, and F. Maffioli 67 cities 1977 M. Grötschel 120 cities 1980 H. Crowder and M. W. Padberg 318 cities 1987 M. Padberg and G. Rinaldi 532 cities 1987 M. Grötschel and O. Holland 666 cities 1987 M. Padberg and G. Rinaldi 2, 392 cities 1994 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 7, 397 cities 1998 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 13, 509 cities 2001 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 15, 112 cities 2004 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, and K. Helsgaun 24, 978 cities

The First Big TSP Dantzig, Ray Fulkerson, and Selmer Johnson (1954) published a description of a method for solving the TSP and illustrated the power of this method by solving an instance with 49 cities, an impressive size at that time. They created this instance by picking one city from each of the 48 states in the U. S. A. (Alaska and Hawaii became states only in 1959) and adding Washington, D. C. ; the costs of travel between these cities were defined by road distances. Rather than solving this problem, they solved the 42 -city problem obtained by removing Baltimore, Wilmington, Philadelphia, Newark, New York, Hartford, and Providence. As it turned out, an optimal tour through the 42 cities used the edge joining Washington, D. C. to Boston; since the shortest route between these two cities passes through the seven removed cities, this solution of the 42 -city problem yields a solution of the 49 -city problem.

Procter and Gamble's Contest • Proctor and Gamble ran a contest in 1962. The contest required solving a TSP on a specified 33 cities. There was a tie between many people who found the optimum. An early TSP researcher, Professor Gerald Thompson of Carnegie Mellon University, was one of the winners.

120 Western German Cities • Groetschel (1977) found the optimal tour of 120 cities from what was then West Germany.

532 Locations in America • Padberg and Rinaldi (1987) found the optimal tour of 532 AT&T switch locations in the USA.

666 Cities Worldwide • Groetschel and Holland (1987) found the optimal tour of 666 interesting places in the world.

2, 392 Points • Padberg and Rinaldi (1987) found the optimal tour through a layout of 2, 392 points obtained from Tektronics Incorporated.

7, 397 -city TSP • Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (1994) found the optimal tour for a 7, 397 -city TSP that arose in a programmable logic array application at AT&T Bell Laboratories.

13509 Cities in the USA • Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (1998) found the optimal tour of the 13, 509 cities in the USA with populations greater than 500.

15112 Cities in Germany • Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (2001) found the optimal tour of 15, 112 cities in Germany.

24978 Swedish Cities • Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, and Helsgaun (2004) found the optimal tour of 24, 978 cities in Sweden.

Optimal Tour of Sweden • In May 2004, the traveling salesman problem of visiting all 24, 978 cities in Sweden was solved: a tour of length 855, 597 TSPLIB units (approximately 72, 500 kilometers) was found and it was proven that no shorter tour exists. This is currently the largest solved TSP instance, surpassing the previous record of 15, 112 cities through Germany set in April 2001.

Optimal Tour of Sweden • Research Team – – – David Applegate, AT&T Labs - Research Robert Bixby, ILOG and Rice University Vašek Chvátal, Rutgers University William Cook, Georgia Tech Keld Helsgaun, Roskilde University • Support for this research was provided by the following grants – Office of Naval Research Grant N 00014 -03 -1 -0040, "Experimental Modules for Combinatorial Optimization and Mixed-Integer Programming" – National Science Foundation, Grant DMI-0245609, "Local Cuts in Discrete Optimization and Mixed-Integer Programming"

Finding Sweden Tour • The traveling salesman problem (TSP) asks for the cheapest possible tour through a given collection of cities. Solving the problem means to not only find the best tour but also to prove that no cheaper tour is possible. Early work on the TSP in the 1950 s focused exclusively on the this full solution of the problem. • Starting in the mid-1960 s researchers began to study the relaxed version of the TSP where we ask only for a tour of low cost. This task is much easier, but performing it well is an important ingredient in a full (exact) solution method, as well as being an interesting problem in its own right. Indeed, tour finding is a very popular topic, having a large and growing literature devoted to its various aspects. And like the TSP itself, tour finding has led researchers to discover general purpose search techniques that have found application in many domains. • The Sweden TSP was attacked by a number of groups with some of the top tour-finding methods that have been developed to date. Information on the improvements in the best known tour length can be found in the Sweden Computation Log; the results are summarized in the following table.

Finding Sweden Tour • The final improvement in the tour length was made by Keld Helsgaun using a version of his LKH code. This 855, 597 value was proved to be optimal by the Concorde TSP code.

Finding Sweden Tour • The Concorde solver can accept as an input parameter the value of the best known tour for a TSP instance if one is available. As a full (exact) TSP solver, Concorde is designed to find optimal solutions regardless of the quality of the estimate, but knowledge of a good tour allows for better tuning of parameters that are set in the computer code. • In the case of the Sweden TSP, the results of the tour-finding attacks guided our choices in approaching the full solution of the problem. Most importantly, the final stages that improved the lower bound from 855, 595 up to the optimal value 855, 597 required approximately 8 years of computation time (running in parallel on a network of Linux workstations) and without knowledge of the 855, 597 tour we would not have make the decision to carry out this final computation.

New record: 85900 cities, 2006 • The largest solved instance of the traveling salesman problem consists of a tour through 85, 900 cities in a VLSI application that arose in Bell Laboratories in the late 1980 s. • The computation with Concorde was carried out in 2005/06 and reported in the book The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. The instance is called pla 85900 in Gerd Reinelt's TSPLIB; the shortest possible tour for the problem has length 142, 382, 641 units. • With the solution of pla 85900, the complete TSPLIB collection of challenge problems has now been successfully solved with the Concorde code. • http: //www. tsp. gatech. edu/index. html

Picture of pla 85900 tour

15 year race for better tours • • • • Date Tour Length Research Team Method 07. 06. 1991 142, 514, 146 David S. Johnson 29. 03. 1996 142, 487, 006 Concorde 23. 09. 1997 142, 482, 068 Concorde 14. 10. 1998 142, 416, 327 Keld Helsgaun 22. 10. 1999 142, 409, 553 Concorde 18. 06. 2001 142, 406, 493 Keld Helsgaun 27. 06. 2001 142, 405, 532 Keld Helsgaun 31. 08. 2001 142, 395, 130 Concorde 14. 12. 2001 142, 393, 738 Keld Helsgaun 15. 09. 2002 142, 385, 237 Hisao Tamaki 12. 2002 142, 383, 704 Keld Helsgaun 19. 03. 2003 142, 383, 467 Nguyen Dinh Hung 28. 04. 2003 142, 383, 189 Keld Helsgaun 23. 12. 2003 142, 383, 011 Keld Helsgaun 02. 05. 2004 142, 382, 641 Keld Helsgaun Iterated Lin-Kernighan Tour Merging LKH Tour Merging with LKH Approximate Tour Merging LKH Hybrid Genetic Algorithm LKH LKH

Questions?

Merci à tous !