Benzetim Ders 8 142022 1 GRD OLASILIK DAILIMININ

Benzetim Ders 8 1/4/2022 1

GİRDİ OLASILIK DAĞILIMININ BELİRLENMESİ n Varışlar arası zamanlar veya talep genişlikleri gibi rassal girdileri kullanan bir benzetimi gerçekleştirmek için bu girdilerin olasılık dağılımlarının belirlenmesi gerekir. n n Benzetim bu dağılımlardan üretilen rassal değerleri kullanır. Uygulamada karşımıza çıkan sistemler genellikle bir ya da daha fazla rassallık kaynağına sahiptirler. 1/4/2022 2

Sistemlerde Rassallık Kaynağına Örnekler n SİSTEM n RASSALLIK KAYNAĞI Üretim İşlem zamanları , arızalanma aralıkları, tamir süresi Bilgisayar İşlerin varışlar arası zaman aralığı , iş tipleri , işlem zamanı Haberleşme 1/4/2022 Mesajların varışlar arası zaman aralığı, mesaj tipleri, mesaj uzunlukları 3

Girdi dağılımlarının belirlenmesinde 4 adım: « veri toplama « dağılım ailesinin belirlenmesi ( üstel, normal , vb. ) « parametre « uygunluk n tahmini testi Uygunluk testi ile seçilen dağılım kabul edilmez ise , 2. adıma geri dönülür ve farklı bir dağılım seçilerek prosedür tekrarlanır. Toplanan veri bilinen dağılımlardan hiçbirine uymuyor ise , AMPİRİK DAĞILIM tanımlaması yapılır. 1/4/2022 4

1. Veri Toplama Model girdileri için gerçek sistemden verilerin toplanması işlemidir. Veri toplamada uyulması gereken kurallar: « Sistem önceden gözlenmeli ve hangi verilerin toplanması gerektiğine , hangi zamanlarda verinin toplanacağına karar verilmelidir. Veri toplamak için gerekli formlar hazırlanmalıdır. « Girdi dağılımını belirlemek için yeterli verinin toplanması gerekir. 1/4/2022 « . 5

« Sistemi iyi temsil edecek şekilde veri ( homojen veri ) toplanmalıdır. Bu nedenle ardışık günlerin aynı zaman peryotlarında ve aynı günün ardışık zaman periyotlarında veri toplanarak verinin homojenliği kontrol edilmelidir. « Homojenliği kontrol etmek için kullanılan testlerden biri 2 örnekli t-testidir. Bu test ile dağılımların ortalamalarının eşit olup olmadığı test edilir. « İki değişken arasında bir ilişkinin olup olmadığının belirlenmesi gerekir. Scatter diyagramları kullanarak ilişkinin varlığı gözlemlenebilir. Regresyon analizi de değişkenler arasında ilişkinin belirlenmesinde kullanılmaktadır. 1/4/2022 6

2. Dağılım Ailesinin belirlenmesi n n 1)nokta istatistikleri bazı özel dağılımlar özel istatistik değerlere sahiptir. Bu istatistikler veriden elde edilir ve teorik dağılımın nokta istatistikleri ile karşılaştırılır. « Otalama 1/4/2022 , median , varyans 7

1/4/2022 8

Değişim Katsayısı Ve Lexis Oranı Değişim katsayısı sürekli dağılımın şekli hakkında bilgi sahibi olmayı sağlar. • Üstel dağılım için . ise , dağılımın üstel olduğunu gösterir. 1/4/2022 9

1/4/2022 10

1/4/2022 11

Çarpıklık Ve Basıklık Katsayısı Çarpıklık katsayısı , bir dağılımın simetrikliğinin ölçüsüdür. n 3 = 0 ise dağılım simetrik; 3 > 0 ise dağılım sağa çarpık ; 3 < 0 ise dağılım sola çarpıktır. n normal dağılımda 3 = 0 n üstel dağılımda 1/4/2022 3 = 2 12

