BC BB BA BB 5 4 3 2

> BC BB + ≈ BA > > BB -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

BC > Gugus Bilangan Nyata BB + ≈ BA > > BB -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Bilangan Asli (BA) : A = {1, 2, 3, ………………. } Bilangan Bulat (BB) : B = {…. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……} Bilangan Cacah (BC) : C = {0, 1, 2, 3, ………………. } Bilangan Rasional (BR) : 16 = R 7 GBN 13 -2

7 x R = 16 Adakah bilangan bulat R yang dikalikan 7 akan menghasilkan 16 ? . Nilai R merupakan bilangan pecahan. Untuk mendapatkan gugus tertutup (habis dibagi) maka : x y atau x x 1 y xε B yεA R = {perpaduan bilangan bulat & bilangan pecahan} GBN 13 -3

Jadi gugus bilangan rasional terdiri dari : Semua bilangan bulat positif (bilangan asli) dan bilangan pecahan positif, Bilangan nol, Semua bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan negatif. Pecahan dimaksud, bila dalam bentuk desimal memperlihatkan (ditemukan) pengulangan sampai pada angka desimal tertentu. 1 = 0, 1. . 9 7 = 0, 63…. . 11 2 = 0, 2. . 9 4 = 0, 4. . 9 16 = 2, 285714. . 7 3 = 0, 4285. . 7 8 = 8, 0…. . GBN 13 -4

Bilangan Irrasional : Bila dalam bentuk desimalnya (pecahan) tidak diperoleh pengulangan, maka dinyatakan sebagai bilangan irrasional e = π = 3, 14285714 √ 3 = 1, 73205080756888 √y 2 = √ 5 = 2, 71828 1, 4142135623731 x tidak habis ditarik akar √x dimana sesuai dengan nilai akarnya 2, 23606797749979 Berarti Bilangan Nyata merupakan perpaduan Bilangan Rasional dan Bilangan Irrasional. Secara keseluruhannya dapat dinyatakan dengan notasi : N ∩ R ∩ B ∩ ∩ A C GBN 13 -5

Gugus bilangan nyata N secara ringkas dinotasikan sebagai : N = { x ; -∞ < x < +∞} ε ε Bila a R dan b R, untuk a < b, maka diperoleh 4 anak-gugus dalam bentuk selang sbb : { x ; a ≤ x ≤ b} ; selang tertutup ((a; b)) a b Misal “nilai mata dadu bersisi enam” 1 6 ((a; b)) ((1; 6)) GBN 13 -6

{ x ; a < x ≤ b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kanan a b (a; b)) Misal “bilangan bulat negatif” -∞ -1 (-∞; -1)) { x ; a ≤ x < b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kiri a b ((a; b) Misal a. “bilangan cacah” 0 +∞ ((0; +∞) GBN 13 -7

Misal b. “bilangan asli” 1 +∞ { x ; a < x < b} ; selang terbuka a b Misal “bilangan nyata” -∞ +∞ ((1; +∞) (a; b) (-∞; +∞) GBN 13 -8

Pengolahan + dan x pada gugus bilangan nyata tertutup akan membentuk kaidah-kaidah medan : K 1. Kaidah komutasi atau pertukaran tempat pada penjumlahan ε Untuk setiap a dan b R, a + b = b + a K 2. Kaidah komutasi pada penggandaan ε Untuk setiap a dan b R, ab = ba K 3. Kaidah asosiasi atau penghimpunan pada penjumlahan ε Untuk setiap a, b dan c R, a + (b + c) = (a + b) + c K 4. Kaidah asosiasi pada penggandaan ε Untuk setiap a, b dan c R, a (bc) = (ab) c GBN 13 -9

K 5. Kaidah keidentikan untuk penjumlahan ε Untuk setiap a R, ada unsur keidentikan z untuk z=0 penjumlahan sehingga a + z = z + a = a K 6. Kaidah keidentikan untuk penggandaan ε Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur keindentikan e untuk penggandaan sehingga ae = ea =a. Untuk bilangan nyata e (einheit) adalah bilangan 1 K 7. Kaidah invers untuk penjumlahan ε Untuk setiap a R, ada unsur invers untuk penjumlahan –a sehingga a + (-a) = z = 0 Unsur invers untuk penjumlahan ini, yaitu –a disebut juga lawan unsur a GBN 13 -10

K 8. Kaidah invers untuk penggandaan ε Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur invers untuk penggandaan a-1, sehingga aa-1 = a-1 a = e = 1 Unsur bilangan nyata a-1 lazim ditulis 1. a Unsur invers untuk penggandaan ini disebut kebalikan a. K 9. Kaidah penyebaran penggandaan melalui penjumlahan ε Untuk setiap a, b dan c R ; a (b + c) = ab + ac ; sifat menyebar ke kiri (b + c) a = ba + ca ; sifat menyebar ke kanan GBN 13 -11

Bila diperhatikan kaidah-kaidah untuk suatu gugus, maka : Gugus bilangan asli A hanya berlaku pada kaidah : K 1, K 2, K 3, K 4, K 6 & K 9 Gugus bilangan cacah C hanya berlaku pada kaidah : K 1, K 2, K 3, K 4, K 5, K 6 & K 9 Gugus bilangan bulat B hanya berlaku pada kaidah : K 1, K 2, K 3, K 4, K 5, K 6, K 7 & K 9 Gugus bilangan nyata R memenuhi kesembilan kaidah dan dinyatakan sebagai medan. GBN 13 -12

CL GBN-01 SL GBN-01 a. Gambarkan selang-selang berikut pada garis bilangan nyata yang sama : -3, 0 < x < -1, 5 -0, 5 ≤ x < 2, 0 (12, 0 ; 14, 5)) b. Gambarkan pula selang-selang berikut : { (2 ; 3)) , (4 ; 8) } { (-2 ; 0) , (0 ; 2)) } JCL GBN-01 A JCL GBN-01 B c. Gambarkan selang-selang berikut : ε {x ; x R, |x| > 0} ε {x ; x R, |x-1| < 0} JCL GBN-01 C GBN 13 -13