Berbagai Teknik Optimisasi dan Peralatan Manajemen Baru 1

Berbagai Teknik Optimisasi dan Peralatan Manajemen Baru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Metode dalam menggambarkan hubungan ekonomi Hubungan total, rata-rata dan marjinal Analisis optimasi Kalkulus diferensial, turunan dan aturan diferensiasi Optimisasi dengan kalkulus Optimisasi multivariat Optimisasi terkendala Peralatan manajemen baru untuk optimisasi

1. Metode dalam menggambarkan hubungan ekonomi • Contoh hubungan antara penerimaan total (TR) perusahaan dan kuantitas (Q) barang atau jasa yang dijual perusahaan pada jangka waktu tertentu, diberikan dalam fungsi: TR= 100 Q – 10 Q 2

2. Hubungan total, rata-rata dan marjinal • Biaya total TC=TFC+TVC • Rata-rata AC=TC/Q • Marjinal MC=ΔTC/ ΔQ Lihat Gambar 2. 2 : derivasi/turunan geometris dari kurva biaya rata-rata dan marjinal

3. Analisis optimisasi • Maksimisasi laba dengan pendekatan penerimaan total dan biaya total : laba= TR-TC • Optimisasi dengan analisis marjinal v biaya marjinal didefinisikan sebagai perubahan biaya total perunit perubahan output dan ditunjukkan oleh kemiringan kurva TC v penerimaan marjinal, yaitu perubahan penerimaan total perunit perubahan output atau penjualan dan merupakan kemiringan TR.

4. Kalkulus diferensial : turunan dan aturan diferensial • Konsep turunan : berhubungan erat dengan konsep marjinal: MR =ΔTR/ ΔQ • Contoh: bila keluaran naik dari 2 menjadi 3, penerimaan total meningkat dari $160 menjadi $210. • Jadi MR= ΔTR/ ΔQ=($210 -$160 ): (3 -2)=$50

Aturan-aturan diferensial a. b. c. d. e. f. Aturan untuk fungsi konstan (constant function rule) Aturan fungsi pangkat (power function rule) Aturan untuk penjumlahan dan pengurangan (sum -and-differences rule) Aturan untuk perkalian (product rule) Aturan untuk pembagian (quotient rule) Aturan untuk fungsi dari fungsi (aturan rantai)

Kaidah konstanta • Turunan sebuah konstanta selalu nol. • Latihan: Y=2 d. Y=……? d. X

Kaidah Pangkat • Y=a. Xb • d. Y=b. a. X (b-1) d. X Latihan: Y=2 X 2 d. Y=………. ? d. X

Kaidah Penjumlahan dan Selisih • • U=g(X) ; U adalah g fungsi X V=h(X) ; V adalah h fungsi X Y=U+V d. Y=d. U + d. V d. X Latihan : Y=2 X 2 + X 3 d. Y=……? d. X

Kaidah Perkalian • Y=U. V • d. Y = U d. V + V d. U d. X Latihan: Y = 3 X 2 (3 -X) d. Y = ……? d. X

Kaidah Hasil Bagi • Y=U/V • Latihan:

Kaidah Rantai

PENJELASAN a. Aturan untuk fungsi konstan • Turunan dari fungsi konstan Y=f(X)=a, adalah nol untuk semua nilai a (konstantanya). Jadi, untuk fungsi Y=f(X)=a d. Y/d. X=0 Contoh; Y=2 Maka d. Y/d. X=0 Lihat gambar 2. 7

b. Aturan fungsi pangkat • Turunan dari fungsi pangkat Y=a. Xb dimana a dan b konstan =eksponen b dikali dengan koefisien a dikali variabel X pangkat b-1 Contoh: Y=2 X, dimana a=2, b=1, d. Y/d. X=2

c. Aturan untuk penjumlahan dan pengurangan • Sama dengan penjualan /pengurangan dari setiap turunan individu • U=g(X) dan V=b(X) • Contoh, bila U=2 X dan V=X 2 • Y=U+V=2 X+X 2 • d. Y/d. X= 2+2 X

e. Aturan untuk pembagian • Turunan dari pembagian dua fungs adalah sama dengan penyebut dikali dengan turunan dari pembilang, dikurangi pembilang dikali dengan turunan penyebut, semua kemudian dibagi dengan penyebut kuadrat • Jadi untuk fungsi Y=U/V • d. Y/d. X=V(d. U/d. X)-U(d. V/d. X) : V 2 • Contoh: Y=3 -2 X : 2 X 2

d. Aturan untuk perkalian • Turunan dari perkalian dua fungsi adalah sama dengan fungsi pertama dikalikan dengan turunan fungsi kedua, ditambah fungsi kedua dikali dengan turunan yang pertama • Y=U. V • d. Y/d. X=Ud. V/d. X + Vd. U/d. X • Contoh untuk fungsi Y= 2 X 2(3 -2 X)

Kalkulus diferensial : Turunan • Latihan: • Fungsi penerimaan dan biaya P=1000 -Q TC=50. 000+100 Q Tentukan : a. Q, P dan π pada tingkat output yang memaksimumkan TR jangka pendek b. Q, P dan π pada tingkat output yang memaksimumkan π jangka pendek

6. Optimisasi multivariat Memaksimumkan fungsi dengan banyak variabel • Q=f(P, A) • 2 turunan parsial: 1. Turunan parsial Q pada harga (P)=d. Q/d. P 2. Turunan parsial Q pada pengeluaran iklan (A)=d. Q/d. A Latihan: (hal 63 -64)

7. Optimisasi terkendala • Optimisasi terkendala dengan substitusi • Optimisasi terkendala dengan metode pengali lagrange

SOAL LATIHAN 1 Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh Y=150 X 2 -2 X 3, di mana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. a) Bentuklah fungsi produk rata-ratanya. b) Berapa produk total dan produk rata-rata jika digunakan 70 unit input. c) Berapa produk marginal jika input ditambah 1 unit.

SOAL LATIHAN 2 • Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah pabrik ditunjukkan oleh persamaan TC=Q 3 -90 Q 2+250 Q+56. 500. Pada tingkat produksi berapa unit biaya marginalnya minimum?

SOAL LATIHAN 3 • Seorang produsen menghadapi fungsi permintaan P=100 -4 Q dan biaya totalnya TC=50+20 Q. Hitunglah tingkat produksi yang menghasilkan laba maksimum, besarnya laba maksimum dan harga jual barangnya per unit.