Bazele Fizicii Teoretice De ce Mecanica Analitica Descrierea

Bazele Fizicii Teoretice De ce Mecanica Analitica ? Descrierea unificata a tuturor fizicilor clasice (necuantice) , a chimiei, ingineriei etc. - mecanica cereasca (miscarea stelelor, planetelor, satelitilor) - fizica plasmei - dinamica moleculara - mecanica (& electricitate) ing. Este o infrastructura puternica pentru dezvoltarea Mecanicii Cuantice

CONŢINUTUL CURSULUI 1. SISTEME DE PUNCTE MATERIALE: Legături, Principiul II al dinamicii pentru SPM, Teoreme de variaţie ale cantităţii de mişcare, moment cinetic, energie cinetică. 2. ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ: Coordonate generalizate, Principiul lui d’Alambert, Ecuaţiile lui Lagrange (mişcarea liniară, mişcarea unei particule incărcate electric in câmpuri electrice şi magnetice staţionare, funcţia lui Lagrange pentru un sistem de referinţă neinerţial). 3. ECUAŢIILE HAMILTON: Expresia ecuaţiilor Hamilton, Proprietăţile funcţiei Hamilton, Parantezele Poisson. 4. ECUAŢIA HAMILTON-JACOBI: . Expresia ecuaţiei Hamilton-Jacobi, Transformări canonice, Ecuaţia Hamilton-Jacobi pentru sisteme conservative. 5. APLICAŢII ALE SISTEMULUI LAGRANGIAN IN MECANICA SISTEMELOR DISCRETE DE PUNCTE MATERIALE: Problema celor două corpuri, Mişcarea in câmp central, Problema lui Kepler, Mişcarea in câmp gravitaţional 6. CIOCNIRILE PARTICULELOR, OSCILAŢII: : Dezintegrarea particulelor, Ciocniri elestice ale particulelor, Imprăştierea particulelor, Formula lui Rutherford, Teoria micilor oscilaţii, Oscilaţii amortizate, Oscilaţii forţate, Micile oscilaţii ale sistemelor cu mai multe grade de libertate, oscilaţii anarmonice, Rezonanţa parametrică.

7. SOLIDUL RIGID: Mişcarea de translaţie şi de rotaţie a solidului rigid, Mişcarea solidului rigid cu punct fix. Bibliografia obligatorie: “Mecanica” L. D. Landau, E. M. Lifşiţ, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1966 “Mecanica teoretica” C. Iacob, Ed. Did. si Ped. Bucure; ti, 1971 “Mecanica analitica si a mediilor deformabile” Merches, L. Burlacu, Ed. Did. si Ped. Bucure; ti, 1983 “Mecanică analitică şi aplicaţii” S. Filip, A. Marcu, Ed. Univ. Oradea, 2002 ”Problems in Theoretical Physics”L. G. Sugakov, MIR, Moscow 1977. “Problems in Theoretical Physics” L. G. Grechko, MIR, Moscow, 1977 “Culegere de probleme de Mecanica Analitică” L. Burlacu, D. G. David, Univ. Bucuresti, 1988 “ Introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics “, A. J. Brizard, Saint Michael’s College, Colchester, 2003

Bibliografia opţională: ‘Advanced Classical Mechanics’, S. G. Rajeev, Univ. Rochester Spring, 2000. ‘Classsical Mechanics’, Haret C. Rosu, Leon, Guajanato, Mexico, 1999 http: //ar. Xiv. physics/9909035 v 1 19 sept. 1999 Los Alamos Electronic Archives : physics/9909035 ‘Calculus of Variations and Applications’, Lecture Notes, A. Cherkaev, 2002 ‘Lecture Notes on the Dynamics and Particles and Rigid Bodies’, Oliver M. Reilly, Berkeley, California 97420 -1740, 2004 oreilly@me. berkely. edu ‘Methodsof mathematical physics I’, Michael Stone, Univ. of Illiois, 1110 West Green Str. Urbana, IL 61801, USA, 2004 ‘Mechanics of Manipulation’, Mat Mason, 2004 http: //www. cs. cmu. edu/~mason

