basicmodule Gernot Mhlbacher Gleichungssysteme Sonderflle bung Alle basicmodules
basic-module Gernot Mühlbacher * Gleichungssysteme Sonderfälle Übung Alle basic-modules kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/ Wähle Verzeichnis >downloads/basic-modules/< Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten Gebrauch gestattet. Die Nutzung von Kopien ist für jegliche Art des kommerziellen Gebrauchs untersagt. Wie soll ich mir das L e r n e n vorstellen? 10 Wollen Sie auch werben? https: //www. elearning-soft. de/kontakt/ Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © 2018 Gernot Mühlbacher 0
INFO bekannt? . . . gleich starten: Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-module) wissen solltest: Ein so großer Themenbereich wie ‚Gleichungssysteme‘ ist aufgeteilt in vier Kurzprogramme (basicmodules): • Einsetzungsverfahren. ppsx 1 • Gleichsetzungsverfahren. p psx • Additionsverfahren. ppsx • Sonderfälle_Übung. ppsx aktuell gestartet Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: > Sonderfälle_Übung AB. pdf ⇐ starten und > Sonderfälle_Übung EF. pdf ausdrucken! Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. Wenn die Aufgaben auf einem Arbeitsblatt (AB) Schwierigkeiten bereiten, dann schau dir den gesamten Lösungsweg der betr. Folie zuerst auf dem Bildschirm an. Löse die Aufgaben danach im Ganzen aus dem Gedächtnis! umfang -reich 2 3 Für den Einsatz der e. Learning-Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit auch die kostenlose Office Online. Anwendung für Power. Point zur Verfügung. Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point-Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: http: //www. elearning-soft. de im Verzeichnis >services< 4 Die genannten basic-modules kannst Du kostenlos herunterladen auf der Website: http: //www. elearningsoft. de/ Wähle dort das Verzeichnis >downloads<. . . zu Folie: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
SACHAUFGABE UND GLEICHUNGSSYSTEM . . . beim Einkauf Feines Obst wird zum Stückpreis verkauft. Paula zahlt 5, 10 €. Insgesamt sind 7 Früchte in der Tüte. 9 Oft lässt die Aufgabe die Frage offen. 2. Stufe: Löse die Sachaufgabe im Voraus auf Überlegung beim Lesen des Textes: Alltagssprache übersetzen dem AB zu dieser Folie in 2! mathematische Verdeutliche 1. Stufe: Frage: Wie viele Orangen/Feigen kauft Paula? Schreibweise. dabei durch Einrahmen auch die vier Da weder die Anzahl an Orangen noch die der Anzahl Orangen: x Stufen des ‚ 4 -Stufen-Prinzips‘! (Siehe Feigen bekannt ist, haben wir es zunächst mit Text lesen, gliedern Folie 9 hinten basic-module! Zwei Variable Anzahl Feigen: y in diesem zwei Variablen (Unbekannten) zu tun: und verstehen. und 1. Gleichung: 1. Aussage: (. . . meist reine Orientiere dich am Verlauf von Folien 3 zwei lineare Kopfarbeit, aber 60 xund + 90 y = 510 Paula zahlt 510 ct. 4 des basic-modules Gleichungen sehr wichtig!) >Einsetzungsverfahren. ppsx<! 2. Gleichung: 2. Aussage: bilden ein lineares Ggf. Frage stellen. Du kannst das entsprechende fertig Insgesamt sind 7 Früchte in der Tüte. 3. Stufe: Hier wird das Additionsverfahren Nimm dein ‚AB zu Folie 2‘! zum Einsatz kommen: Mathematische Übersetze die beiden Aussagen Werkzeuge II 60 x ++ 90 y == 510 jeweils |: 10 in eine algebraische nutzen. Rechnen! II x + y == 7 Gleichung! | • (-6) I 6 x + 9 y = 51 II -6 x - 6 y = -42 I + II: 1 3 y = 9 | : 3 y = 3 Einsetzen in II: x + y = 7 Gleichungssystem. entwickelte Bild (EF) von Folie 4 des dortigen basic-modules als Vorlage 4. Stufe: verwenden. Antwortsatz: Paula kauft 4 Orangen und 3 Feigen. Überprüfen: x + = 7|-3 x = 4 �� = {(4/3)} ? 60 • 4 + 90 • 3 = 510 4 + 3 = 7 7 = 7 2
