BCC244 Modelos de Computao 1 Computao CPU memria

BCC-244 Modelos de Computação 1

Computação CPU memória 2

memória temporária memória entrada CPU memoria saida memória de programa 3

Exemplo: memória temporária memória entrada CPU memória de programa memória saida compute 4

memória temporária memória entrada CPU memória de programa memória saída compute 5

memória temporária memória entrada CPU memória de programa memória saída compute 6

memória temporária memória entrada CPU memória de programa memória saída compute 7

Autômato memária temporária Autômato memória entrada CPU memória saída memória de programa 8

Diferentes Tipos de Autômatos se distinguem pela memória temporaria • Autômato Finito: sem memória temporária • Autômato de Pilha : pilha • Máquina de Turing: memória RAM 9

Autômato Finito memória temporária Autômato Finito memória entrada memória saída Máquinas de Venda (pequeno poder de computação) 10

Autômato de Pilha Push, Pop memória entrada memória saida Parser de Linguagens de Programação (médio poder de computação) 11

Máquina de Turing Memória Acesso Aleatório Máquina de Turing Algoritmos memória entrada memória saída (mais alto poder de computação) 12

Poder de Autômatos Autômato Finito Máquina de Pilha de Turing 13

Vamos mostrar no curso • Como construir compiladores para LPs • Alguns problemas não têm solução computacional • Alguns problemas são difíceis de resolver 14

Preliminares Matemáticos 15

Preliminares Matemáticos • Conjuntos • Funções • Relações • Grafos • Técnicas de Prova 16

CONJUNTOS Um conjunto é uma coleção de elementos Escrevemos 17

Representação de Conjuntos C = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } C = { a, b, …, k } conjunto finito S = { 2, 4, 6, … } conjunto infinito S = { j : j > 0, e j = 2 k para algum k>0 } S = { j : j is não negativo e par } 18

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } U A 6 1 7 10 Conjunto Universal: 2 4 8 3 5 9 Todos os elementos possíveis U = { 1 , … , 10 } 19

Operações sobre conjuntos A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3, 4, 5} A • União B A U B = { 1, 2, 3, 4, 5 } • Interseção U A B = { 2, 3 } • Diferença A-B={1} B - A = { 4, 5 } A-B 20

• Complemento Conjunto Universal = {1, …, 7} A = { 1, 2, 3 } 4 A = { 4, 5, 6, 7} A 1 5 A 2 6 3 7 A=A 21

{ inteiros pares } = { inteiros ímpares } Inteiros 1 impares 2 3 pares 0 4 5 6 7 22

Leis de De. Morgan’s U AUB=A B B=AUB 23

Conjunto Vazio, Nulo: ={} SU =S S = U S- = Conjunto Universal =S -S= 24

Subconjunto A = { 1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5 } U A A U Subconjunto próprio B B B A 25

Subconjuntos Disjuntos A = { 1, 2, 3 } A U A B = { 5, 6} B= B 26

Cardinalidade de Conjuntos • Para conjuntos finitos A = { 2, 5, 7 } |A| = 3 27

Conjunto Potência Um Conjunto Poetência é um conjunto de conjuntos S = { a, b, c } Conjunto Potência de S = conjunto de todos os subconjuntos de S 2 S = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Observação: | 2 S | = 2|S| ( 8 = 23 ) 28

Produto Cartesiano A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 } A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 4) } |A X B| = |A| |B| Generaliza para mais de dois conjuntos AXBX…XZ 29

FUNÇÕES contra-domínio A 1 2 f(1) = a a b 3 Se A = domínio B c f : A -> B então f é uma função total caso contrário f é uma função parcial 30

RELAÇÕES R = {(x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), …} x i R yi e. x. se R = ‘>’: 2 > 1, 3 > 2, 3 > 1 Em relações xi pode ser repetido 31

Relações de Equivalência • Reflexiva: x. Rx • Symétrica: x. Ry • Transitiva: x. RY e y. Rx y. Rz x. Rz Exemplo: R = ‘=‘ • x=x • x=y e y=z y=x x=z 32

