basicmodule Gernot Mhlbacher Quadratische Funktion Grundlagen Normalparabel Lernen

basic-module Gernot Mühlbacher Quadratische Funktion § Grundlagen: Normalparabel Lernen ist mehr als nur Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich diese Folie anschaust! ➜ 13 Alle basic-modules kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/ Wähle Verzeichnis >downloads/basic-modules< Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten Gebrauch gestattet. Die Nutzung von Kopien ist für jegliche Art des kommerziellen Gebrauchs untersagt. Wollen Sie auch werben? https: //www. elearning-soft. de/kontakt/ Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © 2020 Gernot Mühlbacher 0

Alle INFO‘s bekannt? . . . gleich starten: Was Du zu diesem animierten basic-module wissen solltest: umfang -reich Ein so großer Themenbereich wie ‚Quadratische Funktion‘ ist vier basic-modules: aufgeteilt in • Normalparabel. ppsx ⇐ aktuell gestartet 1 Funktionsgleichung Verschieben, Strecken, Stauchen, Spiegeln eines Graphen • Allgemeine Parabeln. ppsx Für den Einsatz der e. Learning. Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit die kostenlose Office Online. Anwendung für Power. Point zur Verfügung. 2 Rechts- , Links- , Vertikalverschiebung Allgemeine Form, Scheitelpunktsform • Graph v Parabeln. ppsx 3 Von der Funktionsgleichung zum Graphen Vum Graphen zur Funktionsgleichung • Gerade und Parabel. ppsx 4 Schnittpunkt(e) / Berührpunkt / Diskriminante Nullstellen Die genannten basic-modules kannst Du kostenlos herunterladen auf der Website: http: //www. elearningsoft. de/ Wähle das Verzeichnis >downloads/basic-modules<. . . zu Folie: 0 1 2 3 Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: Ø Normalparabel AB. pdf ⇐ laden, Ø Normalparabel EF. pdf ausdrucken! Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: http: //www. elearning-soft. de im Verzeichnis >services< 1

Auf getrennten Wegen!. . . und doch verbunden. Auf dem Lehrwerk über „Lineare Funktion“ bauen zwei Themen auf, die es jetzt im Sinne der Übersichtlichkeit getrennt zu behandeln gilt: „Quadratische Gleichungen‘“ und „Quadratische Funktion / Parabel“. Die Berührungspunkte und Vernetzungen werden aber in den folgenden zwei Lehrwerken immer wieder aufscheinen. Du solltest ab und zu versuchen, parallel mit beiden Lehrwerken zu arbeiten! Zumindest bis Folie 14 solltest du im Lehrwerk „Quadratische Gleichungen schon mal vorgearbeitet haben. 1 2

Schauspiel mit Wasser Imponierend. . . Wasser ist für den Künstler ein beliebtes Gestaltungselement. Diese regelmäßige Kann ich diese Verlaufskurve geometrische Form mathematisch beschreiben? weckt sofort die Neugier (evtl. Funktionsgleichung. . . ? ) des Mathematikers. . oder besinnlich. Überlege, von welchen Einflüssen (Parametern) der Kurvenverlauf der Wassersäule abhängt! (➙AB zu Folie 3) Skizziere auf deinem Fertig? ‚AB zu Folie 3‘. . . KLICK! selbst denkbare Kurven!! Fertig? . . . KLICK! Mit einem einfachen Wasserschlauch kannst du im Garten jederzeit ein solches Schauspiel nachvollziehen. Der Wasserdruck und der Winkel, unter dem du den Schlauch nach oben richtest, werden wesentlich darüber entscheiden, welche Verlaufskurve die Wassersäule beschreibt. Unser Ziel ist es, solche regelmäßigen Kurven beschreiben und erklären zu können. 1 Bildernachweis: 14 Bild 2 3