SACHAUFGABE UND GLEICHUNGSSYSTEM 1 Voraussetzung: . . . mein Sparkonto Kenntnisse im Zinsrechnen Maja hat ihr Geld auf zwei verschiedenen Banken hinterlegt. uch b r a Das erste Konto-Guthaben wurde im Jahr 2014 mit 1, 5% verzinst, das zweite mit 1%. Sp So ergaben sich insgesamt 32, 50 € an Zinsen, die Maja als Taschengeld abhob. Im Jahr 2015 senkten die Banken den Zinssatz um 0, 5% und damit den Zinsertrag auf 20, 00 €. Überlegung beim Lesen des Textes: Alltagssprache übersetzen in die 2. Stufe: 1. Stufe: Frage: Wie viel Geld besitzt Maja? Wirmathematische legen wieder. Schreibweise. das Lösungsschema wie im Da der Geldbetrag auf den zwei Konten Kapitalder 1: vorigen x€ Text lesen, gliedern Verlauf Aufgabe zu Grunde. Mathematische unbekannt ist, haben wir es zunächst mit zwei und verstehen. Zusammenhänge Kapital 2: y € Variablen (Unbekannten) zu tun: (. . . meist reine Du kannst dir aber jederzeit ein eigenes erkennen. Zins. Kopfarbeit, aber sehr Zinssatz: (sicher kürzeres) Schema ausdenken. Es sollte Die Gedanken die wichtig!) 2: duertrag: Kontodarüber, 1: Kontowie das ‚ 4 -Stufen-Prinzip‘ erkennen | • 100 1. Glg: x • + y • als Leitfaden = 32, 50 Ggf. Frage stellen! Textinhalte übersichtlich darstellen Schreibe für die Berechnung 2014 0, 015 32, 50 € lassen! 0, 01 1, 5% 1, 0% der Zinserträge jeweils eine willst, tragen gleichzeitig zum 2. Glg: x • + y • = 20, 00 | • 100 0, 005 0, 5% 2015 0, 01 1, 0% algebraische Gleichung auf! Verständnis des Textes bei. 20, 00 € Damit schaffst du dir Halt und Sicherheit. So verminderst du Stresssituationen. Hier wird das Einsetzungsverfahren zum Einsatz kommen: 4. Stufe: Hauptsache du findest eines! 3. Stufe: |-1, 5 x I 1, 5 x + 1 y = 3250 Antwortsatz und Überprüfen: Mathematische Werkzeuge II 1 x + 0, 5 y = 2000 nutzen. Rechnen! Maja. Nimm besitzt 2500 jetzt dein€. AB und löse ? Einsetzen in I: I 1 y = 3250 – 1, 5 x die Aufgabe! 1500 + 0, 01 • 1000 = 32, 50 I 0, 015 • Einsetzen in II: I 1, 5 • + 1 y = 3250. . . dann zurück zur=Kontrolle! 32, 50 II 1 x + 0, 5( ) = 2000 2250 + 1 y = 3250 II 0, 01 • 1500 + 0, 005 • 1000 =? 20, 00 x + 1625 – 0, 75 x = 2000 20, 00 = 20, 00 y = 3250 - 2250 0, 25 x = 375 | • 4 Gehe zum ‚AB zu Folie 3‘ und y = 1000 berechne das Gleichungssystem noch x = 1500 �� = {(1500/1000)} einmal aus dem Gedächtnis! 3
Berechne das vorige Gleichungssystem auch mit den zwei anderen Verfahren (ohne Probe)! Nimm zuerst das Verfahren in Angriff, das dir leichter erscheint! . . . bei uns: Gleichsetzungsverfahren: Additionsverfahren: I 1, 5 x + 1 y = 3250 |-1, 5 x II 1 x + 0, 5 y = 2000 |-1 x | • 2 I II I 1, 5 x + 1 y = 3250 II 1 x + 0, 5 y = 2000 | • (-2) I 1, 5 x 1, 5 • + II -2 x - 1 y = 3250 - 1, 5 x 1, 5 • 1 y = 4000 - 2 x |+2 x |-3250 I = II: -0, 5 x = -750 | • (-2) x = 1500 0, 5 x = 750 | • 2 x = 1500 Einsetzen in: I +II +1 y 1 y = = 3250 1 y = -4000 Einsetzen in: 1500 y = 3250 - 2250 1500 2250 + y = 3250 |-2250 y = 1000 Rückwirkend lässt sich sagen, dass alle drei Verfahren etwa gleicht anzuwenden waren. 1 4
Du hast gemerkt, dass wir im Verlauf der Übungsaufgaben immer wieder überlegt haben, wie die Aufgaben auch auf anderem Wege zu lösen seien. Additionsverfahren: I 10 - 8 a = 2 b | -10 II 7 a - 3 b = 51, 5 I -8 a - 2 b = -10 | • (-3) II 7 a - 3 b = 51, 5 | • 2 I 24 a + 6 b = 30 II 14 a - 6 b = 103 38 a = 133 |: 38 I +II a = 3, 5 Einsetzen in II 7 a - 3 b = 51, 5 7 • - 3 b = 51, 5 24, 5 - 3 b = 51, 5| -24, 5 - 3 b = 27 |: (-3) b = -9 I 10 - 8 a = 2 b II 7 a - 3 b = 51, 5 Einsetzungsverfahren: I 10 - 8 a = 2 b |: 2 II 7 a - 3 b = 51, 5 5 - 4 a = b Einsetzen in Gleichsetzungsverfahren: Löse das gegebene Gleichungssystem I 10 - 8 a 2 b | -10 