Classes de Equivalência Para uma relação de equivalência R classe de equivalência de x = {y : x R y} Exemplo: R = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4), (3, 4), (4, 3) } Classe de equivalência de 1 = {1, 2} Classe de equivalência de 3 = {3, 4} 33

GRAFOS Um grafo direcionado e nodo a b edge d c • Nodos (Vértices) V = { a, b, c, d, e } • Arcos E = { (a, b), (b, c), (c, a), (b, d), (d, c), (e, d) }34

Grafo Rotulado 6 a b 1 5 3 e 6 2 d c 35

Percurso e b d a c Percurso é uma sequência de arcos adjacentes (e, d), (d, c), (c, a) 36

Caminho e b d a c Caminho é um percurso sem nenhum arco repetido Caminho simples: nenhum nodo é repeatido 37

Ciclo a 3 e base b 2 1 d c Ciclo: caminho de um nodo (base) até ele próprio Ciclo simples: somento o node base é repetido 38

Ciclo de Euler 8 b 4 a 7 3 6 5 base e 1 2 d c Ciclo que contém cada arco exatamente uma vez. 39

Ciclo Hamiltoniano 5 b 4 a 3 base e 1 2 d c Ciclo simples que contém todos os nodos 40

Encontrando todos os caminhos simples e f b d a c 41

Passo 1 e b f d a c (c, a) (c, e) 42

Passo 2 e b d a (c, a) f c (c, a), (a, b) (c, e), (e, d) 43

Passo 3 e b d a (c, a) f c (c, a), (a, b) (c, e) Repete o mesmo (c, e), (e, b) para cada nodo inicial (c, e), (e, d), (d, f) 44

raiz Árvores pai folha filho Árvores não têm ciclos 45

raiz Nível 0 Nível 1 Altura 3 folha Nível 2 Nível 3 46

Árvores Binárias 47

TECNICAS DE PROVA • Prova por indução • Prova por contradição 48

Indução Temos asserções P 1, P 2, P 3, … Se sabemos • para algum k P 1, P 2, …, Pk são verdadeiros • para todo n >= k P 1, P 2, …, Pn implica Pn+1 Então Todo Pi é verdadeiro 49

Prova por Indução • Base da Indução Encontre P 1, P 2, …, Pk que sejam verdadeiros • Hipótese de Indução Suponha que P 1, P 2, …, Pn sejam verdadeiros, para todo n >= k • Passo Indutivo Mostre que Pn+1 é verdadeiro 50

Exemplo Teorema: Uma árvore binária de altura n tem no máximo 2 n folhas. Prova: seja l(i) o número de folhas no nível i l(0) = 1 l(3) = 8 51

Queremos mostrar: l(i) <= 2 i • Base da Indução l(0) = 1 (o nodo raiz) • Hipótese de Indução Suponha l(i) <= 2 i for all i = 0, 1, …, n • Passo Indutivo queremos mostrar que l(n + 1) <= 2 n+1 52

Passo Indutivo Nível n hipótese: l(n) <= 2 n n+1 53

Induction Step Nível n hipótese: l(n) <= 2 n n+1 l(n+1) <= 2 * l(n) <= 2 * 2 n <= 2 n+1 54

Lembrete Recursão é semelhante Exemplo de função recursiva: f(n) = f(n-1) + f(n-2) f(0) = 1, f(1) = 1 55

Prova por Contradição Queremos provar que uma asserção P é verdadeira • supomos que P seja falsa • então obtemos uma conclusão absurda • portanto, a asserção P deve ser verdadeira 56

Exemplo Teorema: não é racional Prova: Suponha, por contradição, que seja racional = n/m n e m não possuem fatore comuns Cvamos mostrar que isso é impossível 57

= n/m Portanto, 2 m 2 = 4 k 2 n 2 2 m 2 = n 2 n é par n=2 k m 2 = 2 k 2 m é par m=2 p Então, m e n têm em comum o fator 2 Contradição! 58