Befektetsmatematikai alapok KSZTETTE TROITSKY MTYS Mirl lesz sz
Befektetésmatematikai alapok KÉSZÍTETTE: TROITSKY MÁTYÁS
Miről lesz szó? I. Folytonos és diszkrét hozam II. Hozam számtani és mértani átalaga III. Átlagos és várható hozam IV. Állandó várható hozam feltételezése V. Tökéletes árazású folyamatok VI. Portfólióelmélet matematikai alapjai
I. Folytonos és diszkrét hozam A hozamok árfolyamadatokból való számításához előszőr le kell szögezni, hogy a hozamot éves értelmezésben szokás megadni, és egyetlen hozamértéket várunk válaszul.
Hozam számítás (diszkrét) Példa: Mekkora a hozama annak az értékpapírnak, amelynek árfolyama 2 év alatt P 0=100 -ról, P 2=140 -re emelkedik?
Ha megnézzük évekre lebontva 1év 2év Ez igy nem jó! Minden időegységre azonos hozam értéket kell megadunk.
Következő számítás (A folytonos hozamszámítással) Kamatos Kamat számítás Behelyettesítve
Ábrázolva Ez már jónak tűnik! Hogy évi 18, 32% kamat mellett Itt láthatjuk a kezdeti 100 2 év alatt 140 lesz DE az 1 éves hozamunk árfolyama Így csak 118, 32 az előző ábrai 120 -al szemben
Ha az előző 18, 32% év hozamnak vesszük a felét, akkor 9, 16% hozamot várhatnánk el fél évre levetítve, azonban ha kiszámoljuk a kamatos kamat képlettel negyedévre… Éves szinten
Az előző 8, 78%-os féléves hozamunkhoz új ábra szükséges Itt a fél éves árfolyamunk 108, 78 Az éves pedig 117, 56 Viszont megint zavaró eredményt kaptunk, hiszen ha 4 félév alatt 100 -ról 140 -re egyenletes hozamokkal növekszik az összeg , akkor a féléves hozamalapján az éves hozam 17, 56%, ami nem egyezik meg az egy évre kalkuláltal 18, 32%-vel és a 2évre kalkulált 20%-kal sem
Következtetés Ezeket a furcsa eredményeket azért kaptuk mer a felrajzolt görbék valójában nagyon furcsa eseményeket takarnak mivel Folyamatosan növekszik az alapösszeg, így egy ilyen árfolyamgörbéhez pillanatról pillanatra csökkenő hozamok kellenének , hiszen az időegység alatti növekedési mértékek csak így lehetnek azonosak A görbék időben változó kamatozású eseteket mutatnak, ezért különböző időszakokra más-más eredményt kaptunk.
Következtetés II. Azt vehetjük észre, hogy minél kisebb időperiódust vizsgálunk, a kapott eredmények annál inkább jobbnak tekintjük, hiszen annál több egyenlő hozamú részre bontottuk fel az árfolyam görbét annál egyenletesebb a növekedés
Következtetés III. Tehát ha tudjuk, hogy minél apróbb növekedési szakaszokra vágjuk szét, annál pontosabb lesz. Akkor a legpontosabb Ha T időszakot m részre szabdaljuk fel, majd m-mel szorozzuk a hatványkitevőt is egyre pontosabb és pontosabb eredményeket kapunk Ha m-et végtelenre vesszük, akkor a „legpontosabb” az eredmény
Eredmény Átrendezés után a képlet: Behelyettesítve: Az első kérdésre a válasz: Egy olyan befektetés hozama, amelynek árfolyamatos és egyenletes ütemű (nem mértékű!!) két év alatt 100 ról 140 re növekszik az 16, 82%
II. Hozam számtani és mértani átlaga Számtani átlag: Matematikai értelmezése: a számsor értékeit összeadjuk, majd osztjuk az elemszámmal. Könnyebb számolás miatt a példa 12évből áll Mértani átlag: A mértani átlagot úgy számítjuk ki, hogy az adatokat összeszorozzuk, majd n-edik gyököt vonunk a szorzatból, ahol n az elemek száma.
Példa: P 0=100 részvény az 1. periódus végén 200, a 2. periódus végén ismét 100. A diszkrét hozamok: Első periódus hozama Második periódus hozama Nézzük a diszkrét számtani és a mértani átlagot: A ténylegest a mértani mutatja helyesen!
Példa II. Ugyan ez folytonos hozammal számolva: Első periódus hozama Második periódus hozama Nézzük a folytonos számtani és a mértani átlagot: Folytonosnál a két átlag megegyezik és helyesen mutatja!
