BCC 101 Matemtica Discreta Demonstrao de Teoremas Prova

BCC 101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova de Bicondicional e Equivalência Prova de ∀ e Prova de ∃ 1

Provas de Bicondicional q. Para provar uma afirmativa da forma P ↔�Q (P se, e somente se, Q) devemos provar P → Q e Q → P q. Exemplo 1: Prove que um inteiro n é par se, e somente se, n 2 é par. 2

Provas de Bicondicional q. Exemplo 2: Suponha x, y ∈ ��. Então x 3 + x 2 y = y 2 + xy se, e somente se, y = x 2 ou y = -x. ⇒Suponha x 3 + x 2 y = y 2 + xy. Então x 2 (x+y) = y (x+y). Portanto y = x 2 ou y = -x �Suponha y = x 2 ou y = -x Se y = x 2: x 3+x 2 y = x 3+x 4 = x 4+x 3=y 2+xy Se y = -x: x 3+x 2 y=x 3 -x 3=0 e y 2+xy=y 2 -y 2=0 3

Provas de Equivalência Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: q) n é impar b) (n+1) é par c) n 2 é impar Queremos provar (a) ⇔ (b) ⇔ (c) Estratégia: (a) (b) (c) 4

Provas de Equivalência (a) (b): Suponha n impar, i. e. , n=2 k+1, para algum k∈��. Então n+1=2 k+2=2(k+1) ou seja, n+1 é par. (b) (c): Suponha (n+1) par, i. e, n+1=2 k para algum k∈��. Então n 2=(n+1)2(2 n+1)=(2 k)2 -4 k-1=4 k 2 -4 k-1=2(2 k 2 -2 k)-1, ou seja, n 2 é impar (c) (a): Suponha, por contraposição, que n é par, i. e. , n=2 k para algum k∈��. Então n 2=4 k 2, ou seja, n 2 é par. Portanto, se n 2 é impar então n é impar 5

Provas envolvendo quantificadores q. Para provar uma afirmativa da forma ∀x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário. q. Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros a, b, c, se a|b e b|c então a|c. 6

Provas envolvendo quantificadores Prove que, para quaisquer inteiros a, b, c, se a|b e b|c então a|c. q. Prova: Sejam a, b, c inteiros arbitrários e suponha a|b e b|c, isto é, b = na e c=mb, onde n e m são inteiros. Então c = mb = m(n a) = (n m) a, isto é, a|c. 7

Provas envolvendo quantificadores q. Para provar uma afirmativa da forma ∃x. f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira. q. Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y>0 tal que y(y+1)=x 8

Provas envolvendo quantificadores Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y>0 tal que y(y+1)=x q. Prova: Seja x real arbitrário e tome Então 9

Erros em provas Considere a seguinte afirmação incorreta: ∃x∈R. ∀y∈R. (x y 2 = y-x) O que está errado com a seguinte prova desta afirmação: Prova: Seja x = y/(y 2+1). Então y-x = y- y/(y 2+1) = y 3/(y 2+1) = (y/(y 2+1)) y 2 = xy 2 10

Prova de existência - construtiva Prove que existe um número inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras 1729 = 103 + 93 = 123 + 13 11

Prova de existência - não construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional. Prova: Considere =√ 2√ 2 Temos 2 possíveis casos: 1) √ 2√ 2 é racional, o que conclui a prova 2) √ 2√ 2 é irracional. Então, tomando x = √ 2√ 2 e y = √ 2, temos xy = (√ 2√ 2) √ 2 = √ 22 = 2. 12

Prova de existência - construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional. Prova: Considere x=√ 2 e y=log 29. Temos √ 2 log 29 = √ 22 log 23 = (√ 22)log 23 = 2 log 23 = 3 Sabemos que √ 2 é irracional. Para completar a prova, basta mostrar que log 29 é irracional. (continua…) 13

Prova de existência - construtiva Provando que log 29 é irracional. Suponha, por contradição, que log 29 é racional, i. e. , log 29 = a/b, onde a, b ∈�� , b≠ 0 Isso significa que 2(a/b) = 9. Elevando ambos os lados a b, obtemos 2 a = 9 b. Mas 2 a é par, e 9 b é ímpar. 2 a = 9 b – ABSURDO! Portanto log 29 é irracional. 14

Existência e Unicidade q. A prova de uma afirmativa da forma ∃! x. f(x) tem duas partes: q. Prova de existência: ∃x. f(x) q. Prova de unicidade: § (∀y∀z. f(y) ∧ f(z) ➝ y=z) q. Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um único real y>0 tal que y(y+1)=x 15