1/4/2022 13

Histogramlar n n n Bir histogram , toplanan verinin dağılımı ile ilgili olasılık fonksiyonunun grafiksel tahminidir. Bir histogram, veri için uygun bir model olarak araştırılan dağılımlar ile ilgili iyi bir ipucu verir. Veriden yararlanılarak elde edilen histogram teorik dağılımın şekli ile karşılaştırılır. 1/4/2022 14

n n x 1, x 2 , . . . , xn gözlemler olsun. Açıklık eşit uzunlukta k aralığa bölünür. Bir aralığın genişliği ∆b olsun; ∆b : [b 0, b 1], [b 1, b 2], …… [bk-1, bk] Genel olarak aralık genişliği ∆b = [bj-bj-1] olarak yazılır. n hj : [bj-1 -bj] aralığına düşen x oranını göstersin. 1/4/2022 15

n Çizilen histogramlar , teorik dağılımın şekli ile karşılaştırılarak verinin hangi dağılımdan geldiği belirlemeye çalışılır 1/4/2022 16

Aralık Sayısının Belirlenmesi 1/4/2022 17

Aralık Genişliğinin Belirlenmesi 1/4/2022 18

n Bu nedenle farklı b değerleri için histogram çizilerek standart dağılımlardan birisinin yoğunluk fonksiyonuna benzeyen histogram seçilmelidir. 1/4/2022 19

1/4/2022 20

Quantile (Çeyrek) Özetleri n Quantile özeti; veriye giydirilen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ya da olasılık fonksiyonu) nun simetrik ya da sağa ya da sola çarpık olduğunu belirlemek için kullanılır 1/4/2022 21

1/4/2022 22

n XI 'lerin dağılımı simetrikse, n median n quartile n octile ve n extramum nokta değerleri yaklaşık olarak birbirine eşittir. XI'lerin dağılımı; Sağa çarpık ise; orta nokta değerlerinde artış n n Sola çarpık ise; orta nokta değerlerinde azalış söz konusudur. 1/4/2022 23

3) Parametre Tahmini n n n Veri için uygun bir dağılım belirlendikten sonra , bu dağılımın benzetimde kullanımı için parametre değerlerinin belirlenmesi gerekir. Elde edilen x 1, x 2, . . xn veri seti, dağılımın parametrelerinin tahmin edilmesinde kullanılır. Bir tahminci, verinin numerik bir fonksiyonudur. Bu dağılımın parametresini ( ya da parametrelerini) tahmin etmek için kullanılan çeşitli metotlar vardır. 1/4/2022 24

Parametre Tahmini Metotları n maximum likehood tahmin edici (MLE) n en küçük kareler tahmin edici n moment metodu Burada MLE metodu anlatılacaktır. 1/4/2022 25

1/4/2022 26

1/4/2022 27

1/4/2022 28

1/4/2022 29

1/4/2022 30

1/4/2022 31

1/4/2022 32

4) UYGUNLUK TESTLERİ n n n Uygunluk testi , Fˆ dağılım fonksiyonu giydirilen x 1, x 2, , , , xn gözlemlerinin özel bir dağılımdan bağımsız örnekler olup olmadığını belirlemek için kullanılan bir istatistiksel hipotez testidir. Bir uygunluk testi aşağıdaki hipotezi test etmek için kullanılır. H 0 : xi gözlemleri , Fˆ dağılım fonksiyonu ile bağımsız özdeş dağılmış rassal değişkenlerdir. 1/4/2022 33

Ki-Kare n n Sürekli ya da kesikli durumda X 2 test istatistiğini hesaplamak için giydirilen dağılımın tüm alanı k ardışık alana bölünür. [a 0, a 1), [a 1, a 2), ……[ak-1, ak) a 0= - ise [- , a 1) * n Testi X 2 testi; veriye ait histogram ile giydirilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun karşılaştırılmasıdır. * n 2 (X ) , ak= + ise [ak-1, ) x 1, x 2, , , , xn gözlem değerleri olduğunda ; Nj : J. aralıktaki gözlem sayısı ; [aj-1, aj) j. aralık 1/4/2022 34

1/4/2022 35

1/4/2022 36

1/4/2022 37