NORMALPARABEL Die beiden Parabeläste sind nach oben geöffnet. P 1 Mit der Wassersäule geht das zwar nicht, . . . aber die gezeichnete Kurve können wir auf den Kopf stellen. Der Vorteil im Augenblick: Wir haben es nur noch mit positiven y-Werten zu tun. Eine der 4 folgenden Funktionsgleichungen beschreibt den Willst du im Voraus mit Hilfe eines Mathematik-Buches oder (besser) blau eingezeichneten Graphen. mit Hilfe des Internets folgende Begriffe klären? Kannst du dich für eine entscheiden? I und III sind Gleichungen 1. Grades. Welche zwei Funktionsgleichungen Ø Koordinaten (eines Sie Punktes) beschreiben lineare Funktionen. 2 IIØy Koordinatensystem = x kannst du sofort ausschließen? Das Schaubild müsste eine Gerade sein Ø Achsenkreuz (➙AB zu Folie 4) Kannst du begründen? ! III y = 2 x Ø Ordinate Markante Punkte: Bist du fertig? Ø y Abszisse IV = √x. . . x oder keinen -3 hast -1 0 1, 5 1 2 3 -2, 5 du -2 Ø Urpunkt Vorschlag? . . . KLICK! � Ø Bildpunkt y 9 6, 25 4 1 0 2, 25 1 4 9 I y = -0, 5 x + 5 P 2 S Wiederhole dann vielleicht auch unser Dieser Tiefpunkt ist Hast du. Lernprogramm auch diese Punkte ausgewählt? Die abhängige Größe y ist immer die >Funktionsbegriff. ppsx< basic-modules Lineare Funktion der Scheitelpunkt S bei den Quadratzahl derzuunabhängigen Größe x. Gib die Abbildungsvorschrift x y unter: https: //www. elearning-soft. de/downloads/basic-modules/ der Parabel. in Worten an! Abbildungsvorschrift (Funktionsgleichung): Fertig? . . . KLICK! Wir nun das Bild der Normalparabel Gibwollen die Abbildungsvorschrift x im y Suche sieben Überprüfe diesmarkante auch für Punkte die Punkte verändern und. Funktionsgleichung verschieben. in Form eine an! und trage)die Koordinaten PKurvenverlauf (-2, 5/ ) und P 2(1, 5/ 1 Uns interessiert, wie. . . KLICK! sich Fertig? in eine Wertetabelle ein! die Funktions. Fertig? . . . KLICK gleichung dabei Schritt um Schritt verändert. Fertig? . . . KLICK und vergleiche! 1 y = x 2 Die Funktion y = x 2 ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion. Ihr Graph ist die Normalparabel. (Verwende immer das ‚AB zu Folie 4‘) 4

DAS KARTESISCHE KOORDINATENSYSTEM . . . mal kurz Vokabeln lernen! Wir arbeiten nur mit dem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem. y-Achse Die senkrechte y-Achse heißt Ordinate Die waagrechte x-Achse heißt Abszisse. P (2/3) Abszisse Ordinate P (x / y) P (2 / 3) Ordinate Für den x-Wert und den y-Wert eines Punktes P verwendet man ebenfalls diese zwei Begriffe: x-Achse Abszisse Zusammen bilden sie die Koordinaten. Diese Begriffe wollen wir ab jetzt ohne weitere Erklärungen in diesem Sinn gebrauchen. 1 5

