basicmodule Gernot Mhlbacher Hhensatz Kathetensatz Beweise Lernen ist

basic-module Gernot Mühlbacher * Höhensatz * Kathetensatz Beweise Lernen ist mehr als nur Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich diese Folie anschaust! ➜ 11 Alle basic-modules kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/ Wähle Verzeichnis >downloads/basic-modules/< Wollen Sie auch werben? https: //www. elearning-soft. de/kontakt/ Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten Gebrauch gestattet. Die Nutzung von Kopien ist für jegliche Art des kommerziellen Gebrauchs untersagt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © 2018 Gernot Mühlbacher 0 0

INFO bekannt? . . . gleich starten: Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-module) wissen solltest: Der Themenbereich >Höhen- und Kathetensatz< ist umfangreich. umfang -reich Deshalb wurde er in zwei basic-modules aufgeteilt: • Hu. K-Satz Beweise. ppsx 1 • Hu. K-Satz Übungen. ppsx 2 ⇐ aktuell gestartet 0 1 2 3 Wenn die Aufgaben auf den Arbeitsblättern Schwierigkeiten bereiten, dann schau dir den gesamten Lösungsweg einer Folie zuerst auf dem Bildschirm an. Löse die Aufgaben danach im Ganzen aus dem Gedächtnis! Für den Einsatz der e. Learning-Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit auch die kostenlose Office Online. Anwendung für Power. Point zur Verfügung. Die genannten basic-modules kannst Du kostenlos herunterladen auf der Website: http: //www. elearning-soft. de/ Wähle dort das Verzeichnis >downloads< . . . zu Folie: Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: > Hu. K-Satz Beweise AB. pdf ⇐ starten und > Hu. K-Satz Beweise EF. pdf ausdrucken! Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: 4 5 6 7 8 9 10 11 http: //www. elearning-soft. de im Verzeichnis >services< 1

Darstellung Euklids, Oxford University Museum Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria (Nordafrika) gelebt hat. In seinem Werk ‚Elemente‘ überblickte er das Wissen der griechischen Mathematik und der antiken Vorläufer. Damit verdanken wir ihm auch die Überlieferung der Erkenntnisse der vor ihm lebenden • Thales von Milet (um 600 v. Chr. ) und • Pythagoras von Samos (etwa 570 bis 510 v. Chr. ) Der Höhensatz und der Kathetensatz des Euklid wurden nach diesem jüngsten der drei großen Griechen benannt. Es ist allerdings ungeklärt, ob sie von Euklid stammen. Sie bilden mit dem eigentlichen Satz des Pythagoras zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Euklid‘s Ruf gründet vor allem auf der geordneten Darstellung der damaligen mathematischen Erkenntnisse und auf dem strengen Vorgehen bei der Beweisführung in der Mathematik. Bild 1 1 Bildnachweis Wir wenden uns nun dem Höhensatz und dem Kathetensatz des Euklid zu. 2