mit Hilfe aller drei= Verfahren! Beginne mit- dem das dir II 7 a 3 b =Verfahren, 51, 5 am günstigsten erscheint, usw. ! I -8 a - 2 bdann = -10 zurück |+8 azur Folie. . erst II 7 a - 3 b = 51, 5 |-7 a 7 a - 3( ) = 51, 5 7 a - 15 + 12 a = 51, 5 |+15 + 19 a = 66, 5 |: 19 a = 3, 5 Einsetzen in 5 - 4 a = b b = 5 - 4 • b = 5 - 14 b = -9 -2 b = 8 a - 10 | • (3) -3 b = -7 a + 51, 5 | • 2 -6 b = 24 a - 30 -6 b = -14 a + 103 I = II: |+14 a |+30 24 a + 14 a = 103 + 30 38 a = 133 |: 38 a = 3, 5 �� = {(3, 5/-9)} Bei diesem Gleichungssystem war das Einsetzungsverfahren sowohl am schnellsten als auch am wenigsten fehleranfällig. Was meinst du? . . . dicht gefolgt vom Additionsverfahren. 1 Du wirst immer wieder vor der Frage stehen, welches Lösungsverfahren für ein neues Gleichungssystem am schnellsten und am wenigsten fehleranfällig (Vorzeichen!) verläuft. Bevorzuge nie ein bestimmtes Verfahren im Voraus! Schau dir immer zuerst die Beschaffenheit der Gleichungen an! Einsetzen in -2 b = 8 • 3, 5 - 10 -2 b = 18 |: (-2) b = -9 5
E I N (erster) S O N D E R F A L L : Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Es fängt ganz harmlos an. . . und endet in einem Widerspruch! I -6 x + 3 y = -3 |+6 x II -10 x + 5 y = 10 |+10 x |: 3 I 3 y = 6 x - 3 II 5 y = +10 x + 10 |: 5 I y = 2 x - 1 II y = 2 x + 2 • Funktionsgleichung bzw. • Normalform der Geradengleichungen. I = II: 2 x - 1 = 2 x + 2 |-2 x -1 = 2 Du hast alles richtig gemacht. . . und dennoch bekommst du keine vernünftige Lösung für den gesuchten x -Wert und damit auch für den y-Wert. Bedenke: Keine Lösung ist auch eine Lösung! Das würde nämlich bedeuten, dass es keine Lösung für dieses Gleichungssystem gibt. 1 Wie kann man so was verstehen? Vielleicht liefert uns der Versuch einer graphischen Lösung eine einleuchtende Erklärung. Die Geradengleichungen I und II liegen bereits in der Normalform vor. Im Lernprogramm (basic-modul) >Graph lin. Fkt‘en. ppsx< haben wir. Gleichungssystem unser Handwerk auf gelernt: Löse das deinem ‚AB zu Folie 6‘ mit dem Gleichsetzungsverfahren! y = Worten: 2 x +2 Suche ein Wertepaar (x/y), Mit. IIanderen II das beide Gleichungen erfüllt! Achsenabschnitt: b = 2 Kehre spätestens, wenn du Probleme erkennst, Steigungsdreieck: zu dieser Folie zurück! Gerade steigt steiler als 45°. I Wenn du das Lernprogramm (basic-modul) >Graph lin. Fkt‘en. ppsx< bearbeitet hast, dann m = 2 = +2 +1 kannst du Schaubilder von linearen Funktionen (Normalform) zeichnen. I y = 2 x -1 Nimm das ‚AB zu Folie 6‘! Achsenabschnitt: b = -1 Funktionsgleichungen I Zeichne zu den beiden Steigungsdreieck: und II die entsprechenden Geraden! Kehre dann zu dieser Folie zurück! Du wirst das Gerade steigt steiler besser als 45°. verstehen. unerwartete Ergebnis m = 2 = +2 +1 Jetzt wird die einleuchtende Erklärung sichtbar. Die beiden Geraden Nimm wieder das ‚ABverlaufen zu Folie 6‘!parallel. Äußeregibt eine es Vermutung, weshalb. Schnittpunkt die Deshalb keinen reellen der Geraden. Rechnung so überraschend Der gemeinsame Steigungsfaktor m = 2 hätte dies in der ausgegangen ist! Normalform verraten können. Im ursprünglichen Gleichungssystem war dies kaum erkennbar. 6
