basicmodule Gernot Mhlbacher Graph linearer Funktionen aus Wertetabelle

basic-module Gernot Mühlbacher Graph linearer Funktionen * aus Wertetabelle und auch Normalform der Fkt. -Gleichung * Steigungsdreieck * Schnittpunkt und Nullstelle zeichnen und berechnen Alle basic-modules kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/. . . wähle Verzeichnis >downloads/basic-modules< Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten Gebrauch gestattet. Die Nutzung von Kopien ist für jegliche Art des kommerziellen Gebrauchs untersagt. Wollen Sie auch werben? https: //www. elearning-soft. de/kontakt/ © 2019 Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 0

Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-module) wissen solltest: Ein so großer Themenbereich wie ‚Lineare Funktion‘ ist aufgeteilt in vier Kurzprogramme (basicmodules): 1 umfang -reich • Funktionsbegriff. ppsx • Fkt. begr. am Beispiel ‚Linearer Funktionen‘ Unterschied zwischen Geraden- und Funktionsgleichung ⇐ aktuell 2 gestartet Graph lin. Fkt‘en. ppsx ➙Graph zeichnen mit Hilfe von Wertetabelle oder Funktionsgleichung(Normalform) mit Steigungsdreieck ➙Schnittpunkt von 2 Geraden und auch die Nullstelle zeichnen und berechnen • Steigungsfaktor. ppsx 3 Steigung, Steigungsfaktor Parallelen zu x-Achse und y-Achse • Sachaufgaben. ppsx 4 INFO bekannt? . . . gleich starten: Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: ⇐ laden, > Graph lin. Fkt‘en AB. pdf Ø Graph lin. Fkt‘en EF. pdf ausdrucken! Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. Für den Einsatz der e. Learning-Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit die kostenlose Office Online. Anwendung für Power. Point zur Verfügung. Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: Die genannten basic-modules kannst Du kostenlos http: //www. elearning-soft. de herunterladen auf der Website: http: //www. elearningim Verzeichnis >services< soft. de/ Wähle das Verzeichnis >downloads/basic-modules<. . . zu Folie: 0 1 2 3 4 5 8 6 7 Wiederholung wichtiger Begriffe zum den Themen 10 11 12 13 14 15 18 16 17 >Gleichungen< u. >Funktionen< ab 9 1

GRAPH DER LINEAREN FUNKTION. . . aus der Wertetabelle entwickeln x unabhängige Variable y abhängige Variable Allgemeine Form: ax + by = c Normalform: y = mx + b Bei einer Funktionsgleichung (zwei Variablen), unterscheidet man die unabhängige (meist x), -die man als erste in die Gleichung einsetzt-, von der davon abhängigen Variablen (y) , die dann berechnet wird. Beispiel: y = 2 x + 1 �� = {1, 2, 3, 4, 5} Alle unabhängigen Variablen stammen aus einem Definitionsbereich (Definitionsmenge) ��. Die abhängigen Variablen gehören zu dem Wertebereich (Wertemenge) ��. Die Lösungen, die eine Gleichung mit zwei Variablen zu einer wahren Aussage führen, sind immer Wertepaare (x/y). Wähle möglichst weit auseinander liegende Punkte! Dies dient der Zeichengenauigkeit. 1 Die Wertepaare werden also berechnet und in einer Wertetabelle zusammengefasst: Übertrage Wertepaare Erstelle fürdie den Definitionsals Punkte ins unabh. Variable: x 1 2 3 4 5 bereich eine Wertetabelle! Koordinatensystem! abh. Variable: y 3 5 7 9 11 Fertig? . . . dann KLICK! Für jede Gleichung mit zwei Unbekannten gibt es nur dann endlich viele Wertepaare (x/y), wenn man vorher die Definitionsmenge beschränkt hat (wie oben). Wenn die Definitionsmenge nicht beschränkt ist (�� = ℝ ), dann ergeben sich unendlich viele Wertepaare. Zwei Wertepaare würden genügen, eine zugehörige Gerade zu zeichnen. 2

