BESARAN VEKTOR 2 1 BESARAN SKALAR DAN VEKTOR

BESARAN VEKTOR

2. 1 BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : § Skalar § Vektor Ø Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat Ø Besaran Vektor z Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah. Contoh : kecepatan, percepatan, gaya Catatan : vektor tergantung sistem koordinat y x 2. 2

2. 2 PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR Gambar : P Q Titik P : Titik pangkal vektor Titik Q : Ujung vektor Tanda panah : Arah vektor Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor Notasi Vektor A Huruf tebal Besar vektor A = |A| (pakai tanda mutlak) Pakai tanda panah di atas A Huruf miring Catatan : Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal 2. 3

Catatan : a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama A B b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika A=B : 1. Besar sama, arah berbeda A B A B 2. Besar tidak sama, arah sama A B 3. Besar dan arahnya berbeda A B 2. 4

2. 3 OPERASI MATEMATIK VEKTOR 1. Operasi jumlah dan selisih vektor 2. Operasi kali 2. 3. 1 JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR 1. Jajaran Genjang 2. Segitiga 3. Poligon 4. Uraian Metode : 1. Jajaran Genjang A B B = A S + A R= R = A+ B = B A- -B +B Besarnya vektor R = | R | = Besarnya vektor A+B = R = |R| = Besarnya vektor A-B = S = |S| = A 2+ B 2 + 2 AB cosθ A 2 + B 2 - 2 AB cos θ 2. 5

§ Jika vektor A dan B searah θ = 0 o : R = A + B § Jika vektor A dan B berlawanan arah θ = 180 o : R = A - B § Jika vektor A dan B Saling tegak lurus θ = 90 o : R = 0 Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik 2. Segitiga B B A+ = + A 3. Poligon (Segi Banyak) D B C A + + + D = C A+B+C+D A B 2. 6

4. Uraian Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Y Ay A = Ax. i + Ay. j ; B = Bx. i + By. j A B By Ax Bx Ax = A cos θ ; Bx = B cos θ Ay = A sin θ ; By = B sin θ X Besar vektor A + B = |A+B| = |R| Rx = A x + B x Ry = A y + B y |R| = |A + B| = Arah Vektor R (terhadap sb. x positif) = tg θ = arc tg 2. 7

2. 3. 2 PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor k : Skalar A : Vektor C=k. A Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan : § Jika k positif arah C searah dengan A § Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3, A C = 3 A 2. 8

2. Perkalian Vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) A B B s co θ =C Hasilnya skalar C = skalar Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B Θ = sudut antara vektor A dan B A θ B A cos θ 2. 9

Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) 1. Komutatif : A B = B A 2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C) Catatan : 1. Jika A dan B saling tegak lurus A B = 0 2. Jika A dan B searah A B=A B 3. Jika A dan B berlawanan arah A B = - A B 2. 10

b. Perkalian Silang (Cross Product) Hasilnya vektor C=Ax. B B θ A C=Bx. A Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ Sifat-sifat : 1. Tidak komutatif A x B =B x A 2. Jika A dan B saling tegak lurus A x B = B x A 3. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0 2. 11

2. 4 VEKTOR SATUAN Vektor yang besarnya satuan Besar Vektor Notasi Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z k A j i Arah sumbu x : Arah sumbu y : Arah sumbu z : Y X 2. 12

Ø Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = 0 Ø Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan ixi jxj = kxk ixj = k jxk = i kxi = j = = 0 k i j 2. 13

Contoh Soal 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : X C Besar dan arah vektor pada gambar di samping : B A D Vektor Besar (m) Arah (o) A 19 0 B 15 45 C 16 135 D 11 207 E 22 270 Y E Hitung : Besar dan arah vektor resultan. Jawab : Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m) A B C D E 19 15 16 11 22 0 45 135 207 270 19 10. 6 -11. 3 -9. 8 0 0 10. 6 11. 3 -5 -22 RX = 8. 5 RY = -5. 1 Besar vektor R : = R 2 +R y 2 = X 8. 52+ ( - 5. 1)2 = Arah vektor R terhadap sumbu x positif : - 5. 1 tg = = - 0, 6 8. 5 = 329. 030 (terhadap x berlawanan arah jarum jam ) 94. . 01 = 9. 67 m 2. 14

2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Jawab : Vektor A = 2 i – 3 j + 4 k A = 2 2 2 + (-3) + 4 2 = 29 satuan 3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : A = 2 i – 2 j + 4 k B = i – 3 j + 2 k Jawab : Perkalian titik : A. B = 2. 1 + (-2)(-3) + 4. 2 = 16 Perkalian silang : Ax. B = i 2 1 j - 2 - 3 k 4 2 = { (-2). 2 – 4. (-3)} i – {2. 2 – 4. 1} j + {2. (-3) – (-2). 1} k = (-4+12) i – (4 -4) j + (-6+4) k = 8 i – 0 j – 2 j = 8 i – 2 k

Besaran Vektor: Besaran yang memiliki besar (nilai/angka) dan arah Contoh besaran Vektor: Besaran Skalar: Perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dll Besaran yang hanya memiliki besar (nilai/angka) saja Gambar Vektor Garis kerja Vektor Arah Vektor Besar Vektor Titik tangkap/titik pangkal Vektor Garis kerja Vektor

PENULISAN VEKTOR A = AB A B Vektor A = Vektor AB PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR Vektor hasil penjumlahan & pengurangan = Vektor Resultan ( R ) Cara Poligon Penjumlahan & Pe ngurangan Vektor Soal-soal Cara Jajaran Genjang

Nilai dan Arah Resultan Dua Buah Vektor Yang Membentuk Sudut α a. α ≠ 90º A +B A R= α B a. α = 90º A R =A +B B

Penguraian Vektor Menjadi Komponennya Y ? Ay R X α Ax ? ? ? Dari Mana

Kesimpulan Dari Beberapa Kasus Besar Resultan yang mungkin dari dua buah vektor A dan B adalah: ΙA–BΙ≤R≤ΙA+BΙ Ι 3Ι= 3 Ι-3Ι= 3 Ι 5Ι= 5 Ι-5Ι= 5 Ι 100 Ι = 100 Ι - 100 Ι = 100 Keterangan: Bila sebuah bilangan diberi tanda mutlak ( Ι …. Ι ), maka diambil nilai yang positif