Beschreibung der energetischen Zustnde der Elektronen Wellengleichung SchrdingerGleichung

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Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen Ø Ø Wellengleichung Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale

Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen Ø Ø Wellengleichung Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und Quantenmechanik Ø Lösung der Schrödinger-Gleichung für Ø Ø Ø Freies Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom 1

Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach

Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach Zeit: Plancksche Gleichung: 2

Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension … Potentialenergie = 0 freies Teilchen … Gesamtenergie /

Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension … Potentialenergie = 0 freies Teilchen … Gesamtenergie / kinetische Energie H … Hamilton-Operator 3

Dreidimensionale Schrödinger. Gleichung Impuls und der entsprechende Operator 3 D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen 4

Dreidimensionale Schrödinger. Gleichung Impuls und der entsprechende Operator 3 D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen 4

Lösungsansatz für die Schrödinger. Gleichung Mathematischer Ansatz: Linke Seite t-abhängig Separation der Variablen Rechte

Lösungsansatz für die Schrödinger. Gleichung Mathematischer Ansatz: Linke Seite t-abhängig Separation der Variablen Rechte Seite x-abhängig 5

Lösungsansatz für die Schrödinger. Gleichung Linke Seite: Rechte Seite: C … Separationskonstante 6

Lösungsansatz für die Schrödinger. Gleichung Linke Seite: Rechte Seite: C … Separationskonstante 6

Die Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige (stationäre) Form harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von

Die Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige (stationäre) Form harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems 7

Die Schrödinger-Gleichung Zeitabhängige Form Wellengleichung 8

Die Schrödinger-Gleichung Zeitabhängige Form Wellengleichung 8

Formale Analogie zwischen der KM und QM 9

Formale Analogie zwischen der KM und QM 9

Lösung der Schrödinger-Gleichung Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre)

Lösung der Schrödinger-Gleichung Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung - Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems. 10

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħk und E

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħk und E = ħ Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar 11

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte … in 3 D Erwartungswert (Mittelwert

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte … in 3 D Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen) 12

Hermitesche Operatoren Analogie zwischen KM und QM Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator Ort Impuls Kinetische Energie

Hermitesche Operatoren Analogie zwischen KM und QM Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator Ort Impuls Kinetische Energie Drehimpuls 13

Übung Analogie: 14

Übung Analogie: 14

Harmonischer Oszillator 15

Harmonischer Oszillator 15

Harmonischer Oszillator mit Dämpfung 16

Harmonischer Oszillator mit Dämpfung 16

Harmonische Schwingungen A=B: 17

Harmonische Schwingungen A=B: 17

Gedämpfte Schwingungen 18

Gedämpfte Schwingungen 18

Freies Elektron (V=0) E Energiespektrum ist kontinuierlich Keine Randbedingung alle Energien sind möglich 19

Freies Elektron (V=0) E Energiespektrum ist kontinuierlich Keine Randbedingung alle Energien sind möglich 19

Elektron im Potentialtopf (1 D) V ∞ ∞ V=0 freies Elektron 0 x a

Elektron im Potentialtopf (1 D) V ∞ ∞ V=0 freies Elektron 0 x a Energie-Spektrum E n 25 C 5 16 C 4 9 C 3 4 C 1 C 2 1 Randbedingung Energiespektrum ist diskret 20

Elektron im Potentialtopf (1 D) Lösung für die Wellenfunktion | |2 x/a 21

Elektron im Potentialtopf (1 D) Lösung für die Wellenfunktion | |2 x/a 21

Elektron im Potentialtopf (3 D) Orthogonale Lösung 22

Elektron im Potentialtopf (3 D) Orthogonale Lösung 22

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Harmonische Schwingung Gesamtenergie Potentielle und kinetische Energie 23

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Harmonische Schwingung Gesamtenergie Potentielle und kinetische Energie 23

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Energie-Spektrum E n 9/2 ħ 4 7/2 ħ

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Energie-Spektrum E n 9/2 ħ 4 7/2 ħ 3 5/2 ħ 2 3/2 ħ 1 ½ ħ 0 Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ 24

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators 25

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators 25

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators 26

Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators 26

Potentialbarriere (Tunnel-Effekt) I I II II 27

Potentialbarriere (Tunnel-Effekt) I I II II 27

Doppelte Potentialbarriere II I II freies Elektron V(x) = V 0 Energiespektrum aufgrund der

Doppelte Potentialbarriere II I II freies Elektron V(x) = V 0 Energiespektrum aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere 28

Tunnel-Effekt Ø Quanten-mechanischer Effekt Ø Klassisch: nur I (einfache Welle und ihre Reflexion) Ø

Tunnel-Effekt Ø Quanten-mechanischer Effekt Ø Klassisch: nur I (einfache Welle und ihre Reflexion) Ø Anwendung Ø Tunnel-Diode Ø STM (Rastertunnelmikroskopie) Ø QW („quantum wall“) 29

Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger. Gleichung 30

Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger. Gleichung 30

Wasserstoffatom Sphärische Koordinaten Radiusabhängig Winkelabhängig 31

Wasserstoffatom Sphärische Koordinaten Radiusabhängig Winkelabhängig 31

Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, ( )

Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, ( ) Polargleichung, ( ) Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig 32

Wasserstoffatom Azimutalgleichung, ( ) Spezielle Lösung für ( ) – 2 -periodisch (m …

Wasserstoffatom Azimutalgleichung, ( ) Spezielle Lösung für ( ) – 2 -periodisch (m … ganze Zahlen) Normierung Ergebnis m … magnetische Quantenzahl 33

Wasserstoffatom Polargleichung, ( ) … Legendresche Differentialgleichung Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m² Lösung

Wasserstoffatom Polargleichung, ( ) … Legendresche Differentialgleichung Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m² Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d. h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …) ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl) Bedingung für m: … insgesamt (2ℓ+1) Werte 34

Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ( ) für m = 0 Legendre-Polynome: für m 0

Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ( ) für m = 0 Legendre-Polynome: für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome: 35

Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ( ), normiert Winkelabhängiger Teil, Yℓm( , ) 36

Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ( ), normiert Winkelabhängiger Teil, Yℓm( , ) 36

Wasserstoffatom Radialgleichung … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Effektives Potential Lösung Ln, l … Laguerre Polynome 37

Wasserstoffatom Radialgleichung … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Effektives Potential Lösung Ln, l … Laguerre Polynome 37