GRAPH DER LINEAREN FUNKTION . . . aus der Normalform entwickeln x. B= 3 Allgemeine Form Normalform Lineare Funktion: der Geradengleichung: ax + by + c = 0 y = mx + b y. H= 2 1. Die Normalform eignet sich am besten zum Erstellen einer Wertetabelle. b = 1, 5 2. Die Normalform gibt die besten Informationen, wenn wir aus der Gleichung den Graphen der Geraden entwickeln sollen. Beispiel: y = 2 x 3 b ist eine konstante Zahl, die sich ergibt, wenn wir für x den Wert Null (0) einsetzen. Z. B. : 1, 5 / -2, 4 / 1/3 / √ 7 / �� Also: eine reelle Zahl m ist der Koeffizient (die Mitwirkende) der unabhängigen Größe x. m gibt an, wie stark die Gerade steigt (➚) oder fällt (➘). m heißt deshalb Steigungsfaktor. Alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert 0. Hier: (0 / 1, 5) Die Steigung (oder das Gefälle) der Geraden macht man mit H m = Hilfe des ‚Steigungsdreiecks‘ 3 �x. B sichtbar. Setze zum Test mal in der Jetzt kannst du die Gerade einzeichnen Am sinnvollsten ist es, das Steigungsdreieck immer genau am (bekannten) Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse anzusetzen. Der Zähler des Bruches gibt immer an, wie hoch das Steigungsdreieck in 2 y Richtung der y-Achse ist. (y-Höhe des ⊿ ) ⤵ + 1, 5 b gibt deshalb an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneiden wird. b heißt deshalb y-Achsen-Abschnittskonstante. 1 ➚ So ergibt sich das Steigungsdreieck. Der Nenner des Bruches gibt immer an, wie breit das Steigungsdreieck in Richtung der x-Achse ist. (x-Breite des ⊿ ) obigen Funktionsgleichung für xdie den Wertübertragen, 0 (Null) ein!dann –ohne Absetzen- am Ende des Pfeils die x. Guter Rat: Zuerst y-Höhe Welches Wertepaar ergibt Breite fortsetzen. sich? Fertig? . . . KLICK! Beachte: Wenn y H oder x. B ein negatives Vorzeichen hat, dann dreht sich die Richtung der Pfeile um (negative y. H-Werte nach unten ↓, negative x B-Werte nach links ←). In der Mathematik ist ein Koeffizient ein Faktor, der zu einer Variablen (oft x oder y usw. )gehört. In der obigen ‚Allgemeinen Form‘ heißen die Koeffizienten a und b. c ist eine konstante Zahl! Beachte: In der Regel werden die Koeffizienten mit kleinen Buchstaben als Platzhalter geschrieben. 3

Geraden können im Koordinatensystem typische Verläufe (Lagen) aufweisen: Sie können parallel zur x-Achse verlaufen. . x. B y. H g 2 +100 m (waagrechte Entfernung) Vereinbarung: Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn durch die waagrechte Entfernung vom Nullpunkt dividierst. (Vorzeichen beachten!) DAS STEIGUNGSDREIECK x. B g 3 Höhengewinn pro 100 m (waagrecht) Die Gerade steigt echt an (immer in Positive Steigung: Leserichtung von links nach rechts). Im nebenstehenden Koordinatensystem (g 1) wären dies: Die x-Breite 2 Einheiten: x. B = +2 Die y-Höhe 4 Einheiten : y. H = +4 Bei Geraden bezeichnet man die Steigung mit der Variablen m. y. H In unserem Beispiel: 4 m 1 = = = 2 x. B 2 Die Gerade fällt ab (immer in Sie können parallel zur y-Achse verlaufen. 1 g 4 +10 m ↘ = 0, 1 = 10 % (Höhengewinn) y. H ↗ (negative Steigung) 10 m 100 m g 1 Sie können steigen. Sie können fallen. Die STEIGUNG Negative Steigung: Leserichtung von links nach rechts). Im nebenstehenden Koordinatensystem (g 2) wären dies: Die y-Höhe -3 Einheiten : y. H = -3 Die x-Breite 2 Einheiten: x. B = +4 In unserem Beispiel: y. H -3 m 2 = = = -0, 75 x. B +4 4

