Baz Deiimi Bir sorun iin uygun olan bir

Baz Değişimi Bir sorun için uygun olan bir baz, bir diğeri için uygun olmayabilir, bu nedenle bir bazdan diğerine değişim için vektör uzayları ile çalışmak ortak(genel) bir süreçtir. Bir baz, koordinat sisteminin vektör uzayının genellemesi olduğu için, bazdaki değişim R 2 ve R 3 ‘teki koordinat eksenindeki değişim ile benzerdir.

KOORDİNAT MATRİSLERİ S = {v 1, v 2, …, vn) V vektör uzayı için bir baz ise; V’deki her bir vektör v, baz vektörünün doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir. v=k 1 v 1+k 2 v 2+…+knvn k 1, k 2, . . . , kn skalerleri S için v göreli(relative) koordinatlardır ve vektör, (v)s=(k 1, k 2, …, kn)

KOORDİNAT MATRİSLERİ •

BAZ DEĞİŞİKLİĞİ Vektör uzayı için eski baz B’den, yeni baz B` ye; temel bazda bir değişiklik gerçekleştirirsek, v vektörünün eski koordinat matrisi [v]B’yi yeni koordinat matris (v)B` ile nasıl ilişkilendirebiliriz? İki boyutlu uzaylar için bu problemi basitçe çözebiliriz. n-boyutlu uzay için de çözüm benzerdir.

BAZ DEĞİŞİKLİĞİ v’nin eski koordinatlarını bulmak için, eski baz B açısından v ifade edilebilmelidir. Bunu yapmak için, (4)’ün içine (2)’yi yerleştiririz: v=k 1(au 1+bu 2)+k 2(cu 1+du 2) veya v=(k 1 a+k 2 c)u 1+(k 1 b+k 2 d)u 2

GEÇİŞ MATRİSLERİ •

ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR Tanım: A nxn matris olsun. Ax, x’in skaler çarpımı ise Rn’deki sıfırdan farklı x vektörü A’nın özvektörü olarak tanımlanır. Ax=λx λ, A’nın özdeğeridir ve x, λ’ya karşılık gelen A’nın özvektörüdür. Not: Eğer x 0 şartını istemezsek, x=0 ise her λ reel sayısı için A(0)=0=λ 0 yazılabileceğinden λ bir özdeğer ve 0 vektörü bir özvektör olur.

ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR • Örnek: A: V→V lineer dönüşümü Ax=2 x şeklinde tanımlansın. Bu durumda tek özdeğer λ=2’dir ve A’nın λ’ya karşılık gelen özvektörleri sıfırdan farklı bütün vektörlerdir. Örnekten anlaşılacağı gibi λ özdeğerine farklı birçok özvektör karşılık gelebilir, özvektörler tek değildir.

ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR nxn A matrsinin özdeğerini bulmak için Ax=λx’yı Ax=λInx ya da (λIn-A)x=0 olarak yazılabilir. λ'nın özdeğer olması için, bu eşitliğin sıfırdan farklı çözümü olması gerekmektedir. Sıfırdan farklı çözümün olmasıda sade ve sadece Det(λIn-A)=0 şartının sağlanması ile olur.

ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR A= nxn tipinde bir matris olsun. O zaman Matrisinin determinantına A’nın karakteristik polinomu denir. Det(λIn-A)=0 denkleminede A’nın karakteristik denklemi denir.

ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR Teorem: A nxn matris ve λ gerçek bir sayı ise, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir: • λ, A’nın özdeğeridir. • (λI-A)x=0 eşitliğinin kolay olmayan bir çözümü vardır. • Rn de sıfırdan farklı x vektörü vardır, öyleki Ax=λx • λ, Det(λI-A)=0 karakteristik denkleminin bir çözümüdür.

ÖZDEĞER ÖZVEKTÖR λ özdeğerine karşılık gelen A’nın özdeğerleri, sıfırdan farklı vektörlerle Ax=λx i sağlar. λ ya karşılık gelen özvektörler, (λIn-A)x=0 ın çözüm uzayında sıfırdan farklı vektörlerdir. Bu çözüm kümesine özuzay adı verilmektedir. Teorem : Eğer k pozitif bir tamsayı, λ A matrisinin özdeğeri ve x özvektöre karşılık geliyorsa; λk, Ak’nın özdeğeridir ve x özvektöre karşılık gelir.