Bemonstering digitale signaalanalyse Bemonsteren van analoge signalen Wiskundige

Bemonstering & digitale signaalanalyse • Bemonsteren van analoge signalen – Wiskundige beschrijving – Theorema van Shannon & Nyquist frequentie – Aliasing • Analyse van bemonsterde discrete signalen – Discrete (& fast) Fourier transform – Window functie bij FFT – Ruissynthese

Bemonsteren bekeken in Fourier domein In tijd-domein vermenigvuldiging met: (t-n. Tsample) In frequentie-domein convolutie met: ( -n sample) Dus periodiek !!

Simpele demonstratie van Aliasing • fdetected = fsignal - N fsample

Theorema van Shannon & Aliasing • Geen informatie verlies wanneer bemonsterfrequentie (fsample) groter is dan twee keer de maximale signaalfrequentie (fmax) • Wanneer bemonsterfrequentie te laag is treedt er aliasing op: • fdet [-fsample/2, fsample/2] • fdet = f - N. fsample (à la Brillouin zone) – vb fx => fx - fsample => fsample - fx • Nyquist frequentie = fsample/2

Praktische omzetting analoog => digitaal • Extra low-pass filter (waarom? ) • Extra sample-hold circuit (waarom? ) • Verschillende types ADC (Analog-Digital Converter) – Tracking ADC – Successive approximation ADC – Flash ADC – Integrating ADC

Waarom extra laagdoorlaat filter ? Antwoord: om effecten van aliasing te beperken voor: stoorsignalen & ruis

Waarom extra sample-hold circuit ? Antwoord: om ADC voldoende tijd te geven vooromzetting • Zonder sample-hold moet ADC onrealistisch snel zijn: – driehoek ramp 0 - Vref - 0 in tijdsduur t – resolutie VLSB = Vref / 2 n voor n bits ADC – verandering over VLSB binnen t / 2 n+1 – vb n = 12, t = 20 s => f < 6 Hz • Met sample-hold circuit: – eindige schakeltijd (acquisition time) + weglek (droop)

Uitvoering sample-hold circuit Bij praktische uitvoering: bufferversterker + externe R en C Fig. 15. 10 & 15. 11

Digitale signaalanalyse • Digitaal filteren – middelen volgens blok filter of exponentieel filter, zoals yi = xi – integreren volgens yi = xi + yi-1 – differentiëren volgens yi = xi - xi-1 of gladder • Digitale Lock-in versterker (experiment SVR 4) • Spectrale analyse (experiment SVR 4) – Discrete Fourier transformatie (Fast Fourier Transform = FFT)

Discrete Fourier transformatie • Time-domain signal sampled at discrete times t = n. T – for n=0. . . N-1 • Two consequences: 1. Sampling with sampling period T gives potential aliasing frequency components only known up to multiples of 1/T – we can’t distinguish between x( ) and x( +2 /T) 2. Truncation of signal over range NT gives truncation errors nearby frequencies “can’t be resolved” if (f 1 -f 2) < 1/(NT) 1&2 Only N relevant data points in frequency interval [0, 2 /T] divide interval [0, 2 /T] in N equal segments

Discrete Fourier transformatie (2) • Time-domain signal sampled at discrete times t = n. T – for n=0. . . N-1 • Frequency domain [0, 2 /T] divided in N equal segments time domain x(t) and xn becomes periodic !! Parceval:

Hoe werkt de FFT = Fast Fourier Transform ? • Trying to find regularities in N equations containing N terms each etc. . . Speedup FFT from N 2 operations to N. ln(N) already 100 x faster for N=1024

Invloed van afkap (truncation window) • Multiplication in time domain = Convolution in frequency domain Spectral leakage • Example: “square” or “block” truncation window

Voorbeelden van enkele afkapvensters • Geen afkap = (impliciet) vierkant venster • Hanning filter – snelle afval voor grote (verschil)frequenties 1/ 3 • Hamming filter – beter contrast voor kleinere frequentie verschillen • Flat top filter, Blackman, . .

Spectral leakage (1000 Hz in 1 s window) • Square window: • Hanning window:

Other windows (1000 Hz in 1 s window) • Hamming window: • Flat-top window:

Discretisatie & Afkapvensters • De exacte relatie tussen frequentie f 0 en windowlengte NT is belangrijk, omdat 1. signaal (impliciet) periodiek wordt voortgezet enkel geen extra frequenties als f 0. NT integer is; anders wel t. g. v. stap bij aansluiting 2. dit bepalend is voor de ligging van discrete frequenties fm = m/(NT) rond de centrumfrequentie f 0; “flat-top” filter kan handig zijn voor bepaling pieksterkte

Synthese van ruis • Ruissynthese uit som van sinusvormen • Veel vrijheid (zie SVR 4) – v. b. alle ai = 1 – v. b. ai ei complex Gauss – v. b. beperk N(t) “uniform”

Samenvatting laatste college SVR • Bemonsteren via xn = x(n. T) – kan leiden tot aliasing (frequentie onzeker op veelvoud 1/T) – Shannon theorema: OK voor frequenties < 1/(2 T) {Nyquist} • Digitale dataverwerking na bemonsteren – Discrete Fourier transformatie • Analyse doet alsof signaal periodiek wordt herhaald !! • Vorm van afkapvenster (truncation window) kan belangrijk zijn • CENTRALE BOODSCHAP COLLEGE: – De ruis is net zo belangrijk als het signaal • enkel de signaal-ruis verhouding S/N telt