VERSCHIEBEN DER NORMALPARABEL ENTLANG DER Y-ACHSE x Urpunkte: y -3 -2, 5 -2 -1 0 1, 5 1 2 3 9 6, 25 4 1 0 2, 25 1 4 9 x -3 -2, 5 -2 -1 0 1, 5 1 2 3 7, 75 5, 5 2, 5 1, 5 3, 75 2, 5 5, 5 Bildpunkte: 1 Wir wollen die Normalparabel um 1, 5 Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschieben. y x 2 y = x 2 + 1, 5 Die Abszisse (der x-Wert) der Punkte bleibt erhalten. Die zugehörige Ordinate (der y-Wert) vergrößert sich immer um den Wert 1, 5. Wenn wir die Parabel in Richtung der negativen y-Achse (also nach unten) verschoben hätten, dann hätte sich der Wert der zugehörigen Ordinate y um 1, 5 Einheiten vermindert. y = x 2 - 1, 5 Wie wirkt sich das Verschieben entlang wirktum sich 1, 5 das Verschieben der. Wie y-Achse Einheiten nach entlang oben der um 1, 5 Einheiten nach unten aufy-Achse die Koordinaten der Punkte aus? Wie wirkt sich das Verschieben um einen Allgemein: Beim entlang der aus? y-Achse gilt: die Verschieben Koordinaten der Punkte Fertig? . . . KLICK! Betrag c entlang der y-Achse auf die Fertig? . . . KLICK! Die Abszisse (der x-Wert) Koordinaten aus? der Punkte bleibt erhalten. Erstelle die neue Wertetabelle! Nach dem Verschieben können wir Zeichne auch die anderen Fertig? . . . KLICK! Die zugehörige Ordinate (der y-Wert) verändert sich Vergleiche der nicht mehrdie von. Koordinaten einer Normalparabel Verschiebepfeile noch ein! sich um den Wert c. verwandten Punkte (Urbild und Abbild)! sprechen. Wir sprechen ganz einfach y = x 2 + c Fertig? . . . KLICK! von einer Parabel. (Verwende immer das ‚AB zu Folie 6‘) 6

STRECKEN / STAUCHEN DER NORMALPARABEL 4 1 0 1 4 9 16 Gestrecktedurch das Aufstellen Versuche, der Normal- Gestauchte (engere) Wertetabellen die Funktions-(weitere) parabel Parabel zu bestimmen! Parabel gleichungen Tipp: Beginne mit II ! mit Benenne die Parabeln (Verwende immer das ‚AB zu Folie 7‘) sinnvollen Begriffen 2 y. . . KLICK! = ax. Fertig? . . . KLICK! Fertig? 1 Es ist jetzt wichtig, dass du jetzt erst zur nächsten Folie klickst, wenn diese Zusammenhänge völlig verstanden sind! x 2 , 25 y =0 el y = 2 x bel -2 -1 0 1 2 3 4 Par a yy 16 9 tau cht e x -4 -3 ges 4, 5 2 0, 5 0 0, 5 2 4, 5 8 12, 5 II xx yy -8 16 -8 -6 -6 9 -4 -4 4 -2 -2 1 -1 0, 25 -1 00 0 11 0, 25 22 1 44 4 6 6 9 88 16 lparab y 12, 5 8 Fertig? . . . KLICK! Norma x -2, 5 -2 -1, 5 -1 -1 -0, 5 0 0 0, 5 1 1 1, 5 2 2 2, 5 III te Parab el y = 2 2 x y = �� 1・x 2 I Wie heißt der passende Koeffizient �� zur jeweiligen Parabelgleichung? gestreck 1/・x 2 y = �� 4 2・x 2 y = �� I II Du siehst hier drei verschiedene Parabeln. a > 1 → gestreckte Parabel (I) Sie sind nicht nach oben oder unten verschoben; also. . . wird a = 1 →Glied Normalparabel zum/vom quadratischen x 2 keine absolute(II)Zahl addiert 0<a < 1 → gestauchte Parabel (III) oder subtrahiert. Der Wert der Ordinate (der y-Wert) wird durch einen a des quadratischen Gliedes (x 2) beeinflusst. Koeffizienten �� 7

