Beslutning under usikkerhet Jrn Vatn NTNU 2 Eksempler

Beslutning under usikkerhet Jørn Vatn, NTNU

2 Eksempler på beslutninger • Valg mellom to eller flere alternativer: – – Valg av underleverandør Valg av offshore utbyggingsløsning Ilandføringstrasé fra Snøhvit Velge tunneltrasé nå, eller foreta ytterligere undersøkelser • Valg knyttet til kontinuerlige variable – – – Tids /kostnads estimat i prosjektplanlegging Valg av avstand mellom havflate og plattformdekk Valg av dimensjon på en bærekonstruksjon Tidspunkt for start av leteboring 07: 52

3 Viktige størrelser • Vi ser først på situasjoner hvor en og bare en beslutning skal fattes • Vi betegner selve beslutningen ved bokstaven d Beslutningsalternativene betegnes a 1, a 2, …, am • En slik beslutning d kan f eks være hvilken underleverandør vi som hovedentrepenør for et prosjekt skal velge, mens alternativene ai er de ulike underleverandørene (eller mer presist at vi velger underleverandør i) • Resultatet av en beslutning vil være et sett av sluttkonsekvenser, Y • Y er en stokastisk variabel som består f eks av prosjektkostand, gjennomføringstid, antall ulykker osv 07: 52

4 Vi skiller mellom fire beslutningssituasjoner 1. Beslutning under sikkerhet: Du kjenner alle mulige utfall med sikkerhet 1. Du får tilbud om en jordbær kroneis til 10 kroner, vil du kjøpe 2. Beslutning under risiko: Du kjenner alle mulige utfall og sannsynlighetene for at de vil inntreffe 1. Du får tilbud om å satse en krone på et terningspill som gir 5 kroner dersom utfallet er en 6 er, 0 ellers 3. Beslutning under usikkerhet: Du kjenner alle mulige utfall, men er usikker på sannsynlighetene for at de vil inntreffe 1. Du får tilbud om å satse en krone på et terningspill som gir 5 kroner dersom utfallet er en 6 er, 0 ellers. Det er jukset med terningen. 4. Beslutning under uvisshet: Du kjenner ikke alle mulige utfall, og er også ukjent med sannsynlighetene for at de vil inntreffe – Du er prosjektleder for et prosjekt som driver manipulasjon av gener, umulig å forutse hvilke nye planter som kan utvikle seg, og hva som vil skje med eksisterende flora 07: 52

5 Her ser vi på. . • I dette kurset ser vi primært på situasjon 2 og 3 • Det er egentlig vanskelig å prinsipielt skille mellom disse, fordi vår usikkerhet mht om terningen er jukset med, også kan sannsynlighetsvurders, slik at vi uansett står igjen med kjente utfall, og med tilhørende sannsynlighet for disse • Vi benytter ofte samlebegrepet ”beslutning under usikkerhet” 07: 52

6 Mer om beslutninger • Siden Y er en (delvis påvirkbar) tilfeldig størrelse kan vi ikke bare se på den beslutningen d som gir den beste verdi av Y, men vi må prøve å finne den beslutningen som i det lange løp gir det beste resultatet • Dersom vi forenkler, og f eks kun betrakter nåverdien i et prosjekt, dvs Y = NPV, vil det være naturlig å velge den beslutningen som maksimerer forventet nåverdi • Vi står her imidlertid ovenfor to vanskeligheter ut over det å sette opp modellen, og evt optimalisere denne: – Vi er ikke risikonøytrale – Y består av flere dimmensjoner som vi må ”veie” sammen på en eller annen måte 07: 53

7 Risikoaversjon nyttefunksjon • En nyttefunksjon uttrykker beslutningstakers preferanse for ulike attributter • En forutsetning for å kunne etablere en nyttefunksjon er at beslutningstaker kan uttrykke preferanse mellom ulike verdier av attributtvektoren • Anta at vi betrakter kun en dimensjon, f eks nåverdien til et prosjekt, Y = NPV • La videre y 1 og y 2 betegne to vilkårlige verdier nåverdien kan anta • Følgende preferansestruktur mellom y 1 og y 2 er av interesse 07: 53

8 Preferansestruktur Symbol Forklaring y 1 y 2 y 1 og y 2 vurderes som likeverdige. For penger gir dette som regel kun mening dersom beløpene er identiske y 1 y 2 y 1 foretrekkes fremfor y 2 y 1 y 2 foretrekkes fremfor y 1 07: 53

9 Nyttefunksjon • Nyttefunksjonen er nå en funksjon som tilordner en en dimensjonal nytteverdi til hver verdi av attributtene det er snakk om, u = u(y) • For nyttefunksjonen krever vi nå at y 1 y 2 u(y 1) = u(y 2) y 1 y 2 u(y 1) > u(y 2) y 1 y 2 u(y 1) < u(y 2) • Symbolene , og benyttes mellom attributter som ikke nødvendigvis er på numerisk skala, mens symbolene =, >, og < benyttes om tall 07: 53