Istoric Galileo Sec. 16, 17 Newton Leibnitz Bernoulli Sec. 18 Sec. 19 Sec. 20 Euler Lagrange Hamilton Maxwell Boltzmann Gibbs Poincare Einstein Noether Landau Kolmogorov Cinematica particulelor Vectorii forta si impuls Gravitatia Calculul variational Descrierea Spatiului Configuratiilor Energia Principii variationale Descrierea Spatiului Fazelor Electrodinamica Mecanica Statistica Integrabilitate Simetrie Teoria sistemelor Dinamice Haos

Sec. 21 Se pare ca este randul vostru!!! -Simulare -Vizualizare ? -Biodinamici -Complexitate

Leonhard Euler 1707 Basel – 1783 St. Petesburg Mechanica 1736 -37 pentru prima data se face o prezentare a dinamicii Newtoniene in formalismul analizei matematice Theory of the Motions of Rigid Bodies 1765 Contributii importante 1. Mecanica mediilor continue 2. Teoria miscarii Lunii (Clairaut) 3. Elasticitate, Acustica, Hdraulica 4. Teoria ondulatorie a luminii

Joseph-Louis Lagrange 1736 -1813 1788 Mecanique Analytique Contributii importante 1. Calculul variatiilor 2. Calculul probabilitatilor 3. Propagarea sunetului 4. Studiul corzilor vibrante 5. Integrarea ecuatiilor diferentiale 6. Teoria orbitelor 7. Teoria numerelor

Sisteme simple Sisteme reale Teorie perfecta Newton Cresterea Complexitatii • Ecuatii vectoriale care sunt dificil de controlat • Constrangeri • Inexistenta unor proceduri generale Propunerea Lagrange • Eliminarea constrangerilor • Utilizarea energiilor cinetice si potentiale in rezolvarea miscarii • Standardizarea formei ecuatiilor Mecanica Analitica

Teorema cantitatii de miscare pentru un SPM P 1 P 2 Pi Fij Fji rezultanta tuturor forţelor interioare P 3 Pn rezultanta forţelor exterioare ce acţionează asupra fiecărui punct material

Teorema momentului cinetic pentru un SPM conform principiului acţiunii şi reactiunii momentul cinetic total al sistemului de puncte materiale vectorul moment rezultant al forţelor exterioare

Teorema energiei cinetic epentru un SPM Lucrul mecanic elementar al forţelor interioare Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare

CONSTRANGERI Sistemele naturale implica existenta unor “legaturi” (constangeri) prin care PM sunt obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z=0; x 2+y 2=R 2). Constrangerile sunt restrictii cinematice ale posibilitatilor de miscare ale particulelor unui sistem si se exprima prin intermediul unor relatii saclare de forma: n = numarul PM din sistem m = numarul constrangerilor Existenta constrangerilor duce la mari complicatii in rezolvarea problemelor si de aceea : -pot fi pur si simplu eliminate -se lucreaza cu ele in mod direct (multiplicatorii Lagrange) Tipuri de constrangeri: Olonome (holos=integral) nu depind de viteze Scleronome (nu depind explicit de timp)-fixate miscarile se efectueaza fara frecare, lucrul mecanic este nul Reonome (depind explicit de timp) miscari pe curbe sau suprafete mobile, fortele de reactiune produc lucru mecanic

Exemple: Penddulul canonic Coord. Carteziene Coord. Sferice n =3= (x, y, z) m = 1 (x 2+y 2+z 2=L 2) NGL = n-m =2 n = 3=(r, θ, φ) m =1 , r = L NGL = n-m =2 (θ, φ) Pendulul dublu n =6= (x 1 , y 1 , z 1) (x 2 , y 2 , z 2) m =4 z 1=0 z 2=0 x 12+y 12 = l 12 (x 2 -x 1)2+(y 2 -y 1)2 =l 22 NGL = n-m =2 (φ1 , φ2) Cd. ca un sistem sa poata efectua o miscare este m<3 n