BESTIMME DIE FUNKTIONSGLEICHUNG: Normalform: +2 • 2 +- b 1 y = m • x 1. Schritt: b ablesen! +1 b = -1 +2 Immer am y-Achsen-Abschnitt b mit dem y-Höhen-Pfeil beginnen. [nach unten(-) oder oben(+)] • • . . . nicht absetzen!. . . dann weiter und den x-Breiten-Pfeil bis zum Schnitt mit der Geraden zeichnen. [nach links(-) oder rechts(+)] Schauen, dass die Längen der Pfeile gut ablesbar sind! (ganzzahlig, Bruchzahl ggf. erweitern!) m 2. Schritt: m bestimmen! • Studiere genau+4 das y. H jetzt +2 oder m = x der Entstehen +2 B � +1 Handlungsanleitung!. . . und noch ein Beispiel: ⤵ -4 -2 m = x. H -4 B � -2 y ⤵ Alternativ: m = 2 1 Du hast jetzt drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, das Steigdreieck einzuzeichnen. Erweitern/Kürzen führt wohl zu verschiedenen Steigungdreiecken, aber immer zur gleichen Steigung m! Gehe jetzt zum AB zu Folie 5! Erledige selbständig nach dieser Handlungsanleitung das nächste Beispiel! -3. . . dann KLICK! +4 Normalform: - 3 x ++ b 3, 5 y = m • 4 1. Schritt: b ablesen b = +3, 5 2. Schritt: m bestimmen m= y. H x. B -3 �+4 Verfolge die ⤵ +4 Ein gutes Steigdreieck einzeichnen: Text-Anleitung oben! 5

BRÖTCHENEINKAUF Arne kauft für sich und die Eltern Brötchen. 1 Brötchen kostet 45 ct. Im Umfeld einer solchen einfachen Aufgabe gibt es eine Menge zu wissen. Gesamtpreis = Anzahl * Einzelpreis unabhängig Die Anzahl der. Wie benötigten hängt vom Alter wirkt sich. Brötchen das Alter von Arnewesentlich auf sein Einkaufsverhalten aus? Arnes ab. Ob er die Kosten im Voraus abschätzen kann ebenfalls. EP Die Kosten hängen derab? ? Menge (Stückzahl) der Wovoneindeutig hängen dievon Kosten benötigten Brötchen ab. Fertig? . . . KLICK! Der Geschäftsmann versucht, solche Abhängigkeiten rechnerisch zu erfassen. (z. B. in Tabellen oder mit Formeln) Weißt du, wie die Verkäuferin schnell dieeine Kosten ermittelte, als esder Die Verkäuferin hatte in früheren Zeiten kleine Liste, von noch keine automatische gab? . . . Fertig? . . . KLICK! sie den Gesamtpreis schnell. Registrierkasse ablesen konnte. Zuerst aber musste man die Werte der Tabelle berechnen. In der Tabelle sah man, wie die Kosten gleichmäßig ansteigen. Heute erledigt dies die automatische Registrierkasse. . Hast du den Rechenfehler entdeckt? Fertig? überrascht, wenn du die regelmäßige Hast. Sei dunicht schon mal die. . . KLICK! 2, 00 €€ 2, 25 bei Abnahme von 5 Stück 1 abhängig 4, 50 EP = Einzelpreis Kostensteigerung nicht immer so erlebst. Der pfiffige Preisgestaltung bei deinem Geschäftsmann verlockt die Käufer gerne mit Nachlass Bäcker kritisch verfolgt? Ist dir fürwas größere Mengen. Aber das ist ein anderes Thema. dabei aufgefallen? Solches Vorwissen musst du immer aktivieren, wenn du. . . Fertig? . . . KLICK! dich an eine ‚Sachaufgabe‘ wie oben begibst. . jetzt geht`s ran! KLICK 6