10 Etablering av nyttefunksjonen • Anta at vi fortsatt betrakter kun en dimensjon av attributtvektoren, f eks Y = NPV • Nåverdien av prosjektet vil være en tilfeldig størrelse når vi står i en beslutningssituasjon • Anta nå at vi har valget mellom en beslutning A som gir en sikker nåverdi Y = y 0, og en beslutning B som gir nåverdi Y = y 1 med sannsynlighet og nåverdi Y = y 2 med sannsynlighet 1 • Anta videre at y 1 y 0 y 2 • For gitte verdier av y 0, y 1 og y 2 vil det finnes en verdi av som gjør at beslutningstaker er indifferent mellom beslutning A (sikkert utfall) og beslutning B (to mulige utfall) • Dette reflekteres gjennom nyttefunksjonen som nå skal oppfylle u(y 0) = u(y 1) + (1 ) u(y 2) (*) 07: 53

11 Eksempel • • • Anta at vi får tilbud om å utføre en ekstrajobb i firma Smart. Consult. Det er her snakk om 100 timers arbeid. Vi får to alternativer for økonomisk kompensasjon: A: fast timepris på NOK 200 B: en basis timepris på NOK 100, pluss en bonusavhenig timepris på 500 kroner. Bonus utbetales dersom prosjektet som vi arbeider på når de økonomiske målsetningene. Vi vurderer dette til å være 40 % sannsynlig. Vi innser at B gir størst forventet timelønn. Vi vil i forventning tjene 300 kroner timen. Vi er imidlertid avhengig av tilleggsinntekt, og dersom bonus ikke utbetales (60% sannsynlighet) vil vi få problemer. Vi vurderer derfor at disse alternativene er likeverdige. Nyttefunksjonen må oppfylle ligning (*), dvs u(20 000) = 0. 6 u(10 000) + 0. 4 u(60 000) Vi kan altid skalere nyttefunksjonen vilkårlig, så vi setter u(10 000) = 0, og u(60 000) = 100. Det betyr at u(20 000) blir 40. 07: 53

12 Nyttefunksjon, grafisk 07: 53

13 Nyttefunksjon for flerdimmensjonal attributtvektor • Ofte vil utfallet av en beslutning berøre flere dimensjoner, sikkerhet, kostnad, renomé, miljø osv • Vi må da etablere en nyttefunksjon som fanger alle disse dimensjoner inn i en nyttefunksjon • Ofte kan vi summere bidragene for hver dimensjon, dette forenkler situasjonen • Vi må imidlertid ”binde” disse sammen • For personsikkerhet må vi da si noe om f eks nytten av å kunne spare et menneskeliv • Uttrykket ”Value of Prevented Fatality” (VPF) benyttes ofte her, og VPF verdien angir den økonomiske innsatsen vi er villig til å benytte for å kunne spare et statistisk menneskeliv (forventningsverdi) 07: 53

14 Mer om sikkerhet og økonomi • TØI har gjort beregninger som i stor grad bygger på virkningene dødsfall har på BNP • Dette tilsier at for samfunnet som sådan, er VPF omtrent 25 millioner kroner • Tallet er ikke en fasit på hva som er riktig å benytte, men kan benyttes som en start for en diskusjon om verdier • En kartlegging blant reisende i Norge under RISIT programmet indikerer at – Dette tallet er noe lavt – Man er mer villig til å bruke penger på å sikre barn, å sikre utsatte grupper, og å unngå storulykker, enn gjennomsnittsverdiene antyder 07: 53

15 Maksimering av forventet nytte • Det kan vises at den optimale beslutningen d, er den beslutningen som maksimerer forventet nytte, E(u(Y|d)) • For å kunne finne den optimale beslutningen må vi: – Etablere ett eksplisitt uttrykk for nyttefunksjonen, u = u(y 1, y 2, …) som svarer til beslutningstakers preferansestruktur. – Finne sannsynlighetsfordelingen til attributtvektoren Y = [Y 1, Y 2, …] for hvert beslutningsalternativ, eller hver verdi av beslutningsvariabelen – Beregne forventet nytte ved å integrere nyttefunksjonen over sannsynlighetstettheten til attributtvektoren – Finne den beslutningen som gir størst forventet nytte 07: 53

16 Eksempel, privatøkonomi forts. • • I eksempelet etablerte vi en nyttefunksjon for vår privatøkonomi. Nyttefunksjonen (glatt kurve) kan skrives på formen u(y) = 55. 702 ln(y) – 512. 51 Anta nå at vi skal utføre en jobb, hvor vi får tilbud om 2 alternative betalingsformer For begge alternativene gjelder at utbetalingsbeløpet er ett av følgende beløp: Y = y. L = 20 000 Y = y. M =50 000 Y = y. H =80 000 Forskjellene ligger i sannsynlighetene for de ulike verdiene. Disse er angitt under kolonnen p for hhv alternativ a 1 og a 2 07: 53