Spatiul Configuratiilor (Figurativ) Dificultati induse de prezenta constrangerilor: 1. Razele vectoare nu mai sunt toate independente datorita ecuatiilor legaturilor => Ec. de miscare nu mai sunt nici ele toate independente 2. Conform legii a IIIa a mecanicii, datorita legaturilor, asupra PM constranse 3. actioneaza si Forte de Reactiune (necunoscute apriori) Cum pot fi inlaturate asemenea dificultati ? N puncte materiale K legaturi independente Propunerea Lagrange: 3 N coordonate carteziene dintre care k sunt dependente (se pot exprima in functie de restul de 3 N-k) n=3 N-k sunt independente =nr. Grd. Libertate Sistem - se aleg n marimi independente (q 1, q 2, …. qn) care pot descrie in mod univoc configuratia spatiala a SPM - se renunta a se lucra cu raza vectoare sau coord. carteziene si se lucreaza direct cu qi i=1, n = coordonate generalizate

Coordonatele generalizate configuratia SPM in orice moment Se ne imaginam un spatiu n-dimensional Fiecare punct din acest spatiu configuratii a SPM descriu in mod univoc, Spatiul configuratiilor corespunde unei Evolutia in timp asistemului Curba in Spatiul Configuratiilor

Deplasari Efectul de miscare se reduce la deplasarile PM ce alcatuiesc SPM, ale unor regiuni din SPM sau ale intregului sistem ca un tot unitar Deplasari posibile, reale Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile Pentru o deplasare virtuala δt=0 ≡ toate punctele sistemului sufera o deplasare spontana, ele miscandu-se sincron

Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile Consideram un sistem cu constrangeri: Coordinate ordinare Coordonate generalizate Sa ne imaginam ca toate particulele se misca usor: Deplasare virtuala δri trebuie sa satisfaca constrangerile 3 N coordonate dependente n coordonate independente

Principiul lui d`Alembert Dinamica Lagrangiana este capabila sa opereze cu constrangeri dependente de timp, constrangeri care efectueaza lucru mecanic real, insa nu si lucru mecanic virtual. Ne putem gandi la lucrul mec. virtual ca “un lucru mecanic care a uitat de timp”. Nu exista nici o diferenta intre cele doua tipuri de lucru mecanic atat timp cat se opereaza cu constrangeri dependente de timp. Din ecuatia de miscare a lui Newton: O parte a fortei Fi se datoreaza constrangerilor Forta aplicata este cunoscuta Forta de constrangere fi (in general) nu efectueaza lucru mecanic 1. Miscarea este perpendicular pe forta 2. Exceptia: frecarea

Multiplicand Deoarece cu δri si summand dupa i Forta de constrangere a fost eliminata Si nu mai are rost indicele (a) Principiul lui d`Alembert (1743) Pentru un sistem de puncte materiale în mişcare, supus acţiunii unor forţe date şi unor legături bilaterale fără frecare (dependente sau independente de timp), suma lucrurilor mecanice virtuale forţelor date şi ale forţelor de inerţie este nulă

Conceptul de lucru mechanic virtual ne-a permis eliminarea tuturor constrangerilor din sistem si pastrarea doar a fortelor externe!! Acest principiu trebuie sa functioneze pentru orice variatie dqj

Notam componentele generalizate ale forţelor Observăm că: Ec. Lagrange de speţa a II-a.

În cazul forţelor potenţiale (forte conservative) Intoducem notiunea de “potenţialul cinetic” Ec Lagrange sau ecuaţiile diferenţiale mişcării unui SPM