. C WAS SAGT DER HÖHENSATZ AUS? In diesem rechtwinkligen Dreieck ABC wird eine Höhe h eingezeichnet (auf der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite). Sie soll vom Fußpunkt F durch den Scheitelpunkt des rechten Winkels (hier C) verlaufen. h 2 a b h . q A F p B c oder p • q Höhensatz: Der Flächeninhalt Quadrates mit der Nimm das ‚ABdes zu Folie 3‘! Seitenlänge h (Höhe des aus rechtw. Beantworte mit Hilfe dem. Dreieckes Internet die über der Hypotenuse) ist gleich groß Frage: Welche Aussage (in Worten) wird mit Flächeninhalt dem Höhensatz formuliert? wie der des Rechteckes mit den Seitenlängen p und q. Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Formel zum Höhensatz: 1 • p h 2 == qq • p Auf dieser Formel beruht auch die oft gebrauchte kürzere Formulierung des Höhensatzes: Das Quadrat der Höhe h ist 3‘! gleich dem Nimm das ‚AB zu Folie Produkt der du Abschnitte p und q. Kannst diese Aussage auch als Formel niederschreiben? Aus der rein algebraischen Formulierung Fertig, dannist zurück Kontrolle!. . . KLICK! (Rechenrezept!) die zur geometrische Herkunft nicht mehr abzulesen. Vergiss diese nicht! Für pden allgemeinen Beweis gilt: 1. �� ABC: a 2 + b 2 = c 2 2. �� AFC: b 2 = h 2 + q 2 3. �� FBC: a 2 = hh 22++pp 22 4. p + q = c |2 (p(p++q)q)2 2 = c 2 In 1. setzen wir 2. , 3. und 4. ein: a 2 + b 2 = c 2 2 1. binomische ( Nimm a 2 das ) + ‚AB ( bzu ) = 3‘! c 2 Folie Formel Suche im rechtwinkligen Dreieck ABC zwei h 2 + p 2 rechtwinklige + h 2 + q 2 Dreiecke! = p 2 + 2 • q • p + q 2 |-p 2 |-q 2 weitere Wende jeweils den Satz des Pythagoras darauf an! 2 h 2 = 2 q • p | : 2 Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Vollende jetzt auf deinem ‚AB zu Folie 3‘ den Beweis aus dem Gedächtnis! Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Beweis erbracht! 3

DER KATHETENSATZ Experiment und Vermutung Der Kathetensatz setzt wiederum ein rechtwinkliges Dreieck voraus. Auch hier teilt der Fußpunkt F der Höhe h die Hypotenuse (hier c) in die zwei Teilstrecken q und p. c = 6, 5 cm AQ = b 2 AQ = 12, 96 cm 2 q= 2 cm b Variante 1 Diese Werte müssen mit denen auf dem Arbeitsblatt nicht übereinstimmen. b = 3, 6 cm Variante 2 AQ = a 2 AQ = 25 cm 2 a p AR = c • p AR = 25, 2 cm 2 q c Diese Werte müssen mit denen auf dem Arbeitsblatt nicht übereinstimmen. a= 5 c= 6 cm cm p = 4, 2 cm AR = c • q AR = 13 cm 2 Die beiden rechtwinkligen Dreiecke Variante 1: Nimm das ‚AB zu. ABC Foliesind 4‘! nicht deckungsgleich (kongruent). Vergleiche die. Kathete Maße! Sieh dir die Quadratfläche über der und die Rechteckfläche unterhalb der Es sindbnicht ganz verschieden ausfallenden Seite cbei genau Miss jeweils Längenmaße den an! Quadraten oder die Rechtecken, und berechne diekönnen: Flächen! die uns. Seitenlängen zu einer Vermutung verleiten Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! 1 Was fällt dir auf? Beschreibe auf deinem AB, war dir an den Varianten und 2 das auffällt! Variante 2: 1 Nimm ‚AB zu Folie 4‘! Zurück? Forsche dann einmal Internet Sieh dir die Quadratfläche überimder Kathete nach, welche Aussagen du zum Stichwort b und die Rechteckfläche unterhalb der ‚Kathetensatz‘ erfahren kannst!die Seite c genau an! Miss jeweils Fertig, die dann. Flächen!. . . KLICK! Seitenlängen und berechne Jetzt wollen wir genau formulieren und die Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! Vermutung(en) beweisen. 4

