Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Facultad de Ciencias

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Computación Métodos Numéricos Método de la regla falsa Balderas Nieves Dulce Ivett Meléndez Gabriel Morales Méndez Iván Gabriel Equipo 1

Método de la regla falsa También es llamado: método de regula falsi (regla del falso) o falsa posición, el cual es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. Este método combina el método de bisección y el método de la secante. ¿En qué consiste este método? • Básicamente este método consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz. • Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)) • Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. • El proceso se repite n veces, hasta que el punto de intersección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

Método de regla falsa Es importante tomar el punto donde la recta (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)) cruza al eje x, pues así nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz. Supongamos que tenemos una función. El método de la regla falsa sigue los siguientes pasos: Sea f(x) contínua, i) Encontrar valores iniciales xa y xb tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos, es decir, ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a: iii) Evaluar f(xr), forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [xa, xr].

Método de la regla falsa En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo, y de aquí que f(xr) y f(xb) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [xr, xb]. En este caso se tiene que f(xr)=0 y por lo tanto ya localizamos la raíz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que el punto de intersección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

Método de la regla falsa f(x) x r = x i+1 - f(xi) f(xr) f(xi+1) xi xr xi+1 f (x i+1)( x i+1 - x i ) f ( x i+1) - f ( x i ) x

Algoritmo de la regla falsa Entradas del algoritmo: aproximaciones iniciales (p 0, p 1) = (a, b) ; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No. Salida del algoritmo: solución aproximada p o mensaje de fracaso. Paso 1 Tomar i = 2; q 0 = f(p 0); q 1 = f(p 1) Paso 2 Mientras que i ≤ No seguir Pasos 3 -6 Paso 3 Tomar p = p 1 – q 1(p 1 - p 0) / (q 1 - q 0) (Calcular pi) Paso 4 Si │p – p 1 │ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR Paso 5 Tomar i = i + 1; q = f(p) Paso 6 Si q * q 1 < 0 entonces Tomar p 0 = p (Redefinición de p 0, q 0, p 1, q 1) q 0 = q Si no p 1 = p q 1 = q Paso 7 SALIDA (“El método fracaso después de No iteraciones, No =“, No) (Procedimiento completado sin éxito) PARAR