. . . zu Bild II: SPIEGELN AN DER X-ACHSE (1) y = x 2 I 1 x y -1, 5 5, 5 -1 3 -0, 5 1, 5 0 1 0, 5 1 3 1, 5 5, 5 x y -1, 5 -5, 5 -1 -3 -0, 5 -1, 5 0 -1 0, 5 -1, 5 y = 2 x 2+1 II y = 0, 5 x 2 -1, 5 P‘ III P Die Graphen werden jeweils an der x-Achse gespiegelt. Wie gewinne ich aus einer Parabelgleichung ganz schnell die Funktionsgleichung des Spiegelbildes? Erarbeite jetzt den Zusammenhang zwischen den betreffenden Funktionsgleichungen! Gib in deinen Browser P: y = 0, 5 x 2 – 1, 5 notfalls sinnvolle y. P = 0, 5 ∙(0, 5)2 –Suchwörter 1, 5 ein!y. P(z. B. ‚Parabel, Spiegelung = -1, 375 an der x-Achse‘) P‘: y = 0, 5 x 2 – 1, 5 y. P‘ = 0, 5 ∙(0, 5)2 – 1, 5 y. P‘ = 1, 375 1 -3 4. Zeige diesen Schritt an. P(0, 5/-1, 375) y‘ = (-1)∙(2 x 2+1) y‘ = (-1)∙ (x 2) y‘ = (-1)∙(0, 5 x 2 -1, 5) ⇐ den Koordinaten: drei Beispielen! 1, 5 -5, 5 5. Berechne die Ordinaten P‘(0, 5/1, 375) 2 2 2 y‘ = -x y‘ = -2 x -1 y‘ = -0, 5 x +1, 5 (‚AB zu Folie 8‘). . . dann KLICK! der Punkte P und P‘! Du siehst: x = 0, 5. 2. Denke nach: Was kannst du über die Tabellen und 3. werden, Formuliere das Ergebnis deines. . . dann KLICK! Spiegelung: Soll der Graph einer Funktion an der x-Achse gespiegelt 1. ihre Nimm das ‚AB zu Folie 8‘ und erstelle zu II die geforderten Wertetabellen Graphen (oben/unten) jeweils aussagen? Nachdenkens dann muss die rechte Seitedabei der die Funktionsgleichung und Zeichnungen! (Verwende Rückseite des ‚AB zu Folie 8‘!) und Nachforschens y = f(x) y‘auf = -f(x) deinem ‚AB zu Folie 8)! mit Fertig? (-1) multipliziert Vergleichen? werden. . dann KLICK! Das wollen wir uns noch. . . erst dann unsere Erklärung . . . KLICK! etwas genauer anschauen! vor zu 9 8

S(0/1) y = 2 x 2 + 1 Berechne zur 1 Überprüfung die Ordinate y. S = 2 • 0+ ys von S unter Verwendung. S(0/1) der y = + 1 Funktionsgleichung ! (➙AB zu Folie 9) S Der Wert y. S‘ = -1 des Bildpunktes S‘ stimmt mit dem absoluten Wert von f (2 x 2+1) überein (Spiegelung). Er hat jedoch das entgegengesetzte Vorzeichen. y‘Überprüfe = -2 x 2 - 1 diese Behauptung und berechne Fkt. gleichung ydie -2 • 0 - 1 von S‘ mit der. S‘(0/-1) S‘ =Ordinate 2 yy‘S‘ ==-2 x - 1 – 1! (➙AB zu Folie 9) P‘(1/y. P‘) Im Schaubild siehst du ebenfalls einen Urpunkt P und seinen Bildpunkt P‘. y‘ = -1∙(2 x 2+1) y‘ = -2 x 2 -1 y‘ = -2 x Berechne von P und y = 2 x 2 + die 1 Koordinaten P‘ mit den betreffenden y‘P‘ = (-2) • 1 - 1 y. P = 2 • 1+ 1 Funktionsgleichungen f und f‘. y‘ y = + 3 P‘ = - 3 (➙AB zu Folie 9) P dann KLICK! P(1/3) Zurück? . . . P‘(1/-3) +1 -2 x y‘ = S‘(0/-1) 1 Im Lehrwerk ‚Lineare Funktionen‘ haben wir gelernt, den Graphen von Geradengleichungen zu zeichnen. Gegeben ist die lineare Funktion y = 2 x – 1 P(1/y. P) Wir betrachten den Scheitelpunkt S(0/1) und dessen Bildpunkt S‘(0/-1). Beide Punkte haben den Abszissen-Wert x = 0. Der Wert y. S = 1 des Urpunktes S entstammt dem Funktionsterm f(2 x 2+1) bzw. y = 2 x 2 + 1. 2 x y = 2 x 2+1 8 Folie . . . wenn nötig: zur vorigen y= SPIEGELN AN DER X-ACHSE (2) Funktionsgleichung des Spiegelbildes: Zeichne die Gerade -1 • (2 x - 1) y‘ =ihr(-1) und Spiegelbild! (➙AB y‘ = zu -2 x. Folie + 1 9) lautet Funktionsgleichung Du. Wie siehst: Diedie Regel für die Spiegelung und der an der x-Achse gespiegelten ihre Auswirkung auf die Funktionsgleichung Geraden? (➙AB zu Folie 9) Funktionen gilt allgemein auch bei anderen und ihren Schaubildern. 9

