Bi 2 Bin ngu nhin v phn phi

Bài 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên l Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên l X là biến ngẫu nhiên X(B) B

Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được l Ví dụ l Tung một con xúc sắc 2 lần Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận các giá trị 0, 1, hoặc 2. l Tung đồng xu 5 lần Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình. l Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5

Biến ngẫu nhiên rời rạc l Ví dụ Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm xuất hiện. X = 0, 1, 2, …

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x 1, x 2, …, xn. l Hàm xác suất của X: l l Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi) l ĐK x 1 x 2 Xn-1 xn l l f(x 1) f(xn-1) f(x 2) 1 f(xn)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu. Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình. 4 khả năng có thể xảy ra S H H S H x P(x) 0 1/4 =. 25 1 2/4 =. 50 2 1/4 =. 25 Xác suất S Phân phối xác suất . 50. 25 0 1 2 x

Biến ngẫu nhiên liên tục Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R. l Ví dụ - Chiều cao, cân nặng. - Thời gian để hoàn thành 1 công việc. l

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục l Hàm mật độ xác suất f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục l Tìm f(x) P(a<X<b)? P (a ≤ x ≤ b) = P (a < x < b) a b

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục l Lưu ý: l Do đó

Hàm phân phối xác suất l Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như sau l Xác suất X thuộc (a, b]

Hàm phân phối xác suất l 1) Tính chất. 2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a) F(b). 3) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc l Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x 1, x 2, …, xn (x 1<x 2< …< xn) với các xác suất tương ứng p 1, p 2, …, pn. Với pi = P(X=xi). l Bảng phân phối xác suất của X X x 1 x 2 … xn-1 xn P p 1 p 2 … pn-1 pn

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc l Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x 0 l Cụ thể

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc l Ví dụ Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất. Đặt X = “Số điểm mặt trên con xúc sắc” Lập bảng phân phối xác suất cho X. Viết hàm phân phối.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc l Ví dụ Tung một đồng xu cân đối. Đặt X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện mặt hình. Lập bảng phân phối xác suất cho X. Viết hàm phân phối.

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên liên tục l Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất của X

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên liên tục l Ví dụ Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất l l Tìm hàm phân phối F(x). Tính P(1<X<3/2).

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên l Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. l Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc l Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P x 1 x 2 … p 1 p 2 … Với pi = P(X=xi) và xn-1 xn pn-1 pn.

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc l Kỳ vọng của X l Kỳ vọng thường được ký hiệu là . l Tổng quát

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc l Ví dụ Tung con xúc sắc. Đặt X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX. X 1 2 3 4 P 1/6 1/6 5 1/6 6 1/6 EX = 1 x 1/6 + 2 x 1/6 + … + 6 x 1/6 = 7/2

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục l Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x). l Kỳ vọng của X Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ Tính EX.

Tính chất của kỳ vọng 1) 2) 3) 4) 5) EC = C, C: hằng số E(CX) = C. EX E(X + Y)=EX + EY E(XY) = EX. EY nếu X và Y độc lập Cho hàm số h(x), khi đó nếu X rời rạc nếu X liên tục

Tính chất của kỳ vọng l Ví dụ Cho h(x) = x 2, h(X)=X 2 nếu X rời rạc nếu X liên tục

Phương sai của biến ngẫu nhiên l Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung bình. l Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai của X l Phương sai thường được ký hiệu là 2.

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc. l Ký hiệu = EX. l hoặc

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Tung 2 đồng xu. Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình. Tính Var. X. Bảng phân phối xác suất l X 0 1 P 0. 25 0. 5 2 0. 25 EX=0 x 0. 25 + 1 x 0. 5 + 2 x 0. 25=1 Var. X = EX 2 – (EX)2 = = (0 x 0. 25 + 1 x 0. 5 + 4 x 0. 25) – 1 = 0. 5