17 Resultater Alternativ a 1 Beløp p U 20 000 0. 1 3. 9 50 000 80 000 Sum Alternativ a 2 V p U V 2 000 0. 3 11. 7 0. 8 72. 1 40 000 0. 4 36. 1 20 000 0. 1 11. 6 8 000 0. 3 34. 9 24 000 1. 0 87. 7 50 000 1. 0 82. 7 50 000 6 000 07: 53

18 Beslutningstrær • Bruk av beslutningstrær er en nyttig tilnærming når vi skal systematisere en beslutnings prosess hvor beslutningene fattes ved ulike tidspunkter • Årsaken til at vi vil utsette en del beslutninger er at vi vil avvente situasjonen for å se hvordan ting utvikler seg • Alle beslutninger vi utsetter gir oss frihetsgrader, men ulempen kan jo være at vi ikke har iverksatt nødvendige tiltak i rett tid • En annen ulempe med å utsette beslutninger er at kostnaden for å gjennomføre tiltak kan øke dersom vi ikke fatter en beslutning raskt 07: 53

19 Symboler beslutningstrær 07: 53

20 Vi innfører følgende notasjon • CNi = Sjansenode i (Chance node) • pi, j = sannsynligheten for av sjansenode i resulterer i utfall j. • DNi = Beslutningsnode i (Decision node) • CTNj = kostnad knyttet til sluttnode j (Cost of Ternimal Node) • EMV = Expected Monetary Value = Forventet økonomisk verdi • EMVi, j = EMV for gren j inn til sjansenode i • EMVi = EMV for sjansenode i, eller beslutningsnode i 07: 53

21 Eksempel • • • AS Anlegg er hovedentreprenør for et vegtunnelprosjekt Under arbeidet oppdages det mer vanngjennomtregning enn forventet Fysisk er det tre alternativer og velge mellom: 1. å sprenge ut et dreneringsløp som er kostbart, men en fullgod løsning uansett 2. å bygge en pumpestasjon for å pumpe vekk vannet, dette er mye billigere, men løsningen er ikke god nok dersom det viser seg å være mye vann 3. å foreta ekstra tettingsarbeider, som er enda billigere, men kun aktuelt dersom det er lite vann. Mengden vann er fortsatt usikker på nå værende tidspunkt 07: 53

22 Valg første beslutningspunkt, DN 1 (nå) A: Starte umiddelbart med å sprenge ut et dreneringsløp. B: Avvente situasjonen ½ år til man får sikrere informasjon om vannmengden • Dersom man avventer situasjonen (B) vil bedre informasjonen om vannmengdene bli tilgjengelig om et halvt år • Man ser for seg to utfall ved dette tidspunktet (CN 1): 07: 53

23 Utfall CN 1, og fortsettelse C: Det er åpenbart så store vannmengder at dreneringsløpet må sprenges ut D: Det er fortsatt usikkerhet mht vannmengdene, og man kan velge i beslutningsnode DN 2: E: å bygge en pumpestasjon og håpe at det er tilstrekkelig, eller F: avvente enda et halvt år, slik at man utsetter beslutningen enda et halvår 07: 53

24 07: 53

25 Videre forløp … • Dersom man bygger pumpestasjonen nå (E) kan dette resultere i følgende utfall (CN 2): G: Pumpestasjonen er tilstrekkelig H: Pumpestasjonen er ikke er tilstrekkelig, og man må i så fall også sprenge ut et dreneringsløp. • Dersom man avventer situasjonen ytterligere (F) ser man for seg tre utfall (CN 3): I: Dreneringsløpet må sprenges ut J: Det er så lite vann at man kontrollere vannmengdene med ekstra tettingsarbeider K: Man kan bygge en pumpestasjon for å pumpe vekk vannet 07: 53

26 Kostnader Løsningsmetode Kostnad nå Kostnad om ½ år Kostnad om 1 år Sprenge ut dreneringsløp 50 mil (A) 60 mil (C) 70 mil (I, H) 20 mil (G) 25 mil (K) Pumpestasjon Tettingsarbeider 10 mil (J) 07: 53

27 Beslutningstre 07: 53

28 Sannsynligheter • • P(C|CN 1) P(D|CN 1) P(G|CN 2) P(H|CN 2) P(I|CN 3) P(J|CN 3) P(K|CN 3) = = = = 30% 70% 90% 10% 40% 50% 07: 53

29 Beregningsaltoritme • Algoritmen er teknisk når den skal skrive ut, men veldig lett å bruke • Start helt til høyre, og gå mot venstre • For sjansenoder tas med en vektet sum av verdiene inn til noden (fra høyre). Vektingen er lik sannsynlighetene på de ulike utfallene • For beslutningsnodene, tas den beste grenen med videre, enten minste kostnader, eller størst mulig fortjeneste 07: 53

30 07: 53