Beispiel Zylinderkoordinaten Ergnzung zum multimedialen bilingualen deutschenglisch Buch
Beispiel: Zylinderkoordinaten Ergänzung zum multimedialen, bilingualen (deutsch/englisch) Buch „Darstellende Geometrie/ 3 D-Geometry“ erschienen im Veritas Verlag: Lehrerversion Schülerversion ISBN - 978 -3 -7058 -9079 -4 ISBN - 978 -3 -7058 -9293 -4 Speziell für Lehrende aufbereitetes Werk: Übersichtlich gegliederte Printversion von Theorie und detailliert aufbereiteten Beispielen. Das Kernstück ist die beiliegende CD, mit Theorie und Beispielen in Form von animierten Power. Point. Präsentationen für einfaches und bequemes Lehren geometrischer Inhalte. Speziell für Studierende aufbereitetes Werk: Arbeitsblätter in Printversion mit beiliegender CD. Auf der CD befinden sich Theorie und Beispiele in Form von animierten Power. Point-Präsentationen, die einfaches und bequemes Lernen geometrischer Inhalte bzw. schrittweises Lösen von räumlichen Aufgaben ermöglichen. Für weitere Details und Bestellung 1
Beispiel: Zylinderkoordinaten a) Der unten in einem Horizontalriss abgebildete Drehzylinder hat den Radius r = 3 cm und die Höhe h = 10 cm. Gib die Position der auf dem Zylinder eingezeichneten Punkte z in Zylinderkoordinaten an und rechne diese in kartesische Koordinaten um. 180° = -180° Durch Abzählen kann festgestellt werden, dass die Erzeugenden alle 10° eingezeichnet sind, und dass die Breitenkreise 1 cm Höhenunterschied haben. Zylinderkoordinaten sind durch ein Tripel (r, λ, z) definiert. Daher entsprechen P, Q und R: ÞP (3/ 10°/ 4) ÞP (2, 95/ 0, 52/ 4) ÞQ (3/ 60°/ 2) ÞQ (1, 5/ 2, 6/ 2) ÞR (3/ -30°/ 1) ÞR (2, 6/ -1, 5/ 1) Zum Umrechnen in kartesische Koordinaten gilt: x = r cos (l), y = r sin (l), z = h T S U Verlängere die x-Achse nach hinten, da einige Erzeugenden beim Zylinderumriss sehr knapp beisammen liegen, und dadurch die Ermittlung der Winkelgröße schwer möglich ist. Man erhält dadurch 180° bzw. -180°. Durch Abzählen ausgehend von 180° kann der Winkel der Punkte S, T und U ermittelt werden. Beachte dabei, dass -180° < l 180° gilt. ÞS (3/ -90°/ 9) ÞT (3/ -140°/ 8) ÞU (3/ 160°/ 5) ÞS (0/ -3/ 9) ÞT (-2, 3/ -1, 93/ 8) ÞU (-2, 82/ 1, 03/ 5) P R Q y x + 2
Beispiel: Zylinderkoordinaten b) Der unten in einem Horizontalriss abgebildete Drehzylinder hat den Radius r = 3 cm und die Höhe h = 10 cm. Gib die Position der auf dem Zylinder eingezeichneten Punkte z in Zylinderkoordinaten an, runde dabei auf 10°. Zeichne die Erzeugende durch den Punkt A ein und schneide sie mit dem Basiskreis. Bestimme den Basiskreisdurchmesser durch diesen Schnittpunkt, um den Winkel zur x-Achse zu messen. D C Miss den Winkel und gib die Koordinaten von A an. A (3/ 50°/ 7) Gehe für B ebenso vor. B (3/ -20°/ 5) Setze für C und D fort. B A C (3/ -130°/ 3) y D (3/ 170°/ 6) x 3
