Bi S c lp tuyn tnh ph thuc

Bài : Sự độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính I. Định nghĩa II. Ví dụ III. Tính chất

I. Định nghĩa: Giả sử là một hệ vectơ của K-không gian vectơ V. 1. Định nghĩa 1: Nếu thì ta nói là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ A hay biểu thị tuyến tính qua m vectơ đã cho.

2. Định nghĩa 2: Hệ vectơ A được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có m số r 1, r 2, …, rm-1, rm thuộc trường K, không đồng thời bằng 0, sao cho. 3. Định nghĩa 3: Hệ vectơ A được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, nói cách khác, nếu thì r 1 = r 2 =…= rm-1 = rm =0.

II. Ví dụ: 1. Ví dụ 1: Xét hệ gồm một vectơ khác Trong không gian vectơ, mỗi vectơ khác đều lập thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính. 2. Ví dụ 2: Xét hệ vectơ chứa vectơ Mọi hệ vectơ chứa vectơ đều là hệ phụ thuộc tuyến tính.

3. Ví dụ 3: Xét không gian vectơ R 4. Chứng tỏ rằng hệ gồm ba vectơ là phụ thuộc tuyến tính, còn các hệ , độc lập tuyến tính. Thật vậy, Hay là phụ thuộc tuyến tính. tức là hệ ,

Xét hệ Giả sử . nghĩa là r 1(1, 0, 0, 0) + r 2(3, -6, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) hay (r 1+3 r 2, -6 r 2, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) Suy ra Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất là r 1=0, r 2=0. Vậy hệ độc lập tuyến tính. Hai hệ còn lại tiến hành tương tự.

III Tính chất: 1. Tính chất 1: a) Nếu thêm p vectơ vào một hệ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ phụ thuộc tuyến tính. b) Nếu bớt đi p vectơ của một hệ độc lập tuyến tính thì được một hệ độc lập tuyến tính.

2. Tính chất 2: a) Một hệ gồm m vectơ (m>1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ của hệ được biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại. b) Một hệ gồm m vectơ (m>1) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có một vectơ nào của hệ được biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại.

3. Tính chất 3: a) Một hệ gồm m vectơ (m>1) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ đều chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó. b) Một hệ gồm m vectơ (m>1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ của V biểu thị tuyến tính được qua hệ đó theo hai cách khác nhau.

4. Tính chất 4: a) Nếu thêm vào một hệ độc lập tuyến tính một vectơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ ấy thì được một hệ độc lập tuyến tính. b) Nếu bớt đi ở một hệ phụ thuộc tuyến tính một vectơ không biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại thì được một hệ phụ thuộc tuyến tính.

GIẢI TOÁN TIẾP SỨC Xét xem các hệ vectơ sau trong R 3, hệ nào độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính: a) b) c) d)

Đáp án: a) Độc lập tuyến tính b) Phụ thuộc tuyến tính c) Phụ thuộc tuyến tính d) Độc lập tuyến tính