Dies ist zahlenmäßig einfaches Beispiel für einen mathematischen Zusammenhang. Arne kauft für sich und die Eltern Brötchen. 1 Brötchen kostet 45 ct. Einzelpreis EP = 0, 45 € Stückzahl n = 5 oder 6 oder 7 Gesamtpreis K = ? € Wie viele Brötchen kauft Arne? Was kosten sie? unabhängig Menge n Kosten K einfache 1 Menge einfache 0, 45 Kosten doppelte Menge 3 doppelte Kosten 1, 35 2 0. 90 dreifache 4 Menge dreifache 1, 80 Kosten 5. . . 2, 25 . . . Formel: K = EP • n 1 �� =ℕ �� =ℚ Bei einer solch gleichmäßigen Entwicklung spricht man von Proportionalität. Die Gesamtkosten K verhalten sich proportional zu der Menge. Die Kosten K sind eine Funktion der Menge n. Jedem Element der Menge n ist genau ein Element der Kosten K zugeordnet. Nur ganze Brötchen werden verkauft. Bruchteile von € können sich ergeben. Wir gehen nach dem ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘ (Folie 14) vor. 1. Stufe: Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Mein bisheriges Wissen zu diesem Thema „Einkaufen“: Siehe vorangehende Folie! Wie kommt Arne auf z. B 5 oder 6 oder 7 Brötchen? 2. Stufe: Genaue Angaben aus dem Text? Welche mathematischen Bezüge stehen dahinter? Zusammenhang zwischen Stückzahl (Menge) n und Welche Frage Gesamtkosten K. tut sich beim Lesen auf? Welche Text Ein Vorstellungen Brötchen kostet werden 0, 45 €. geweckt? Gesamte Kosten: Stückzahl n mal 0, 45 €. Fertig? . . . KLICK! Die Gesamtkosten kann man auch aus einer Formel berechnen. 3. Stufe: Rechnerische Lösung. Bestimme die Zahlenwerte, die Kannst du den Zusammenhang 4. Stufe: Überprüfen! Können diezwischen Ergebnisse zur Themenstellung gehören! Menge und Gesamtpreis Tabelle? stimmen? Einordnen in. . . KLICK! dasaufzeigen? bisher Bekannte. Fertig? Graph, evtl. Formel? Übertrage die Wertepaare (n/K) Fertig? . . . KLICK! in Koordinatensystem! Prüfe diedas Werte in der Tabelle mit €. . . KLICK! der Formel nach!Fertig? Passt es zu deinen Erfahrungen? Bestimme den Definitionsbereich Fertig? . . . KLICK! und den Wertebereich sinnvoll! Fertig? . . . KLICK! graphische Darstellung MENGE UND KOSTEN Menge n 7

