Beskrivande statistik fr tv beroende slumpvariabler Vi har

Beskrivande statistik för två beroende slumpvariabler Vi har som ex observerat X = antal kvadrat-meter och Y = hyrans storlek på 20 lägenheter. För att illustrera hur dessa två variabler hör ihop ritar vi ett spridningsdiagram (scatter plot) 1

I grafen ser vi ett positivt beroende mellan variablerna. Stora värden på x medför stora värden på y. Ex på samband • Antal rum ----- yta på lägenhet • Utbildningsnivå ----- lönenivå • Hastighet ----- bromssträcka • Valreseultat ----- antal pos löften • Tillgång till vaccin ----- antal sjuka • Befolkningstäthet ----- brottslighet • Attityd ------ kön • Blodtryck ----- ålder • Höjd över havet ----- temperatur 2

Anta att vi har n observationer på två s. v. X och Y. Skrivs Med hjälp av dessa n observationer kan vi beräkna sen sk korrelations-koefficienten r som är ett mått på hur starkt två variabler hänger ihop. -1<r<1 3

Ex: 10 obs på flickors x = vikt, y = längd x 63 52 72 57 63 54 49 57 61 51 y 165 161 170 163 169 164 161 165 162 4

Vi räknar ut r 5

Korrelationskoefficienten har egentligen sammansättningen Måttet på beroende ligger alltså i täljaren och så standardiserar vi med stickprovsstandardavvikelserna för x och y för att få ett tal som är lättolkat. Det finns en teoretisk korrelation mellan slumpvariabler som vi kallar r (rå), men först 6

Vi sammanställer Datamaterial Medelvärde Stickprovsvarians Teori Väntevärde E[X] Varians Var[X] s Korrelationskoefficient r Standardavvikelse Stickprovsstandaravvikelse Korrelation r 7

Kap 4, 4 Teoretisk korrelation r 8

läses; Kovariansen mellan slumpvariablerna X och Y. Kovariansen mäter det linjära beroendet mellan X och Y. Den standardiserade kovariansen är korrelationen r. Kovariansen beräknas via där 9

Vi tittar återigen på ex med lägenheterna X = antal rum i en lägenhet X 0 1 0, 45 2 0, 05 3 0 p(y) 0, 50 1 0, 05 0, 20 0, 50 p(x) 0, 50 0, 30 0, 20 1, 00 Y X och Y är beroende, dvs de är relaterade till varann 10

Detta värde är svårtolkat. Är 0, 3 stort eller litet? 11

Beräkna r Detta är enklare att förstå. Vi har ganska stark positiv korrelation. 12

Kap 4, 5 En linjär kombination mellan två slumpvariabler ser ut som där a, b, c är konstanter Vi ska främst studera specialfallet X+Y och summan av n st s. v. Först tittar vi på hur man kan finna sannolikhetsfördelningen för X+Y via ett ex 13

Vid ett lotteri kan en lott ge vinst på 0, 20 och 100 kr. Låt oss dra två lotter. Vinstchansen är lika vid de båda dragningarna X= vinsten på 1: a lotten Y= vinsten på 2: a lotten X och Y är oberoende X 0 0, 5625 20 0, 18 100 0, 0075 p(y) 0, 75 0, 18 0, 0576 0, 0024 0, 24 100 0, 0075 0, 0024 0, 0001 0, 01 p(x) 0, 24 0, 01 1, 00 0 Y 20 0, 75 14

Bestäm sannolikhetsfördelningen för totala vinsten S=X+Y= totala vinsten på två lotter s 0 20 40 100 120 200 p(s) 0, 5625 0, 36 0, 0576 0, 015 0, 0048 0, 0001 ex p(20)=0, 18+0, 18 p(120)=0, 0024+0, 0024 15

Anta nu lite mer allmänt att vi har n st s. v. som vill tar summan på. Om dessa n s. v. är oberoende så gäller Där 16