Értékelés A diszkrét hozam számtani átlaga: időátlagolású hozamot ad meg. ( Itt csak az nézzük, egyes időszakokban mekkora hozamok mutatkoznak, és nem veszi figyelembe hogy melyik hozam mellett mekkora alapösszeg változott. Rossz eredményt ad. A diszkrét hozam mértani átlaga: összeghangsúlyozású, az egyes időintervallumok során jelentkező növekedéseket(hozamokat) súlyozzuk az időszak kezdetén jelentkező összeggel, vagyis azzal az összeggel ami éppen annak az időszak növekedésének volt kitéve. hűebben mutatja!
Értékelés II. A folytonos hozam mértani és számtani átlaga megegyezik, mivel végtelen kis szakaszok hozamait tekintjük, így összemosódik. A folytonos hozam érték a „pontosabb” mivel VÉGTELEN kis időszakra osztja a teljes időszakot és így számítja a növekedést.
III. Átlagos és várható hozam Befektetések világában gyakoribb, hogy diszkrét hozamokkal adják meg a befektetések hozamait. Tudni kell azonban, hogy a folytonos hozam a „korrektebb” A jövőbeli várható hozamnak a becslését („jobb híján”) a múltbeli eredményesség vizsgálataira építik. Vagyis a várható hozamokat általában a múltbeli hozamok átlagértékei alapján adják meg: E(r) = a várható hozam r =múltbeli hozamok átlagértékei
Várható hozam (diszkrét) Bár a mértani átlag a múltbeli eredményesség jobb mérőszáma, így kézenfekvőnek tűnik, hogy a jövőbeli várható „pénztermelő-képesség” becslésére is ezt használjuk. Azonban nem ilyen egyszerű a helyzet. Rövidebb távú várható hozamra (mondjuk egy hónapra, egy évre) ugyanis a számtani átlag adja a matematikailag korrektebb közelítést. Hosszú távú várható hozamra pedig a mértani átlag (10év). Ezek a problémák nem jelentkeznek ha folytonos hozammal számolunk bármennyire is „nyűgösebb”. (kamatos kamat számolás)
IV. Állandó várható hozam Egy olyan árfolyam, amely adott időszak alatt feltételezése folyamatosan, állandó ütembe növekszik Egy befektetés várható hozamát azért tekintjük állandónak, mert úgy vesszük, hogy az árfolyamatos változása éppen azért történik, hogy e jövőre vonatkozó várható hozamot állandóan tartsa. Részvényárfolyamok modellezésére kitűnő példa, annyi hiánya van ennek a változatnak, hogy semmilyen véletlenszerűséget nem mutat, értéke csak az idő függvényében változik PT=árfolyam értéke T-időpontban rc= ütemben növekszik
V. Tökéletes árazású árfolyamok Tőkepiaci világban a tökéletes árazás annyit jelent: Egységesen informált, racionális befektetők, Tranzakciós költségek nélkül, Végtelen gyors reakciókkal alakítják a folyamatot. Továbbá: Egyes befektetések kockázatossága állandó, s ehhez állandó hozamelvárásai kapcsolódnak, illetve az új információk (hírek) érkezése szintén állandó paraméterű eloszlással értelmezhető.
VI. Portfólióelmélet matemaikai alapjai Egy általános i befektetési lehetőséget annak r 1 hozamával, mint normális eloszlású valószínűségi változóval jellemzünk, aminek E(ri) várható értéke és (ri) szórása van. Két elemből álló portfólió esetén súlyozni kell (a 1, a 2 melyek értéke 1)
Korrelációs együttható és Kovariancia E(ri) várható értéke és (ri) szórása van. Korrelációs együttható: A korrelációs együtthatót egy összefüggés numerikus mérésére alkalmazzuk, amely két változó közötti statisztikai kapcsolatot jellemzi Felírható koveriancia és a szórás szorzataként. Értékelése: -1 és 1 között, ahol 0 a legnagyobb eltérés +-1 pedig a legerősebb egyezést jelzi A kovariancia a valószínűségszámítás és a statisztika tárgykörébe tartozó mennyiség, ami megadja két egymástól különböző változó együttmozgását. Kis értékei gyenge, nagy értékei erős lineáris összefüggésre utalnak.
Kérdés I. Diszkrét vagy folytonos hozammal számolva kapunk pontosabb eredményt? Folytonossal, mivel végtelen sok időszakra bontja a számítás így pontosabb.
Kérdés II. A várható hozamok becslését, mire alapozva számítják? Jobb híján a múltbeli események eredményességén.
Kérdés III. Tökéletes árazású árfolyamoknál, milyen befektetői magatartással számolunk? Racionálisan cselekedő befektetőkkel.
Köszönöm figyelmet! a
- Slides: 28