Variante 1 und Variante 2 in einem Bild ⇓ verkleinerte Bilder AQ = a 2 b AQ = b 2 a Bearbeite (wenn‘s geht) in einem Zug das Beide Varianten führen zu der gleichen ganze ‚AB zu Folie 5‘! Vermutung, dem sog. Kathetensatz: c Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! In einem rechtwinkligen Dreieck ist > das Quadrat über einer Kathete genau so groß wie > das Rechteck, das so lang ist wie die Hypotenuse und so breit wie der anliegende Hypotenusenabschnitt. Den Sinn des Lehrsatzes musst du verstehen und bei Bedarf bereit haben!. . . nicht Formeln ohne Verstand dahersagen. 1 Stelle dich darauf ein, dass die Flächen, Winkel oder die Längen oft mit anderen Variablen beschrieben werden. Zeichnungen oder Formeln musst du dann immer wieder auf die jeweils aktuell verwendeten Variablen anpassen. RI RII Wir drehen das Rechteck von Variante 2 um 90°. . dann drehen wir das Rechteck von Variante 1 ARI = um 90°. c • q c ARII = c • p Wenn unsere Vermutung stimmt, dann gilt: b 2 = c • q a 2 = c • p Das wären dann die Formeln zum Kathetensatz. Aber: Noch fehlt der Beweis! 5

Zum Verständnis der anstehenden Beweisführung 2. Größen in ein Verhältnis setzen: Wir wissen nicht, wie hoch die Türme T 1 und T 2 sind. �� �� 1 2 �� �� 1 = 180° - 90° - �� = �� �� 2 = 180° - 90° - �� = �� �� Aber wir können sagen, dass die Höhen sich wie 4 zu 3 verhalten. C Meist nutzen wir die Bruch-Schreibweise: . 1. Teildreieck c B . F Nimm das ‚AB p zu Folie 6‘! 2. Teildreieck h Beschrifte die drei Teildreiecke! C h. T 2 = 44 m = 1, 3 3 m Verhältniszahl Definition: Verhältniszahl Quotient zweier Maßzahlen �� �� A 3 Wir schreiben als Verhältnisgleichung: h. T 1 : h. T 2 = 4 : 3 h. T 1 a 4 h. T 2 Wir sprechen: „h. T 1 verhält sich zu h. T 2 wie 4 zu 3. “ Unser eingangs benutztes rechtwinkliges Dreieck ABC kann man so aufteilen, dass drei rechtwinklige Dreiecke zu sehen sind: b h. T 1 Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! �� B a �� F (Dezimalzahl oder Bruchzahl) wichtigen zum Eigentlich Merke haben dir wirdie zwei Größen Hinweise ins Verhältnis Thema ‚Größenverhältnisse‘! gesetzt. Weshalb sind nur noch die Maßzahlen Gehe am Ende dieser Folie zum zu sehen? ‘AB zu Folie 6‘! Fasse dort die Aussagen. . . gekürzt! Wo sind die Maßeinheiten geblieben? noch einmal zusammen! . 3. Teildreieck Fertig, dann zur Kontrolle! Weiteres Beispiel (linkszurück / 1. Teildreieck) : . . . KLICK! Wenn wir die letzten 2 Dreiecke 1 �� �� Wir setzen die beiden Katheten Gehe jetzt zum ‘AB zu Folieins 6‘!Verhältnis Fasse jetzt drehen, dann werden wir sehen, dass A C b cm zusammen! a es sich um ähnliche Dreiecke (mit die Aussagen noch 5, 3 einmal a : b = = ≈ 1, 5 gleichenin. Winkeln ��, �� und ��=90°) handelt. cm. . . KLICK! 1. Ähnliche. Dreiecke: b zurück zur 3, 5 stimmen drei Winkeln ��, �� Fertig, dann Kontrolle! q h und �� (hier: 90°) überein! Vergleiche! Die Maßeinheiten (gekürzt) schreiben wir nicht mehr. 6