GLEICHES THEMA. . . aber ein kleiner Unterschied! Die Bäuerin will ebenfalls eine Liste erstellen. Literzahl n Kosten K x y 0 0 1 0, 45 ∙ EP 2 0, 90 3 1, 35 4 1, 80 5 2, 25 6 2, 70 7 3, 15 8 3, 60 9 4, 05 10 4, 50 n K Eine Formel dazu könnte heißen: K = 0, 45 • n K = EP • n 1 Hier wird nach den Kosten K in Abhängigkeit von der Literzahl n gefragt. Z. B. : Wie hoch sind die Kosten, wenn Pia 5 Liter abholt? Welches ist die unabhängige, Entwickle eine welches die abhängige Größe? Berechnungsformel! Wo in der Tabelle, wo im Fertig? . . . KLICK! Koordinatensystem? Fertig? . . . KLICK! Trage die Werte der Tabelle ins Koordinatensystem ein! Wie kannst du die gefundenen Schreibe die. Gleichung Berechnungs fachlich benennen? -Formelrichtig mit den Variablen Fertig? x und y!. . . KLICK! Fertig? . . . KLICK! Geradengleichung: y = 0, 45 x + 0 in der Normalform In der Sprache der Mathematik: Die Kosten sind eine Funktion der Literzahl. Beim Erstellen des Schaubildes (Graph) wird die unabhängige Größe auf der x-Achse angegeben. (hier: Literzahl oder. Menge n = 5) Die abhängige Größe zeigt sich auf der y-Achse. (hier: Die davon abhängigen Kosten K = 2, 25 €) € Kosten K Pia holt die Milch direkt beim Bauern. Der Bauer verlangt pro 1 Liter nur seine reinen Produktionskosten von 45 ct. 2, 25 € Schaubild: Suche eine sinnvolle Benennung für solche Geraden! Fertig? . . . KLICK! 5 Literzahl n Die Gerade geht durch den Nullpunkt (Ursprung) des Koordinatensystems und heißt deshalb „Ursprungsgerade“ Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea Linie) 8

Weshalb haben wir im Schaubild bei Folie 19 keine Gerade eingezeichnet? Starte die Wiedergabe der beiden Schaubilder und überlege dann eine Begründung! Fertig? . . . KLICK! Folie 20: Milcheinkauf Der kleine Unterschied: Folie 19: Brötcheneinkauf € y = 0, 45 x �� =ℕ Kosten K € Weshalb haben wir im Schaubild bei Folie 20 eine Gerade eingezeichnet? y = 0, 45 x �� = ℝ+ 2, 25 € Menge n 1 5 Literzahl n Das Einzeichnen der Geraden (rechtes Bild) sagt aus, dass zwischen den eingezeichneten Punkten weitere Punkte existieren. Genau gesagt wären das unendlich viele weitere Wertepaare. Linkes Bild: Der Bäcker aber verkauft nur ganze Brötchen. Als Definitionsbereich kannst du daher nur die Menge der natürlichen Zahlen ℕ zulassen. (�� = ℕ). Zwischen den Punkten entstehen Lücken. Der Bauer hingegen kann jede gewünschte Menge an Milch abfüllen. D. h. : Jede positive reelle Zahl kann als unabhängiger x-Wert mit dem zugehörigen y-Wert angenommen und eingezeichnet werden. (�� = ℝ | wobei {x ≥ 0}). Eine durchgehende Linie entsteht. 9 Wir hätten eigentlich nur zwei Punkte benötigt, um die Gerade einzuzeichnen.

Vorher wurde nach den Kosten K in Abhängigkeit von der Literzahl n gefragt. Man hat nun die Fragestellung umgekehrt: Z. B. : Wie viele Liter erhält Pia für 3, 15 €? Allgemein: Wie groß ist die Literzahl n in Abhängigkeit von den gesamten Kosten K? K x yn Frage, die zum Rechenweg führt: 0 x 1 y 0 EP 0, 45 1 0, 90 2 1, 35 3 1, 80 4 2, 25 5 2, 70 6 3, 15 7? 3, 60 8 4, 05 9 4, 50 5, 00 4, 50 10 Wie oft ist der Einzelpreis EP in den Kosten enthalten? Die Menge n (Literzahl) hängt davon ab, wie viel Geld ich ausgeben will! Fachsprache: Die Literzahl n (Menge) ist eine Funktion der Kosten K. Streng genommen dürfte man nur Punkte setzen, die auf der Tragein‚Kosten K‘ und ‚Literzahl n‘ an x-Achse einer Unterteilung den 1 -Cent Bereich entsprechen. der Abhängigkeit richtigen Achse an! auf der x-Achse Beschreibe die (den Dies ist jedoch wegen der zu engen Abstände Fertig? Zusammenhang). . . KLICK! mathematischen hier nicht möglich. Wie lautet die umgekehrte in der Fachsprache! Fragestellung? Fertig? . . . KLICK! Stelle zuerst eine konkrete Frage und gib anschließend eine allgemeinere Formulierung! Fertig? . . . KLICK!den Rechenweg! Beschreibe Fertig? . . . KLICK! Literzahl n NEUE FRAGESTELLUNG, NEUES SCHAUBILD (Oft führen die richtigen Fragen zum Rechenweg!) Rechenweg: Dividiere die Kosten durch den Einzelpreis! Eine Formel dazu könnte heißen: n = K / EP In diesem Fall: n = K / 0, 45 Der Graph ist wieder eine Ursprungsgerade. 0 Liter kosten 0 €. Es reichen zwei Punkte. Wie viele Punkte reichen zum Einzeichnen des Begründe, weshalb Schaubildes? man hier die Gerade Zeichne den Graphen! durchgehend Fertig? . . . KLICK! zeichnen darf! Fertig? . . . KLICK! Stelle entsprechend auch die vorige Formel zur Berechnung um! Fertig? . . . KLICK! Kosten K 10