I y = -3 x + 3, 5 • Funktionsgleichungen bzw. 4 • Identische Normalform. Gleichungen II y = -4, 5 x + 3, 5 der Geradengleichungen. 6 4, 5 -3 x + 3, 5 -4, 5 I = II: = 6 x + 3, 5 |+ x 4 6 Achsenabschnitt: b 1 = 3, 5 Achsenabschnitt: b 2 = 3, 5 y y -3 Steigung: m 2 = H -4, 5 Steigung: m 1 = H x. B �+6 x. B �+4 ⤵ Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wieder ein Gleichungssystem: I 4 y + 3 x = 14 |-3 x II 6 y + 4, 5 x = 21 |-4, 5 x |: 4 I 4 y = -3 x + 14 II 6 y = -4, 5 x + 21 |: 6 Bevor du weiter rechnest, könntest du die beiden Geraden, deren Normalform bereits vorliegt, ins Achsenkreuz zeichnen. ⤵ E I N (zweiter) S O N D E R F A L L : Die beiden Geraden liegen auf einander. Sie haben nicht nur einen Punkt gemeinsam, sondern unendlich viele! Zeichne den Graphen der beiden Die beiden Geraden haben nur den gleichen y-Achsen. Geraden I und II ! nicht dieser Was bedeutet Sachverhalt für m Abschnitt b sondern auch gleich große Steigungsfaktoren 1 die beiden Steigungsfaktoren m beider und m 2. Schreibe die Brüche als Dezimalzahlen! Gleichungen? m 1 = m 2 = - 0, 75 - 43 x + 4, 5 x + 3, 5 = 3, 5 |-3, 5 6 Löse das Gleichungssystem mit dem Forsche im Internet unter dem Stichwort Gleichsetzungsverfahren! Sonderfälle“ nach, wie 3 x 4, 5 -„Gleichungssysteme = 3, 5 - 3, 5 + 6 x. Worten: Mit anderen Suche ein Wertepaar 4 sich diese graphische Besonderheit in der(x/y), das. Rechnung beide Gleichungen auswirkt! -0, 75 x + 0, 75 x = 3, 5 erfüllt! - 3, 5 Kehre spätestens, wenn Probleme auftauchen, zu 0 = 0 dieser Folie zurück! Dies ist eine wahre, allgemein gültige Aussage. Die beiden Gleichungen I und II sind identisch. Jedes Wertepaar (x/y), das für die Gleichung I gilt, gilt auch für die Gleichung II. 1 Identische Geraden -3 -4, 5 II I +4 +6 7
Du wirst im weiteren Verlauf deiner Beschäftigung mit algebraischen Berechnungen häufig auf Gleichungssysteme treffen. Die drei Lösungsmöglichkeiten Übung macht den Meister! . . . das Gleichungssystem hat eine Lösung. . das Gleichungssystem ist unlösbar. . das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. werden immer wieder auftreten. Du musst die Ergebnisse dann auch deuten können! Die Wahl des für dich idealen Verfahrens, - Einsetzungsverfahren, - Gleichsetzungsverfahren, - Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren, wird oft darüber entscheiden, wie schnell und sicher du zur Lösung gelangst. 1 Du hast gesehen, dass im Internet viele Übungsaufgaben angeboten werden. 8
DAS ‚ 4 - S T U F E N - P R I N Z I P ‘. . . e i n K r e i s l a u f beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Ø Hintergrund ist (oft) eine wirklichkeitsnahe Geschichte. . ist eigentlich ein K R E I S L A U F 1 2 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ • Was ist der Kern des Problems • Zusammenhänge suchen und herstellen, • übersetzen in mathematische Sprache (z. B. Zahlen, Symbole, Tabellen, Skizzen, textliche ☞ Aussage, Zeichnungen, Gleichungen Modelle). • Entscheidungen zum Lösungsweg 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. • Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z. B. Grundrechenarten/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen. . . bis zum Ergebnis kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. • • • „Modellieren“. eigentliche ‚Modellbildung‘ • In Ruhe durchlesen. Ist die Frage schon gestellt? • Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? • Kann ich mir das vorstellen? • Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? • Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen. “ . . . dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff Vergleiche mit der vorigen Folie!. . . dann KLICK! 9
© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen Balles öffnest im Text mit eines der bildlichen du deine Hände und beugst die Darstellung! Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispieledurch n Hinweise und n häufiges atioÜben im Training des m Handballvereins. r Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen eu N lt we erricht m U nt. U z. B Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? 1 fo n I e Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 10
- Slides: 11