SPIEGELN und gleichzeitig stauchen y= x 2 + 1, 5 y = x 2 + 1, 5 SPIEGELN und gleichzeitig strecken y = x 2 + 1, 5 y = -1(0, 25 x 2 + 1, 5) y = -0, 25 x 2 - 1, 5 y = -1(2, 5 x 2 + 1, 5) y = -1(0, 25 x - Nimm dein ‚AB zu Folie 10‘! Was geschieht, wenn du • die verschobene Normalparabel mit dem wird Faktorgespiegelt -1 1. Die verschobene Normalparabel 2 1 • (→Minus-Zeichen) und gleichzeitig x mit ( /4 bzw. 0, 25) multiplizierst? und gleichzeitig. . . • Zeichne den neuen Graphen! 2. gestaucht (geweitet). Faktor a=0, 25. . . dann KLICK! 1 2 + 1, 5) y = -2, 5 x 2 - 1, 5 y = -(2, 5 x - Gehe zum AB (Folie 10)! Was geschieht, wenn du • 1. die Normalparabel mit dem Faktor – 1 Dieverschobene Normalparabel wird gespiegelt • (→Minus-Zeichen) und gleichzeitig x 2 mit 2, 5 gleichzeitig multiplizierst? und. . . • Zeichne den neuen Graphen! 2. gestreckt (verengt). . dann. Faktor KLICK! a=2, 5 10

Funktionen Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich �� genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich �� zu. Definitionsbereich: Der Definitionsbereich �� enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich ��. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich ��. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich ��. Lineare Funktion y = mx + b Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea Linie, Faden) Das Schaubild ist eine Gerade. Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [y-Achse ↑(+)bzw. ↓(-)] durch die waagrechte Entfernung [x-Achse →(+)bzw. ←(-)] dividierst. 1 Quadratische Funktion y = ax 2 + bx + c Das Schaubild ist die Parabel. Die Funktion y = x 2 ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion. Ihr Graph ist die Normalparabel. 11

ARTEN VON ZAHLEN Ein Überblick: ℝ 0 5 1 3 -2, 5 4 2 ℕ 0. . . ⅘ -⅜ ℤ -1 -3 -2 1, 2 . . . 7/ ⅚ ℚ 11 e π -√ 3 √ 7 . . . √ 15 3 Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, . . } Es istweit nichtverbreitete einheitlich. Schreibweise festgelegt, ob Eine die den natürlichen Zahlen zählt. Null diezu Null dazu und benennt diese gehört. Menge mit ℕ 0={0, 1, 2, 3, . . . }. ℕ 0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, . . } ℤ = {. . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? {. . . -½, -⅔, -⅘, -1, 25, ⅜, 0, 38 32/7, . . . } 1 Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z. B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z. B. 1, 2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z. B. 7/11 = 0, 63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist. ) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau Zeichen: ℝ verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, 14. . . Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 71828. . . 12

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen Balles öffnest im Text mit eines der bildlichen du deine Hände und beugst die Darstellung! Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispieledurch n Hinweise und n häufiges atioÜben im Training des m Handballvereins. r Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen eu fo n I e N lt we erricht m U nt. U z. B Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen 1 hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 13