ZWEI GERADEN SCHNEIDEN SICH. Lineare Funktionsgleichung : =ℝ) g 1: y = 2 x + 1 (�� Wertetabelle (Auszug): x -0, 5 0 1 2 3 y 0 1 3 5 7 y = -0, 5 x 1 y = 2 x + 1 Zeichne den Graphen der Geraden! Fertig? . . . dann KLICK! +3 , 5 S (1/3) (Die Geraden haben verschiedene Steigung) Nun kommt eine zweite lineare Funktion ins Spiel: =ℝ) g 2: y = -0, 5 x + 3, 5 (�� Erstelle eine Wertetabelle Welches Wertepaar ist für in x -1 0 1 2 3 4 1 Zeichne auch das Schaubild x Wertetabellen die angegebenen x-Werte! beiden y 3 g 2 ein! y 4 3, 5 3 2, 5 2 1, 5 dererschienen? Geraden Fertig? . . . dann KLICK! Fertig? dann KLICK! Es gibt nur ein Wertepaar, die beide Gleichungen (g 1 und g 2) gemeinsam haben. Im Schaubild wäre das ein Punkt. Schnittpunkt der Geraden Berechnung und Zeichnung: Auch, wenn wir diesen y-Wert nicht kennen würden: Wir wissen, dass er für beide Gleichungen (g 1 und g 2) den gleichen Wert hat. Also kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen (g 1 und g 2) gleich setzen und den x-Wert berechnen, anschließend das y. Dieses gemeinsame Wertepaar müsste man auch als Punkt S im Schaubild erkennen können. Siehe Lehrwerk >Gleichungssysteme< Berechnung dieses Punktes: g 1 = g 2 r e c h n e r i s c h e -1+0, 5 x = 2, 5 : 2, 5 x = 1 einsetzen! y. Berechne = 2 x + die 1 Koordinaten 1+ 1 ydieses = 2 • Punktes! KLICK! y. Fertig? = 3. . . dann S (1/3) B e s t ä t i g u n g Man berechnet den Schnittpunkt zweier Geraden durch Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens. 11

Nullstelle einer linearen Funktion Bei einer linearen Funktion kann man den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse direkt von der Achsen-Abschnittskonstante b ablesen. Steigdreieck: 3 1, 5 m= = 1 2 y = mx + b Beispiel: y = 1, 5 x --33 N x. B= 2 N Wir suchen die Koordinaten des Schnittpunktes N(x. N/y. N) unserer Geraden y = 1, 5 x – 3 mit der x-Achse. Diesen Schnittpunkt nennen wir Nullstelle. Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben den Wert y = 0, also auch die gesuchte Nullstelle. ➔ N (x. N 0/0) Das Einsetzen (von y = 0) in die Geradengleichung (Nullsetzen) führt in jedem Fall zu einer wahren Aussage: y. N = 1, 5 x. N - 3 x. N bleibt als einzige Unbekannte. Welche Gemeinsamkeit = 1, 5 x. N - 3 |+3 weisen alle Punkte 1, 5 x auf, = 3 : 1, 5 N die auf der x-Achse x. N = 2 liegen? Fertig? . . . KLICK! N(2/0) Gesprochen: Die Nullstelle des Graphen der Funktion y = 1, 5 x – 3 ist x = 2. Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunktes des Graphen mit der x-Achse. y= 1, 5 x- 3 y. H= 3 Die Berechnung der Nullstelle eines Graphen erfolgt durch das ‚Nullsetzen‘ der Funktionsgleichung (y = 0). N 1 Jetzt wollen wir den Schnittpunkt mit der x-Achse rechnerisch bestimmen. 1 N 2 Es gibt auch Funktionen mit mehreren Nullstellen. 12