Beispiel: Zylinderkoordinaten c) Der unten in einem Horizontalriss abgebildete Drehzylinder hat den Radius r = 3 cm und die Höhe h = 10 cm. Gib die Position der auf dem Zylinder eingezeichneten Punkte z in Zylinderkoordinaten an. 180° = -180° Durch Abzählen kann man feststellen, dass die Erzeugenden alle 10° eingezeichnet sind, und dass die Parallelen zur x. Achse jeweils 1 cm Höhenunterschied haben. S Verbinde den Schnittpunkt der Erzeugenden durch P mit dem Basiskreismittelpunkt. Verschiebe diese Verbindungsstrecke parallel durch P, um ablesen zu können, in welcher Höhe sich P befindet. R P (3/ 70°/ 4) Gehe für Q genau so vor. Q (3/ -20°/ 5) Verlängere die x-Achse wieder nach hinten, um die Winkelgröße der Punkte R und S von 180° bzw. -180° ausgehend bestimmen zu können. Q P y Gehe nun für R und S genau so vor. R (3/ 150°/ 8) S (3/ -120°/ 9) x 4
Beispiel: Zylinderkoordinaten d) Der Horizontalriss zeigt in der xy- Ebene einen 5 x 5 Einheitsraster und in der yz- Ebene einen 5 x 10 Einheitsraster. Der gegebene Zylinder hat somit einen Radius r = 1 cm und eine Höhe h = 10 cm. Konstruiere die Lage der durch Zylinderkoordinaten gegebenen Punkte: A ( 2/ 45°/ 2), B ( 3/ 120°/ 4), C ( 4/ 200°/ 7) und D ( 5/ 315°/ 9). z Punkt A ( 2/ 45°/ 2): Zeichne einen Kreis mit dem Radius 2 cm in der xy- Ebene. Zeichne jene Linie ein, die mit der x- Achse 45° einschließt. B Entnimm die Höhe 2 cm aus dem Raster und trage sie im eben ermittelten Punkt in z- Richtung ab. B ( 3/ 120°/ 4): Zeichne einen Kreis mit dem Radius 3 cm in der xy- Ebene. y A Zeichne jene Linie ein, die mit der x- Achse 120° einschließt. Entnimm die Höhe 4 cm aus dem Raster und trage sie im eben ermittelten Punkt in z- Richtung ab. x 5
Beispiel: Zylinderkoordinaten d) Der Horizontalriss zeigt in der xy- Ebene einen 5 x 5 Einheitsraster und in der yz- Ebene einen 5 x 10 Einheitsraster. Der gegebene Zylinder hat somit einen Radius r = 1 cm und eine Höhe h = 10 cm. Konstruiere die Lage der durch Zylinderkoordinaten gegebenen Punkte: A ( 2/ 45°/ 2), B ( 3/ 120°/ 4), C ( 4/ 200°/ 7) und D ( 5/ 315°/ 9). z C Punkt C ( 4/ -160°/ 7): Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4 cm in der xy- Ebene. Zeichne jene Linie ein, die mit der x- Achse 160° einschließt. B Entnimm die Höhe 7 cm aus dem Raster und trage sie im eben ermittelten Punkt in z- Richtung ab. Punkt D ( 5/ -45°/ 9): Zeichne einen Kreis mit dem Radius 5 cm in der xy. Ebene. y D A Zeichne jene Linie ein, die mit der x. Achse -45° einschließt. Entnimm die Höhe 9 cm aus dem Raster und trage sie im eben ermittelten Punkt in z. Richtung ab. x 6
Beispiel: Zylinderkoordinaten d) Der Horizontalriss zeigt in der xy- Ebene einen 5 x 5 Einheitsraster und in der yz- Ebene einen 5 x 10 Einheitsraster. Der gegebene Zylinder hat somit einen Radius r = 1 cm und eine Höhe h = 10 cm. Konstruiere die Lage der durch Zylinderkoordinaten gegebenen Punkte: A ( 2/ 45°/ 2), B ( 3/ 120°/ 4), C ( 4/ 200°/ 7) und D ( 5/ 315°/ 9). z C Zeichne die Koordinatenwege der Punkte ABCD ein. B y D A x 7
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