Der BEWEIS des KATHETENSATZES 2. Teildreieck F . q A b 1. Teildreieck: c b = 6, 4 3, 5 C �� a 3. Teildreieck: b q ≈ 1, 8 = 3, 5 1, 9 ≈ 1, 8 Nicht die Größen sind gleichwertig, aber die Verhältniszahlen (die Werte der Brüche) entsprechender Größenpaare sind offensichtlich gleich. Den Beweis dafür könnte man gut mit dem Strahlensatz zeigen. Wir rechnen jetzt mit allgemeinen Zahlen (Variablen) weiter, um die Allgemeingültigkeit zu zeigen. 1. Beweis durch Gleichsetzen: c b Kathetensatz ⇔ b 2 = c • q Formel (Variante 1). . . über Kreuz multiplizieren! Schau dir jetzt die Beweisführung genau an! Du sollst diese aus dem Gedächtnis auf dem 1. Teildreieck: 2. Teildreieck: wenn der ‚AB zu Folie 7‘ nachvollziehen, 5, 3 c = 6, 4 Beweis erbracht ist. a ≈ 1, 2 = p 5, 3 a 4, 5 = ⇔ . . . über Kreuz multiplizieren! 1 a 2 = c • p B �� �� Anregung: In dieser Figur könnte der Strahlensatz zum Beweis der Verhältnisgleichheit entsprechen. Strecken dienen. 3 2 1 Wir haben den Kathetensatz mit Hilfe der Streckenverhältnisse in ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken bewiesen. Ohne Aufwand lässt sich jetzt nachfolgend auch der Satz des Pythagoras beweisen. . den hatten wir völlig anders bewiesen. (Siehe im Lehrwerk ‚Satz des Pythagoras‘ !) Mit den ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken können wir auch die allgemeine Gültigkeit des Höhensatzes nachweisen. (. . . ein anderer Weg als beim Beweis hier auf Folie 4) 2. Beweis durch Gleichsetzen: c a �� �� p h h �� �� F . 3. Teildreieck 1. Teildreieck Kathetensatz Formel (Variante 2) Geh jetzt zum ‚AB zu Folie 7‘! Beweis(e) erbracht! Wenn es dich interessiert: Folie 9 Wenn es dich nicht interessiert: Weiter Folie 10 7

. . . vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras Höhensatz Es gibt zahlreiche Wege des Beweises für den Höhensatz. Jetzt lernst du einen zweiten kennen. a 2 Die entsprechenden Streckenverhältnisse werden aus dem 2. und 3. Teildreieck ( Folie 7) entnommen. b 2 entsprechende Strecken im Schau c 2 =dir. Agenau +die Zeichnungen ARII RI auf Folie 3/5 an (bzw. das c 2 = c • q. Abbild + oben)! c • p verkleinerte Der Beweisverlauf springt regelrecht Anwendung Kathetensatz (Folie 7): (Geh zum ‚AB zu Folie 8‘) ins Auge. c 2 = a 2 1 + b 2 c 2 2. Teildreieck: h p = 2, 9 4, 5 3. Teildreieck: ≈ 0, 6 q h = 1, 9 2, 9 ≈ 0, 6 Wie erwartet stimmen die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten überein. Allgemeiner. Beweis durch Gleichsetzen: h p = ⇔ h 2 = q • p + =. . . über Kreuz multiplizieren! Preisfrage: Weshalb hätten wir nicht den Wir haben den Höhensatz auf Folie 3 mit Hilfe des Satzes des Pythagoras Höhensatz zum Beweis des Satzes bewiesen. des Pythagoras verwenden dürfen? Logisch: Dann können wir den Höhensatz jetzt nicht verwenden, um den Satz Fertig, dann zurück zur Kontrolle!. . . KLICK! des Pythagoras zu beweisen. Da beißt sich der Hund in den Schwanz! Formel des Höhensatzes 8

Übungen und Sachaufgaben zum Höhensatz und zum Kathetensatz findest du im weiteren basic-module: 1 9

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du n Hinweise zum Beispieledurch n o und häufiges ati Üben im Training m des Handballvereins. r fo In e u e N lt we erricht m U nt. z. B U Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? 1 Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen Balles im Text mit eines der bildlichen öffnest du deine Hände und Darstellung! Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 10