Thema des aktuellen Lernprogrammes: Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich �� genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich �� zu. Definitionsbereich: Der Definitionsbereich �� enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich ��. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich ��. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich ��. Lineare Funktion Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea Linie, Faden) Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [y-Achse ↑(+)bzw. ↓(-)] durch die waagrechte Entfernung [x-Achse →(+)bzw. ←(-)] dividierst. 1 DAS ‚ 4 -STUFEN-PRINZIP‘ für des Verfahren beim Lösen von Sachaufgaben (Textaufgaben): 1. Stufe: “Sich ein Bild machen. “ Hintergrund ist eine reale Geschichte. Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Muss ich selbst Entscheidendes hinzu fügen? 2. Stufe: Vom Bild zur Mathematik Zusammenhänge suchen und herstellen, Alltagssprache mathematische Sprache! Vorstellungen zum Lösungsweg (Modelle) 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder Zeichnen! 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Auswerten, bewerten einordnen. Einbetten in die erzählte Geschichte! 13

DAS ‚ 4 - S T U F E N - P R I N Z I P ‘. . . e i n K r e i s l a u f beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Ø Hintergrund sollt eine wirklichkeitsnahe Geschichte sein. „Modellieren“. 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ • Was ist der Kern des Problems • Zusammenhänge suchen und herstellen, • übersetzen in mathematische Sprache (z. B. Zahlen, Symbole, Tabellen, textliche Aussage, ☞ Zeichnungen, Gleichungen, Überlegungsfiguren das wären die Modelle. eigentliche ‚Modellbildung‘ • In Ruhe durchlesen. Ist die Frage schon gestellt? • Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? • Kann ich mir das vorstellen? • Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? • Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen. “ . . . dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff • Entscheidungen zum Lösungsweg . . . wird zum K R E I S L A U F , wenn Lösung falsch. 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. • Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z. B. Grundrechenarten/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen. . . bis zum Ergebnis kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. • • • 1 14

ARTEN VON ZAHLEN Ein Überblick: ℝ 0 5 1 3 -2, 5 4 2 ℕ 0. . . ⅘ -⅜ ℤ -1 -3 -2 1, 2 . . . 7/ ⅚ ℚ 11 e π -√ 3 √ 7 . . . √ 15 3 Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, . . } Es istweit nichtverbreitete einheitlich. Schreibweise festgelegt, ob Eine die den natürlichen Zahlen zählt. Null diezu Null dazu und benennt diese gehört. Menge mit ℕ 0={0, 1, 2, 3, . . . }. ℕ 0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, . . } ℤ = {. . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? {. . . -½, -⅔, -⅘, -1, 25, ⅜, 0, 38 32/7, . . . } 1 Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z. B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z. B. 1, 2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z. B. 7/11 = 0, 63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist. ) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau Zeichen: ℝ verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, 14. . . Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 71828. . . 15

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen Balles öffnest im Text mit eines der bildlichen du deine Hände und beugst die Darstellung! Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispieledurch n Hinweise und n häufiges atioÜben im Training des m Handballvereins. r lt Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen fo n I eue N we erricht m U nt. U z. B Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen 2 hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 16